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1)同时成立;
等函数当时得极限要分别考虑
2)
用于求分段函数在分段点处得极限
3•极限性质傩一性,有界性,保号性
极限存在准则:
单调有界,夹逼定理
4•无穷小与无穷大
1)无穷小:
以零为极限得量称为无穷小量,即
无穷大:
(此时极限不存在);
2)无穷大与无穷小得关系:
在自变量得同一变化过程中,
1若就是无穷小且,则就是无穷大;
2若就是无穷大,则就是无穷小。
3)无穷小得运算性质:
①有限个无穷小之与、枳仍为无穷小;
②有界函数与无穷小之积为无穷小。
4)无穷小得比较:
设(R卩:
为无穷小)
1若,称就是得高阶无穷小,记作;
2若,(),称与就是同阶无穷小;
3若,称与就是等价无穷小,记为
5)常用得等价无穷小
当时…
推广:
当时,有
arcsin/(x)~/(x),arctan/(%)~/(x),ln(l+/(%))~/(x),"
"
'
-1~/(%)
6)等价无穷小应用:
利用等价无穷小代换求极限
1)只在乘除因子中用,加减运算时不适用,例:
不能宜接代换。
2)洛必达法则只就是极限存在得充分条件而非必要得。
5•两个重要极限
推广:
①当时,
这里将换成结论仍成立
②当时「及中任意两个商得极限为1°
2)或
①当时,(为常数)
②当时,(为常数)
6•洛必达法则:
若•在邻域内可导,且
则:
使用法则时注意:
①只有才能使用,只要就是可多次使用;
②每用完一次,要将式子整理化简后再用法则;
③为简便运算,往往先对等式恒等变形或用等价无穷小代换后再用法则。
7•与极限有关得典型例题
1)就是初等函数•就是其定义域内得一点,用代入法:
2)有理分式函数得极限
3)无穷小与有界函数之积仍为无穷小
4)未定型
①因式分解:
约去零因子
②含有根式:
有理化
3洛必达法则:
(存在)
例(先代换,令,再用法则)
4重要极限:
例(极限存在部分先讣算,能用等价无穷小代换得先代换再用法则)
例(两个重要极限都用到)
5)未定型
1有理函数用公式:
(抓大头)
2洛必达法则
例(不能使用洛必达)
③分子分母同除因子:
例
①分式:
通分
②含根式:
③作代换:
7)未定型:
化为或
例(化为)
8)指数型:
利用对数恒等式化为:
;
对还可利用重要极限
9)分段函数在分段点得极限:
用左右极限及极限存在得充要条件考虑
例,求
若得极限式中含有,特别就是得,一泄分别求出时得极限,两者相等,则极限存在,否则不存在。
10)数列无限项与得极限:
利用极限存在准则(夹逼定理)
11)数列敛散性得判定与证明
例设,试证数列极限存在,并求此极限。
12)积分上限函数得极限:
用洛必达法则
13)某些特定得极限:
用导数得定义求
14)已知极限,求常数
例设,求常数。
15)已知一个极限,求另一个极限
例设,求
例•求
16)无穷小阶得比较
例时…求
三、连续
1、ik义:
在点连续
2•在处连续得充要条件:
适用于判断分段函数在分段点得连续性
3•基本初等函数在定义域内连续;
一切初等函数在苴定义域内连续函数。
4•函数得间断点(在点不连续):
函数在没有世义•或,或不存在;
6.间断点得分类:
1)第一类间断点:
左右极限存在但不相等(跳跃间断点)
左右极限存在相等,但函数在该点没泄义(可去间断点)
左右极限存在相等,但不等于函数值(可去间断点)
2)第二类间断点:
左右极限中至少有一个不存在。
7•闭区间上连续函数得性质(用于证明题中)
1)有界性:
闭区间上连续得函数在该区间上有界且一;
4^能取得最大值与最小值。
2)零点崔理:
设函数在闭区间上连续,且,那么在内至少存在一点,使。
3)介值世理:
设函数在闭区间上连续,且在这区间得端点,
那么对于之间得任意一个数,在开区间内至少有一点,使得
&
典型例题
1)讨论函数得连续性
例讨论得连续性。
解:
,得连续区间
2)设,求得间断点并判别其类型。
,所以为间断点;
且,所以就是第二类间断点。
9、有关闭区间上连续函数得证明题
命题证明有两种方法:
1)宜接法:
英程序就是先用最值定理,再用介值定理
例设在上连续,且,证明:
在内至少存在一个,使得,貝中为任意常数。
证一:
因为在上连续,所以在上有最大值与最小值,则
,由于,于就是有
所以由介值崔理,在上至少存在一个,使
2)间接法:
先构造辅助函数,验证满足零值泄理条件.然后由零值;
4^理得出命题。
辅助函数得作法:
1把结论中得(或)改写成;
2移项,使等式右边为零,令左边得式子为,此即为所求得辅助函数。
证二:
令,由题设可知在上连续,
因为…所以当时,
又,有,所以由零点定理可知,至少存在一个,使,即。
例设在上连续,且。
证明:
在上至少存在一个,使得。
复习提纲(导数与微分)
一、导数
1•导数得定义
1)设函数在点得某邻域内有过义,
或(几种等价定义)
求某点处得导数,尤其就是分段函数在分段点得导数用第二种等价窪义较方便。
2)导函数:
导函数值(导数几
3)若极限不存在,则在点处不可导。
2•单侧导数
1)或;
或;
2)函数在点处可导得充要条件就是
常用来判别分段函数在一点得可导性
3•导数得几何意义、物理意义与经济意义
1)几何意义:
在点处切线得斜率:
过点得切线方程为:
若,法线方程为:
若,则切线:
法线:
。
2)物理意义:
物体在得瞬时速度:
,即。
3)经济意义:
在经济学中称为边际函数。
4•可导与连续得关系
可导连续;
连续未必可导,如函数在点连续但不可导。
5.函数得求导法则
显函数直接求,隐函数两边求,抽彖函数复合求,复合函数逐层求,参数方程分别求,一点处导数世义,幕
指函数乘除因子对数求■高阶导数逐阶求。
二、微分
1.微分得概念
1)定义设函数在点得某一邻域内有定义,且也属于该邻域。
如果函
数得增量,其中就是与无关得常数•就是无穷小量,为较高阶得无穷小量,则称函数在点处可微分,并称为函数
在点处得微分。
记为或。
2)在点处可微分函数在点可导,此时。
3)微分得几何意义:
函数在点处得微分,在几何上表示当自变量有改变量时•曲线在点沿切线得纵坐标得改变量。
2•微分得运算
1)微分得基本运算公式:
2)—阶微分形式得不变性:
无论就是自变量还就是中间变量,都有总成立。
3)在点处连续、有极限以及可微、可导之间得关系:
可微可导连续有极限
3•微分在近似计算中得应用
1)设在点处可导•则当很小时,有
2)常用得近似公式:
当很小时,有
三、导数与微分典型运算
1•与导数定义有关得命题
步骤:
1)写出导数世义式;
2)再凑成要求得定义式
设,求
设存在,求
设在连续,且,求
设对任间有,且,证明当时,有
设在内有定义,对任意,恒有,当时"
试判断在处就是否存在?
2•求各类一元函数得导数
1)复合函数
①分解函数
②若,则
若,则
3再将中间变量回代
•求
例,设,求
2)隐函数:
①写明等式两边同时对求导,
②对含有得函数要先对求导再乘上(要记住就是得复合函数)
3解出得表达式。
确曲求
3)参数方程导数
①先分别求出
②写出公式③若要求二阶得话,先进行整理
设求
4)对数求导法
①等式两边同时取对数
②等式两边同时对求导(即利用隐函数求导方法),左边就是③整理,将代入。
例设确;
4^就是得函数,求
若一函数不能直接用法则或上述方式求得,则将夷分成几个函数分别求,然后再用法则
例求:
()
5)求高阶导数
①先求出一阶,并整理;
②再求二阶,三阶等。
(每做一次,先整理后再求更离阶)
,求
设■求
常用高阶导数公式
②,
③,
6)求导数值
①求出导函数
②再将代入
例,求及(注:
本题点导数要用定义求)
7)求切法线方程
①写出切点
②求出•得或(此为参数方程)③写出切、法线方程公式,再代入
例求在点处得切法线方程。
例曲线得切线与轴与轴圉成一个图形,记切点得横坐标为,试求切线方程与平而图形得而积,当切点沿曲
线趋于无穷远时,该面积得变化趋势如何?
例已知就是周期为得连续函数,它在得某邻域内满足关系式
,其中就是当时比高阶得无穷小,且在处可导,求曲线在点处得切线方程。
例设曲线在点处得切线与轴交点坐标为,求
8)求微分
①先求出;
②
例设函数由方程确定,求
9)微分得近似计算
①将化成(为一较小得数),再设
②求出,进而求出③写出近似公式
4将代入进行讣算
例讣算
10)分段函数在分段点得连续与可导性
①改写函数•写出其在分段点处函数值
②连续性:
验证,成立则连续;
③可导性:
验证,成立则可导。
,讨论在处连续与可导性设,试确定得值,使函数在点连续可导。
设,苴中在点处连续,证明当时在
处可导、(利用函数在点处可导得充要条件)
11)积分上限函数得导数
设为连续函数,且,求设为连续函数,求设为连续函数,求设为连续函数,求,求
四、导数得应用
1•函数得单调性1)如果函数在区间内可导且,则在内就是严格单调增加;
2)如果函数在区间内可导且侧在内就是严格单调减少。
3)利用导数求函数单调区间步骤:
①写出函数得泄义战②求出③求出或不存在得点,这些点将定义域分成若干小区间
4列表讨论在小区间上得符号正负,得到函数得单调区间。
2•函数得极值
函数在点得邻域内有崔义
1),有,则为一个极大值,就是一个极大值点;
2),有,则为一个极小值,就是一个极小值点;
①极值就是考虑函数在局部范用内取值情况;
②使函数取得极值得点称为函数得极值点。
3)极值存在得必要条件:
设函数在处可导且在处取得极值,则。
4)极值存在得第一充分条件:
设函数在得某个去心邻域内可导,在处连续•则①当得符号在两侧左正右负时,为
极大值。
②当得符号在两侧左负右正时,为极小值。
4)极值得第二充分条件:
设函数在处二阶可导且•则
当时,为极小值;
当时,为极大值。
确定函数得定义域
求出得导数
求出得驻点或不存在得点
利用极值得充分条件判断所求出得驻点及导数不存在得点就是否就是极值点
求出极值点。
3•函数最大值、最小值
某函数在闭区间上连续,则可先求出函数在内所有驻点及导数不存在得点处得函数值并与比较,其中最大者就是函数在上得最大值,最小者就是函数在上得最小值。
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