数值分析作业三次样条插值Word下载.docx
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实验要求:
(1)随着节点个数的增加,比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情况,分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较;
(2)三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。
作为工业应用的例子,考
算法描述:
拉格朗日插值:
错误!
未找到引用源。
nfχ_X)其中错误!
是拉格朗日基函数,其表达式为:
Ii(X)L
j=0(Xi一Xj)
牛顿插值:
yixhiMi4hiMiyi
匕一丁)(〒计),χgxj
式中Mi=S(Xi).
—hi
hi+hy
-:
hy
'
i
hi+hγ
di=-6hGy^比-yhyr=6f[Xij,Xi,Xi.1]hi+hi屮hi屮hi
则Mi满足如下n-1个方程:
.-iMij2M「:
iiMi1=di,i=1,2,...n-1
常用的边界条件有如下几类:
(1)给定区间两端点的斜率mo,m∏,即S(Xo)=y0=mo,S(xn)=yn=mn
(2)给定区间两端点的二阶导数Mo,Mn,即S(XoHy0=M0,S”(Xn)=Mn
(3)假设y=f(X)是以b-a为周期的周期函数,则要求三次样条插值函数S(X)也为周期函数,对S(x)加上周期条件S(P)(XO•0)=S(P)(Xn-0),p=0,1,2
6Y1—Y0
2M0+M1=—(2j-m0)
对于第一类边界条件有
*h1hi
Mnj2Mn6(mn-也丛)hnhn
2M0+人0M1—d0
FnMnJ+2Mn=dn
Y0=Yn,M°
=Mn,S(x°
0)=S(Xn-0),由此推得
2.7,0......J
M01
d1
田.2..剳.....
M1
d1
M2
d2
....-4..2.Λn4
=
巴..2
MnJ
dn4
<
■J
Mn-
I
dn一
那么解就可以为
对于第三类边界条件,
2M00M1%MnT=d0,其中
hl,J0hn,do6(f[Xθ,Xl]-f[Xn-1,Xn]),那么解就可以为:
hi■hnh1hnh1-hn
程序代码:
1拉格朗日插值函数
Lang.m
funCtiOnf=lang(X,Y,xi)
%X为已知数据的横坐标
%Y为已知数据的纵坐标
%xi插值点处的横坐标
%f求得的拉格朗日插值多项式的值
n=length(X);
f=0;
fori=1:
n
l=1;
forj=1:
i-1
l=l.*(xi-X(j))∕(X(i)-X(j));
end;
forj=i+1:
l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j));
%拉格朗日基函数
f=f+l*Y(i);
end
fprintf('
%d∖n'
f)
return
2牛顿插值函数
newton.m
funCtionf=newton(X,Y,xi)
newt=[X'
Y'
];
%计算差商表
forj=2:
fori=n:
-1:
1
ifi>
=j
Y(i)=(Y(i)-Y(i-1))∕(X(i)-X(i-j+1));
elseY(i)=0;
end
newt=[newt,Y'
%计算牛顿插值
f=newt(1,2);
fori=2:
z=1;
fork=1:
Z=(Xi-X(k))*z;
f=f+newt(i-1,i)*z;
3三次样条插值第一类边界条件
ThreCh.m
funCtionS=ThreCh1(X,Y,dyO,dyn,xi)
%X为已知数据的横坐标
%S求得的三次样条插值函数的值
%dy0左端点处的一阶导数
%dyn右端点处的一阶导数
n=length(X)-1;
d=zeros(n+1,1);
h=zeros(1,n-1);
f1=zeros(1,n-1);
f2=zeros(1,n-2);
n%求函数的一阶差商
h(i)=X(i+1)-X(i);
f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))∕h(i);
n%求函数的二阶差商
f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))∕(X(i+1)-X(i-1));
d(i)=6*f2(i);
d
(1)=6*(f1
(1)-dyθ)∕h
(1);
d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))∕h(n-1);
%?
赋初值
A=Zeros(n+1,n+1);
B=ZeroS(1,n-1);
C=Zeros(1,n-1);
n-1
B(i)=h(i)∕(h(i)+h(i+1));
C(i)=1-B(i);
A(1,2)=1;
A(n+1,n)=1;
n+1
A(i,i)=2;
A(i,i-1)=B(i-1);
A(i,i+1)=C(i-1);
M=A∖d;
SymSX;
Sx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)∕3+M(i+1)∕6)*h(i))*(x-X(i))
+M(i)∕2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))∕(6*h(i))*(x-X(i))^3);
digits⑷;
Sx(i)=vpa(Sx(i));
%三样条插值函数表达式
disp('
S(x)='
);
fprintf('
%s(%d,%d)\n'
char(Sx(i)),X(i),X(i+1));
ifxi>
=X(i)&
&
xi<
=X(i+1)
S=Y(i)+(f1(i)-(M(i)∕3+M(i+1)∕6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)∕2*(xi-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))∕(6*h(i))*(xi-X(i))^3;
xiS'
);
%d,%d∖n'
xi,S);
4三次样条插值第二类边界条件
ThreCh2.m
funCtion[Sx]=Threch2(X,Y,d2yO,d2yn,xi)
X为已知数据的横坐标
%d2yθ左端点处的二阶导数
%d2yn右端点处的二阶导数
n%求一阶差商
n%求二阶差商
d(i)=6*f2(i);
d
(1)=2*d2yθ;
d(n+1)=2*d2yn;
%赋初值
B=Zeros(1,n-1);
A(1,2)=0;
A(n+1,n)=0;
%s(%d,%d)∖n'
S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)∕3+M(i+1)∕6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)∕2*(xi-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))∕(6*h(i))*(xi-X(i))^3;
5插值节点处的插值结果
main3.m
clear
clc
X=[0.0,0.1,0.2,0.3,0.4];
Y=[0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554];
xi=0.13;
%xi=0.36;
xi=0.13'
%disp('
xi=0.36'
disp('
拉格朗日插值结果’);
Iang(X,Y,xi);
牛顿插值结果’);
newtOn(X,Y,xi);
三次样条第一类边界条件插值结果’);
ThreCh1(X,Y,0.40,0.36,xi);
%0.4,0.36分别为两端点处的一阶导数
三次样条第二类边界条件插值结果’);
ThreCh2(X,Y,0,-0.136,xi);
%0,-0.136分别为两端点处的二阶导数
6将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上
main2.m
a=linspace(0,0.4,21);
NUM=21;
L=Zeros(1,NUM);
N=Zeros(1,NUM);
S=Zeros(1,NUM);
B=Zeros(1,NUM);
NUM
xi=a(i);
%拉格朗日插值
%牛顿插值
%原函数
%三次样条函数第一类边界条件
P∣ot(a,B,
--r'
);
holdon;
plot(a,L,
b'
plot(a,N,
r'
r+'
plot(a,S,
legend('
原函数’,’拉格朗日插值’,’牛顿插值’,'
三次样条插值’,2);
holdoff
7增加插值节点观察误差变化
main4.m
clear;
clc;
N=5;
%4.5第一问
Ini=zeros(1,1001);
a=linspace(-1,1,1001);
Ini=1.∕(1+25*a.^2);
%节点数量变化次数
3
N=2*N;
t=linspace(-1,1,N+1);
ft=1.心+25*t^2);
VaI=IinSPaCe(-1,1,101);
101
L(j)=lang(t,ft,val(j));
%插值节点
%插值节点函数值
Sa)=ThreCh1(t,ft,0.074,-0.074,val(j));
%三样条第一类边界条件插值
plot(a,Ini,holdon
k'
)%原函数图象
Plot(Val,L,'
)%拉格朗日插值函数图像
holdon
plot(val,S,'
)%三次样条插值函数图像
Str=SPrintf('
插值节点为%d时的插值效果'
N);
title(str);
原函数’,’拉格朗日插值’,’三次样条插值’);
%显示图例
holdoff
figure
8车门曲线
main5.m
X=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];
Y=[0.0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29];
dy0=0.8;
dyn=0.2;
nh(i)=X(i+1)-X(i);
nf2(i)=(f1(i)-f1(i-1))∕(X(i+1)-X(i-1));
d
(1)=6*(f1
(1)-dy0)∕h
(1);
d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))∕h(n-1);
A=Zeros(n+1,n+1);
X=ZeroS(1,n);
S=ZeroS(1,n);
x(i)=X(i)+0.5;
S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)∕3+M(i+1)∕6)*h(i))*(x(i)-X(i))+M(i)∕2*(x(i)-X(i
))^2+(M(i+1)-M(i))∕(6*h(i))*(x(i)-X(i))^3;
plot(X,Y,'
holdon;
plot(x,S,'
o'
title('
三次样条插值效果图’);
已知插值节点’,’三次样条插值’);
实验结果:
4.3
1计算插值节点处的函数值
xi=0.13时
Ki=Oe13
5.S36E03e-DOl
半硕⅛5l≡结果
5,665517e-αθl
三样条第——爭⅛⅛⅛界寿√牛価值蜡果
BS=
.500□+.400α*κ-.3S98*x^2+3.698*κ^3<
Lor1,OoOOOOe-OOI>
Ξ<
MΓ>
=
-514Γ-1O,93*κ^3-ι-4,aiε*z-'
2-.-⅛O73e-l≠χ<
1”OOOOO□e-0O2”ODOoOOe-OO1)
ΞS=
.1O93-∣-39.6≡*κ^3—2G.39⅛2-t-6.O⅛□*κ<
2.□C∣O□QOm-OeItA了*OCQDOOe-OO1)
3<
x>
2.476-4Z.93*h,,3+52.4.6⅛"
2-17.til*κ¢
3.OOUDOOer-OOIJI⅛.ODOooUe-UO1J
χiS
1.30□000e-OOIF5.S31403e-0Ol
三样条第二⅛⅛边界⅛∏f牛插直半吉果
S<
xi=
.5Q0□÷
.380丘7E4⅛'
3¢
0,1.OOOoOOs-OO1J
5108-9,O7O+κ^3+3.247*sc2-t-.5S73e-l≠κ<
1,OOOOOOe-OOU2,OoOOOOe-OOI>
Ξ⅛>
.I6fi3-bΓ33,93*x^3-22.55*^c-x2÷
Ξ-215*x¢
2.□OQ□ClDE-(JEJ1,3.□OOΠ口口亡一口门1、
S⅛>
L.SO7—ΞS.3⅛⅛κ"
3-∣-3Ξ.1⅛*≡≡^Ξ-LI*19⅛κ¢
3-OOOOODe-OoIJ4-OOOOOOe-OD1>
XlS
1.30000Oe-OOlJllO
5.5□□212—口Olj.>
>
Xi=0.36时
拉搭翎曰栖值⅛⅛弟
6,ΓΓ9SS2e-O□I
牛顿⅞G値⅛B耒
T-1633S3θ-O□1
三样毎第一粪边界号lfit⅛⅛値细果
.5□□□-f-*⅛ODO*κ-.3B9B*se^Z-l-3.09S*h□tDj1*OOOOOoe-OOl>
≡M=
“S147—LO.ΘS*3b:
"
S-H1*□L3*3T^2—.407Se-L*κ(1*OOOOODe-OO1,2-OOODooe-OOL>
«
.l□93-∣-39.60≠≥c*3-26.39⅛2+6.O40≠x<
2.0OOOOOer-OO1,3.OOOOOOer-OO1>
2.475-⅛T.93⅛3+52.46*x2-17.61*κ¢
3T□□OOOOC-OOIJ4,0□0000t-00I)
ZKΞLS
号”0O□QOO⅛-□□Ijβτθβ-i2□O⅛-□□I
三彳羊朵弟二粪边界祭俏插于亘细乐
-r>
□OO-I-,38∩5*ZH-1.75^*κ^3<
OjI-OOOOOOe-OOI)
“5103—9.O7r□⅛ιc^3-∣-3x2^2+_5575e-1(1.□OOOOOe-OOIJ2-OOOOoOe-OO1>
“1663-1-33.S3⅛"
3—22.SS*3tC2-∣-5.21S*a∑¢
2.0□0000⅛-0□lj3.OoOOOo&
-OO1)
1.807-2S.84≠x^3-∣-3Ξ.14*x^Ξ-l1.19*x<
3.00□000e-0□lp4.00□□□0e-001)
≈ciS
3,60000Oe-OO1,O
U.Ll
e.θ15-45S∈-O□Ij>
I
2将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上
0.85
原國数
拉格朗日摘值
牛顿插值摘值
+三样条插值
4.5.1增加插值节点观察误差变化
JSH宜卞熄致为WHT旳JiIn宜孜果
插值节点数为20时的插值效果
从上面三张图可以看出增加插值节点并不能改善差之效果
4.5.2车门曲线
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