版中考数学真题汇编33 二次函数含答案Word格式.docx
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a>
0,b>
0,c<
0所以abc<
0;
故①正确;
对称轴-
=-1,可得b=2a,故②错误;
当x=-1时,a-b+c<
0,故③错误;
当x=-2时,4a-2b+c<
0,故④正确.
3.(2015·
四川泸州,9,3分)若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是( )
A.x<
-4或x>
2B.-4≤x≤2
C.x≤-4或x≥2D.-4<
x<
解析 ∵二次函数y=ax2+bx+c(a<
0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为x=-1,
∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(-4,0).
∵a<
0,∴抛物线开口向下,
则使函数值y>0成立的x的取值范围是-4<x<2.
4.(2015·
浙江宁波,11,4分)二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象在2<
3这一段位于x轴的下方,在6<
7这一段位于x轴的上方,则a的值为( )
A.1B.-1C.2D.-2
解析 由题目画出图象,由图象观察,图象一定经过(2,0)和(6,0)两个点,把其中一个点的坐标代入得:
a=1,故A正确.
答案 A
5.(2015·
浙江温州,9,4分)如图,在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,分别交OA,OB于点D,E,以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE=∠GFH=120°
,FG=FE.设OC=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是( )
A.y=
x2B.y=
x2
C.y=2
x2D.y=3
解析 ∵OC=x,∴DE=2x,∴△DEF的面积为
x2,菱形的面积为△DEF的2倍,∴y=
x2,故B正确.
答案 B
6.(2015·
贵州遵义,6,3分)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示,其中正确的是( )
解析 根据a的符号可排除A、C,(这两项a的符号相反);
B项,二次函数a<
0,而一次函数a<
0,b<
故错误;
D项正确.
二、填空题
7.(2015·
浙江温州,15,5分)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.
解析 设垂直于墙的一边为xm,则另一边为(30-3x)m2,面积为y,则y=x(30-3x)=-3x2+30x,算出最大值为75m2.
答案 75
8.(2015·
浙江舟山,12,4分)把二次函数y=x2-12x化为形如y=a(x-h)2+k的形式:
________.
解析 用配方法可得y=(x-6)2-36.
答案 y=(x-6)2-36
9.(2015·
山东日照,15,3分)如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:
①2a+b=0;
②abc>
③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;
④抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);
⑤当1<
4时,有y2<
y1,其中正确的是________.
解析 ∵抛物线的顶点坐标A(1,3),∴抛物线的对称轴为直线x=-
=1,∴2a+b=0,所以①正确;
∵抛物线开口向下,∴a<0,∴b=-2a>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以②错误;
∵抛物线的顶点坐标A(1,3),∴x=1时,二次函数有最大值,∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,所以③正确;
∵抛物线与x轴的一个交点为(4,0)而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(-2,0),所以④错误;
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(1,3),B(4,0),∴当1<x<4时,y2<y1,所以⑤正确.
答案 ①③⑤
三、解答题
10.(2015·
浙江杭州,20,10分)设函数y=(x-1)[(k-1)x+(k-3)](k是常数).
(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示,请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象;
(2)根据图象,写出你发现的一条结论;
(3)将函数y2的图象向左平移4个单位,再向下平移2个单位,得到函数y3的图象,求函数y3的最小值.
解
(1)当k=0时,y=-(x-1)(x+3),所画函数图象如图;
(2)①图象都经过点(1,0)和点(-1,4);
②图象总交x轴于点(1,0);
③k取0和2时的函数图象关于点(0,2)中心对称;
④函数y=(x-1)[(k-1)x+(k-3)]的图象都经过点(1,0)和(-1,4);
等等.
(其他正确结论也行)
(3)平移后的函数y3的表达式为:
y3=(x+3)2-2,
所以当x=-3时,函数y3的最小值等于-2.
11.(2015·
浙江舟山,23,10分)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元.为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足如下关系式:
y=
(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?
(2)如图,设第x天每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?
最大值是多少元(利润=出厂价-成本)?
(3)设
(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?
解
(1)设第n天生产了420只粽子.
由题意可知:
30n+120=420,解得n=10.
答:
第10天生产了420只粽子.
(2)由图象得:
当0≤x≤9时,p=4.1;
当9≤x≤15时,设p=kx+b,把点(9,4.1),(15,4.7)代入上式,得
∴p=0.1x+3.2,
①0≤x≤5时,ω=(6-4.1)×
54x=102.6x,当x=5时,ω最大=513(元);
②5<
x≤9时,ω=(6-4.1)×
(30x+120)=57x+228,∴当x=9时,ω最大=741(元);
③9≤x≤15时,ω=(6-0.1x-3.2)×
(30x+120)=-3x2+72x+336.
∵a=-3<
0,∴当x=-
=12时,ω最大=768(元).综上,当x=12时,ω有最大值,ω最大=768元.
(3)由
(2)小题可知m=12,m+1=13.
设第13天提价a元,由题意得:
ω13=(6+a-p)(30x+120)=510(a+1.5).∴510(a+1.5)-768≥48,∴a≥0.1,
第13天应至少提价0.1元.
12.★(2015·
山东青岛,22,10分)如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=-
x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m,到地面OA的距离为
m.
(1)求该抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?
解
(1)由题意得点B的坐标为(0,4),点C的坐标为
,∴
∴该抛物线的函数关系式为y=-
x2+2x+4.
∵y=-
x2+2x+4=-
(x-6)2+10,
∴拱顶D到地面OA的距离为10m.
(2)当x=6+4=10时,y=-
×
102+2×
10+4=
>
6,∴这辆货车能安全通过.
(3)当y=8时,-
x2+2x+4=8,
即x2-12x+24=0,∴x1+x2=12,x1x2=24,
∴两排灯的水平距离的最小值是:
|x1-x2|=
=
=4
(m).
B组 2014~2011年全国中考题组
1.(2013·
浙江义乌,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论:
①当x>3时,y<0;
②3a+b>0;
③-1≤a≤-
;
④3≤n≤4中,正确的是( )
A.①②B.③④C.①④D.①③
解析 ∵A(-1,0)在抛物线上,∴a-b+c=0.∵顶点坐标为(1,n),∴b=-2a,抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(3,0).∵开口方向向下,∴a<0.∴x>3时,y<0,故①正确;
∵b=-2a,∴b+2a=0,∴b+3a=a<0,②错误;
∵a-b+c=0,b=-2a,∴c=-3a.∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),∴2≤c≤3,∴2≤-3a≤3,∴-1≤a≤-
,③正确;
∵a+b+c=n,b=-2a,∴a-c=-n,∵c=-3a,∴n=-4a,∴-1≤-
≤-
≤n≤4,④错误,故选D.
2.(2013·
浙江杭州,10,3分)给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=
的图象
①如果
>a>a2,那么0<a<1;
②如果a2>a>
,那么a>1;
③如果
>a2>a,那么-1<a<0;
④如果a2>
>a时,那么a<-1.则( )
A.正确的命题是①④B.错误的命题是②③④
C.正确的命题是①②D.错误的命题只有③
解析 如图分析:
联立组成方程组可得:
解得x=1或x=-1,所以交点坐标为(1,1)和(-1,-1),由图得①描述正确.②如果a2>a>
,则根据图象可得a>1或-1<a<0,所以②描述错误.③如果
>a2>a,则根据图象没有这样的a存在,所以③描述错误.④描述正确.
3.(2014·
浙江金华,9,3分)如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象,使y≤1成立的x的取值范围是( )
A.-1≤x≤3B.x≤-1
C.x≥1D.x≤-1或x≥3
解析 当y=1时,-x2+2x+4=1,解得x1=-1,x=3,结合二次函数的图象知y≤1成立的x的取值范围是x≤-1或x≥3,故选D.
4.(2014·
浙江嘉兴,10,4分)当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为( )
A.-
B.
或-
C.2或-
D.2或-
解析 对于y=-(x-m)2+m2+1,∵a=-1<0,∴抛物线的开口向下,对称轴为x=m,顶点坐标(m,m2+1).当-2≤m≤1时,最大值m2+1=4,解得m1=
(不合题意,舍去),m2=-
.当m<-2时,可知x=-2时有最大值,即-(-2-m)2+m2+1=4,解得m=-
(不合题意,舍去).当m>1时,可知x=1时有最大值,即-(1-m)2+m2+1=4,解得m=2.综上可知,m的值为2或-
.故选C.
答案 C
5.(2013·
浙江衢州,15,4分)某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一颗树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y个,则果园里增种________棵橘子树,橘子总个数最多.
解析 根据题意得,y=(600-5x)(100+x),化为一般形式为y=-5x2+100x+60000,-
=-
=10,当多种10棵树时,橘子总个数最多.故填10.
答案 10
6.★(2013·
山西,18,3分)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为________m.
解析 以C为原点,过点C平行于AB的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,以1m为一个单位长度,可得A,B的坐标分别为(-18,-9),(18,-9),C的坐标为(0,0),点D,E的纵坐标为-16.设抛物线的解析式为y=ax2,把(18,-9)代入y=ax2,得-9=324a,解得a=
-
,∴抛物线的解析式为y=-
x2.把y=-16代入y=-
x2,得-16=-
x2,解得x=±
24,即D(-24,-16),E(24,-16),∴DE=48(m).
答案 48
7.(2014·
浙江绍兴,13,5分)如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线.以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-
(x-6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是________________.
解析 由y=-
(x-6)2+4可知顶点坐标为(6,4),又因为AB为12m,则以点B为坐标原点时,抛物线的形状、大小不变,但顶点坐标变为(-6,4),所以抛物线的解析式为y=-
(x+6)2+4.
答案 y=-
(x+6)2+4
8.(2014·
浙江宁波,23,10分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.
解
(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点,∴
∴a=
,b=-
,c=-1,
∴二次函数的解析式为y=
x2-
x-1.
(2)当y=0时,得
x-1=0,
∴x1=2,x2=-1,∴点D的坐标为(-1,0).
(3)经过D(-1,0),C(4,5)两点的直线即为直线y=x+1的图象.
由图象得,当-1<x<4时一次函数的值大于二次函数的值.
9.(2014·
浙江义乌,21,8分)受国内外复杂多变的经济环境影响,去年1至7月,原材料价格一路攀升,义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1(元)与月份x(1≤x≤7,且x为整数)之间的函数关系如下表:
月份x
3
4
5
6
7
成本(元/件)
56
58
60
62
64
66
68
8至12月,随着经济环境的好转,原材料价格的涨势趋缓,每件原材料成本y2(元)与月份x的函数关系式为y2=x+62(8≤x≤12,且x为整数).
(1)请观察表格中的数据,用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式.
(2)若去年该衣服每件的出厂价为100元,生产每件衣服的其他成本为8元,该衣服在1至7月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1(1≤x≤7,且x为整数);
8至12月的销售量p2(万件)与月份x满足关系式p2=-0.1x+3(8≤x≤12,且x为整数),该厂去年哪个月利润最大?
并求出最大利润.
解
(1)由表格中数据可猜测,y1是x的一次函数.
设y1=kx+b,则
解得:
∴y1=2x+54,
经检验其它各点都符合该解析式,
∴y1=2x+54(1≤x≤7,且x为整数).
(2)设去年第x月的利润为w万元.
当1≤x≤7,且x为整数时,
w=p1(100-8-y1)=(0.1x+1.1)(92-2x-54)=-0.2x2+1.6x+41.8=-0.2(x-4)2+45,
∴当x=4时,w最大=45万元;
当8≤x≤12,且x为整数时,
w=p2(100-8-y2)=(-0.1x+3)(92-x-62)=0.1x2-6x+90=0.1(x-30)2,
∴当x=8时,w最大=48.4万元.
∴该厂去年8月利润最大,最大利润为48.4万元.
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