届高考数学备考复习数列求和及综合应用Word格式文档下载.docx
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一般地,含有的递推关系式,一般利用化“和”为“项”。
要点考向2:
错位相减法求和
1.错位相减法求和,是高中数学中重要的数列求和方法,是近年高考的重点考查内容。
2.该类问题背景选择面广,可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合,在知识交汇点处命题。
3.多以解答题的形式出现,属于中、高档题。
几种求通项及求和方法
(1)已知,求可用叠加法,即
(2)已知,求可用叠乘法,即(3)设{}为等差数列,为等比数列,求数列的前n项和可用错位相减法。
例2:
(2010&
海南宁夏高考&
理科T17)设数列满足,
(Ⅰ)求数列的通项公式:
(Ⅱ)令,求数列的前n项和
【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前项和的求法,解决本题的关键是仔细观察形式,找到规律,利用等比数列的性质解题
【思路点拨】由给出的递推关系,求出数列的通项公式,在求数列的前n项和
【规范解答】
(Ⅰ)由已知,当时,
而,满足上述公式,
所以的通项公式为
(Ⅱ)由可知,
①
从而②
①②得
即
【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式,利用错位相减法求数列的和
要点考向3:
裂项相消法求和
1.裂项相消求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法,是近年高考的重点考查内容。
2.该类问题背景选择面广,可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合,在知识交汇点处命题。
3.多以解答题的形式出现,属中、高档题目。
裂项求和的几种常见类型
(1);
(2);
(3);
(4);
()若是公差为d的等差数列,则
;
(6);
(7)
(8)。
例3:
东高考理科&
T18)已知等差数列满足:
,,的前n项和为.
(1)求及;
(2)令(nN*),求数列的前n项和.
【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力
【思路点拨】
(1)设出首项和公差,根据已知条构造方程组可求出首项和公差,进而求出求及;
(2)由
(1)求出的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法
(1)设等差数列的公差为d,因为,,所以有
,解得,
所以;
==
(2)由
(1)知,所以bn===,
所以==,
即数列的前n项和=
【方法技巧】数列求和的常用方法:
1、直接由等差、等比数列的求和公式求和,注意对公比的讨论
2、错位相减法:
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广
3、分组转化法:
把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解
4、裂项相消法:
主要用于通项为分式的形式,通项拆成两项之差求和,正负项相消剩下首尾若干项,注意一般情况下剩下正负项个数相同
、倒序相加法:
把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)
要点考向4:
与不等式有关的数列问题
1.数列综合问题,特别是数列与不等式的综合问题是高考中经常考查的重要内容。
2.该类问题可与函数的单调性、基本不等式、导数函数等知识交汇,综合命题。
3.多以解答题的形式出现,属高档题。
例4:
天津高考科&
T22)在数列中,=0,且对任意,成等差数列,其公差为2
(Ⅰ)证明成等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)记,证明
【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
(Ⅰ)(Ⅱ)应用定义法证明、求解;
(Ⅲ)对n分奇数、偶数进行讨论.
(I)由题设可知,,,,,。
从而,所以,,成等比数列.
(II)由题设可得
所以
由,得,从而
所以数列的通项公式为或写为,.
(III)由(II)可知,,
以下分两种情况进行讨论:
当n为偶数时,设n=2
若,则,
若,则
所以,从而
(2)当n为奇数时,设.
综合
(1)和
(2)可知,对任意有
【高考真题探究】
1.(2010&
天津高考理科&
T6)已知是首项为1的等比数列,是的前n项和,且,则数列的前项和为()
(A)或(B)或()(D)
【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和公式.
【思路点拨】求出数列的通项公式是关键.
【规范解答】选.设,则,
即,,.
2.(2010&
T1)设{an}是等比数列,公比,Sn为{an}的前n项和.
记设为数列{}的最大项,则=.
【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和、均值不等式等基础知识.
【思路点拨】化简利用均值不等式求最值.
【规范解答】
∴
∵当且仅当即,所以当n=4,即时,最大.
【答案】4
3.(2010&
安徽高考理科&
T20)设数列中的每一项都不为0.
证明:
为等差数列的充分必要条是:
对任何,都有
.
【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条等知识,考查考生推理论证,运算求解能力.
【思路点拨】证明可分为两步,先证明必要性,适宜采用列项相消法,再证明充分性,可采用数学归纳法或综合法.
【规范解答】已知数列中的每一项都不为0,
先证
若数列为等差数列,设公差为,
当时,有,
即对任何,有成立;
当时,显然也成立.
再证
对任意,有①,
②,
由②-①得:
-
上式两端同乘,得③,
同理可得④,
由③-④得:
,所以为等差数列
【方法技巧】
1、在进行数列求和问题时,要善于观察关系式特点,进行适当的变形,如分组、裂项等,转化为常见的类型进行求和;
2、对数列中的含n的式子,注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子,再进行化简变形处理;
也可以把n取自然数中的具体的数1,2,3…等,得到一些等式归纳证明
4.(2010&
安徽高考科&
T21)设是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在轴的正半轴上,且都与直线相切,对每一个正整数,圆都与圆相互外切,以表示的半径,已知为递增数列
(1)证明:
为等比数列;
(2)设,求数列的前项和
【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察考生的抽象概括能力以及推理论证能力.
(1)求直线倾斜角的正弦,设的圆心为,得,同理得,结合两圆相切得圆心距与半径间的关系,得两圆半径之间的关系,即中与的关系,可证明为等比数列;
(2)利用
(1)的结论求的通项公式,代入数列,然后采用错位相减法求和
1、对数列中的含n的式子,注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子,再进行化简变形处理;
2、在进行数列求和问题时,要善于观察关系式特点,进行适当的处理,如分组、列项相消、错位相减等,转化为常见的类型进行求和.
.(2010&
江苏高考&
T19)设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列.
(1)求数列的通项公式(用表示);
(2)设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。
求证:
的最大值为.
【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识,考查探索、分析及论证的能力.
(1)先求,然后利用的关系求解;
(2)利用
(1)中所求利用基本不等式解决.
(1)由题意知:
,
,
化简,得:
,
当时,,适合情形.
故所求.
(2)(方法一)
,恒成立.
又,,
故,即的最大值为.
(方法二)由及,得,.
于是,对满足题设的,,有
所以的最大值.
另一方面,任取实数.设为偶数,令,则符合条,且.
于是,只要,即当时,.
所以满足条的,从而.
因此的最大值为.
6.(2010&
重庆高考理科&
T21)在数列中,=1,,其中实数。
(1)求的通项公式;
(2)若对一切有,求的取值范围。
【命题立意】本小题考查归纳、猜想解题,考查数学归纳法及其应用,考查数列的基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,考查分类讨论的思想
【思路点拨】
(1)先求出数列的前几项,归纳猜想得出结论,再用数学归纳法证明;
(2)对恒成立问题进行等价转化,
(1)
【方法1】:
由,,
,猜测(),
下面用数学归纳法证明
当n=1时,等式成立;
假设当n=时,等式成立,即,则当n=+1时,
综上可知,对任何都成立
【方法2】:
由原式,
令,则,,因此对有
因此,,。
又当n=1时上式成立。
(2)
由,得因,所以
解此不等式得:
对一切,有或,其中
易知(因为的分子、分母的最高次项都是2,且系数都是8,所以极限值是);
用放缩法得:
,所以,
因此由对一切成立得;
又,易知单调递增,故对一切成立,因此由对一切成立得:
,从而的取值范围为
由,得,
因,所以对恒成立
记,下分三种情况讨论。
(i)当即或时,代入验证可知只有满足要求
(ii)当时,抛物线开口向下,因此当正整数充分大时,,不符合题意,此时无解。
(iii)当,即或时,抛物线开口向上,其对称轴必在直线的左侧,因此,在上是增函数。
所以要使对恒成立,只需即可。
由解得或
结合或得或
综合以上三种情况,的取值范围为
(1)第
(1)问有两种方法解答:
①归纳猜想并用数学归纳法证明;
②数列的迭代法(或累加消项法);
(2)第
(2)问中对条“恒成立”进行等价转化,转化为一元二次不等式求解或转化为二次函数进行讨论;
(3)放缩法的运用
【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分,共36分)
1已知{an}为等差数列,若&
lt;
-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么使Sn&
gt;
0的n的最大值为()
(A)11(B)20()19(D)21
2已知等比数列{an}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是()
(A)(-∞,-1]
(B)(-∞,0)∪(1,+∞)
()[3,+∞)
(D)(-∞,-1]∪[3,+∞)
3首项为b,公比为a的等比数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N*,点(Sn,Sn+1)在()
(A)直线=ax+b上
(B)直线=bx+a上
()直线=bx-a上
(D)直线=ax-b上
4在数列中,若存在非零整数,使得对于任意的正整数均成立,那么称数列为周期数列,其中叫做数列的周期若数列满足,如,当数列的周期最小时,该数列的前2010项的和是()
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数比如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;
类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()
(A)289(B)1024()122(D)1378
6(2010届&
安徽省安庆市高三二模())已知实数、满足:
(其中是虚数单位),若用表示数列的前项和,则的最大值是()
A12B141D16
二、填空题(每小题6分,共18分)
7已知等比数列满足,且,则当时,
________
8类比是一个伟大的引路人。
我们知道,等差数列和等比数列有许多相似的性质,请阅读下表并根据等差数列的结论,类似的得出等比数列的两个结论:
,9将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0-1三角数表,从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第n次全行的数都为1的是第_______行;
第61行中1的个数是_______三、解答题(10、11题每题1分,12题16分,共46分)
10已知数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+(n∈N*)
(1)证明数列{an+1}是等比数列;
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f′
(1)
11已知二次函数=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数=f(x)的图象上
(1)求数列{an}的通项公式;
12在数列中,
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)求的最大值
参考答案
一、选择题
1【解析】选∵等差数列{an}中,&
-1且它的前n项和Sn有最大值,∴a10&
0,a11&
0,故a11&
-a10
即a11+a10&
0,而a10+a10&
0,
∴使Sn&
0的n的最大值为19
234D
【解析】选从图中观察知
图1中an=1+2+…+n=
图2中bn=n2,
显然122在an中n=49,
在bn中n=3
6D
二、填空题
7
8,
9【解析】①第1次全行的数都是1的是第1行,
第2次全行的数都是1的是第3行,
第3次全行的数都是1的是第7行,
……
第n次全行的数都是1的是第2n-1行,
②由上面结论知第63行有64个1,
则1100……0011……61行
1010……101……62行
1111……11……63行
从上面几行可知第61行数的特点是两个1两个0交替出现,最后两个为1,
∴在第61行的62个数中有32个1
答案:
2n-132
三、解答题
10【解析】
(1)由已知Sn+1=2Sn+n+,
∴n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4,
两式相减,得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,
即an+1=2an+1
从而an+1+1=2(an+1)
当n=1时,S2=2S1+1+,
∴a1+a2=2a1+6,
又a1=,∴a2=11,
∴a2+1=2(a1+1),故总有an+1+1=2(an+1),n∈N*
又∵a1=,∴an+1≠0,即{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列
(2)由
(1)知an=3×
2n-1
∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,
∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-111【解析】
(1)依题意可设f(x)=ax2+bx(a≠0),
则f′(x)=2ax+b
由f′(x)=6x-2得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x
又由点(n,Sn)(n∈N*)均在函数=f(x)的图象上得Sn=3n2-2n
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-;
当n=1时,a1=S1=3×
12-2×
1=1=6×
1-
所以an=6n-(n∈N*)12【解析】
(1)由且…)
得.
(2)由变形得
是首项为公比为的等比数列
即()
(3)①当是偶数时
随增大而减少
当为偶数时,最大值是.
②当是奇数时随增大而增大且
综上最大值为
【备资】
1已知等比数列{an}的公比q&
0,前n项的和为Sn,则S4a与Sa4的大小关系是()
(A)S4a=Sa4(B)S4a&
Sa4
()S4a&
Sa4(D)不能确定
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