2 第2讲 一元二次不等式及其解法Word下载.docx
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(1)>
0(<
0)⇔f(x)g(x)>
0).
(2)≥0(≤0)⇔
2.绝对值不等式的解法
(1)|f(x)|>
|g(x)|⇔[f(x)]2>
[g(x)]2.
(2)|f(x)|>
g(x)⇔f(x)>
g(x)或f(x)<
-g(x).
(3)|f(x)|<
g(x)⇔-g(x)<
f(x)<
g(x).
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)若不等式ax2+bx+c<
0(a≠0)的解集为(x1,x2),则必有a>
0.( )
(2)若不等式ax2+bx+c>
0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( )
(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>
0的解集为R.( )
(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<
0且Δ=b2-4ac≤0.( )
(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<
0的解集一定不是空集.( )
答案:
(1)√
(2)√ (3)×
(4)×
(5)√
已知A={x|-4<
1},B={x|x2-x-6<
0},则A∪B等于( )
A.(-3,1)B.(-2,1)
C.(-4,2)D.(-4,3)
解析:
选D.因为A={x|-4<
1}=(-4,1),B={x|x2-x-6<
0}=(-2,3),所以A∪B=(-4,3).故选D.
|x|·
(1-2x)>
0的解集为( )
A.(-∞,0)∪B.
C.D.
选A.原不等式等价于解不等式组可得实数x的取值范围是(-∞,0)∪.
设二次不等式ax2+bx+1>
0的解集为,则ab的值为________.
由不等式ax2+bx+1>
0的解集为,知a<
0且ax2+bx+1=0的两根为x1=-1,x2=,
由根与系数的关系知
所以a=-3,b=-2,ab=6.
6
若不等式x2+ax+4<
0的解集不是空集,则实数a的取值范围是__________.
因为不等式x2+ax+4<
0的解集不是空集,
所以Δ=a2-4×
4>
0,即a2>
16.
所以a>
4或a<
-4.
(-∞,-4)∪(4,+∞)
一元二次不等式的解法(多维探究)
角度一 解不含参数的一元二次不等式
(1)解不等式:
-x2-2x+3≥0;
(2)已知函数f(x)=解不等式f(x)>
3.
【解】
(1)不等式两边同乘以-1,原不等式可化为x2+2x-3≤0.
方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.
而y=x2+2x-3的图象开口向上,可得原不等式-x2-2x+3≥0的解集是{x|-3≤x≤1}.
(2)由题意或解得x>
1.
故原不等式的解集为{x|x>
1}.
角度二 解含参数的一元二次不等式
(分类讨论思想)解关于x的不等式:
12x2-ax>
a2(a∈R).
【解】 因为12x2-ax>
a2,
所以12x2-ax-a2>
0,即(4x+a)(3x-a)>
0.
令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-,x2=.
①当a>
0时,-<
,
解集为;
②当a=0时,x2>
0,解集为{x|x∈R,且x≠0};
③当a<
0时,->
解集为.
综上所述:
当a>
0时,不等式的解集为;
当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠0};
当a<
0时,不等式的解集为.
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤
①二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式;
②判断相应方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系;
③确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
1.已知集合M={x|3x-x2>
0},N={x|x2-4x+3>
0},则M∩N=( )
A.(0,1)B.(1,3)
C.(0,3)D.(3,+∞)
选A.将M中不等式变形,得x(x-3)<
0,解得0<
3,即M=(0,3).将N中不等式变形,得(x-1)(x-3)>
0,解得x<
1或x>
3,即N=(-∞,1)∪(3,+∞).则M∩N=(0,1).故选A.
2.不等式0<
x2-x-2≤4的解集为________.
原不等式等价于
即
即解得
借助于数轴,如图所示,
原不等式的解集为{x|-2≤x<
-1或2<
x≤3}.
[-2,-1)∪(2,3]
3.解不等式ax2-(a+1)x+1<
解:
因为a>
0,原不等式等价于(x-1)<
①当a=1时,=1,(x-1)<
0无解;
②当a>
1时,<
1,解(x-1)<
0得<
1;
③当0<
a<
1时,>
0得1<
.
当0<
1时,解集为;
当a=1时,解集为∅;
1时,解集为.
一元二次不等式恒成立问题(多维探究)
角度一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定
参数的范围
若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<
0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.
【解析】 当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<
0,
对一切x∈R恒成立.
当a≠2时,则
即解得-2<
2.
所以实数a的取值范围是(-2,2].
【答案】 (-2,2]
角度二 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a,b])确
定参数的范围
(2019·
江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x2-2(a-2)x+a>
0,则实数a的取值范围是________.
【解析】 设f(x)=x2-2(a-2)x+a.
因为对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有f(x)=x2-2(a-2)x+a>
所以Δ<
0或解得1<
4或4≤a≤5,即1<
a≤5.
【答案】 (1,5]
角度三 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a,b])
确定x的范围
求使不等式x2+(a-6)x+9-3a>
0,|a|≤1恒成立的x的取值范围.
【解】 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x-3)a+x2-6x+9>
令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,则-1≤a≤1.
因为f(a)>
0在|a|≤1时恒成立,所以
(1)若x=3,则f(a)=0,不符合题意,应舍去.
(2)若x≠3,则由一次函数的单调性,
可得即
解得x<
2或x>
4.
则实数x的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞).
形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解思路
(1)x∈R的不等式确定参数的范围时,结合二次函数的图象,利用判别式来求解.
(2)x∈[a,b]的不等式确定参数范围时,①根据函数的单调性,求其最值,让最值大于等于或小于等于0,从而求出参数的范围;
②数形结合,利用二次函数在端点a,b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围.
(3)已知参数m∈[a,b]的不等式确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.(如例2-3)
[注意] 解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元,谁是参数.
1.若函数y=的定义域为R,则m的取值范围是________.
要使y=有意义,即mx2-(1-m)x+m≥0对∀x∈R恒成立,
则解得m≥.
2.设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<
-m+5恒成立,求m的取值范围.
要使f(x)<
-m+5在x∈[1,3]上恒成立,
即m+m-6<
0在x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法:
法一:
令g(x)=m+m-6,x∈[1,3].
当m>
0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3)⇒7m-6<
所以m<
所以0<
m<
;
当m=0时,-6<
0恒成立;
当m<
0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g
(1)⇒m-6<
6,
综上所述,m的取值范围是.
法二:
因为x2-x+1=+>
又因为m(x2-x+1)-6<
因为函数y==
在[1,3]上的最小值为,所以只需m<
即可.
所以,m的取值范围是.
转化与化归思想在不等式中的应用
内蒙古包头模拟)不等式f(x)=ax2-x-c>
0的解集为{x|-2<
1},则函数y=f(-x)的图象为( )
【解析】 由题意得解得则函数y=f(-x)=-x2+x+2,结合选项可知选C.
【答案】 C
本例利用了转化思想,其思路为
(1)一元二次不等式ax2+bx+c>
0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根(如本例),也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c>
0的x的值构成的;
图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c<
0的x的值构成的,三者之间相互依存、相互转化.
设a,b是关于x的一元二次方程x2-2mx+m+6=0的两个实根,则(a-1)2+(b-1)2的最小值是( )
A.- B.18
C.8D.-6
选C.因为关于x的一元二次方程x2-2mx+m+6=0的两个根为a,b,
所以且Δ=4(m2-m-6)≥0,解得m≥3或m≤-2.
所以y=(a-1)2+(b-1)2=(a+b)2-2ab-2(a+b)+2=4m2-6m-10=4-.
由二次函数的性质知,当m=3时,函数y=4m2-6m-10取得最小值,最小值为8.故选C.
[基础题组练]
1.设集合A={x|x2+x-6≤0},集合B为函数y=的定义域,则A∩B等于( )
A.(1,2) B.[1,2]
C.[1,2)D.(1,2]
选D.A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},由x-1>
0得x>
1,即B={x|x>
1},所以A∩B={x|1<
x≤2}.
2.若不等式ax2+bx+2<
0的解集为{x|x<
-,或x>
},则的值为( )
A.B.
C.-D.-
选A.由题意得方程ax2+bx+2=0的两根为-与,所以-=-+=-,则=1-=1-=.
3.(2019·
安徽淮北一中模拟)若(x-1)(x-2)<
2,则(x+1)(x-3)的取值范围是( )
A.(0,3)B.[-4,-3)
C.[-4,0)D.(-3,4]
选C.由(x-1)(x-2)<
2解得0<
3,函数y=(x+1)(x-3)的图象的对称轴是直线x=1,故函数在(0,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增,在x=1处取得最小值,最小值为-4,在x=3处取值为0,在x=0处取值为-3,故(x+1)(x-3)的取值范围为[-4,0).
4.若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[-1,4]
B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞)
D.[-2,5]
选A.x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,
只需a2-3a≤4即可,解得-1≤a≤4.
5.不等式|x(x-2)|>
x(x-2)的解集是________.
不等式|x(x-2)|>
x(x-2)的解集即x(x-2)<
0的解集,解得0<
{x|0<
2}
6.不等式<
1的解集是________.
1⇒<
⇒>
0⇒x>
1或x<
-1.
-1}
7.若关于x的不等式x2-ax+1≤0的解集中只有一个整数,且该整数为1,则a的取值范围为________.
令f(x)=x2-ax+1,由题意可得,解得2≤a<.
[2,)
8.已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<
0,当x∈(-3,2)时,f(x)>
(1)求f(x)在[0,1]内的值域;
(2)若ax2+bx+c≤0的解集为R,求实数c的取值范围.
(1)因为当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<
当x∈(-3,2)时,f(x)>
所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,
所以
所以a=-3,b=5.
所以f(x)=-3x2-3x+18
=-3+.
因为函数图象关于x=-对称且抛物线开口向下,
所以f(x)在[0,1]上为减函数,
所以f(x)max=f(0)=18,
f(x)min=f
(1)=12,故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].
(2)由
(1)知不等式ax2+bx+c≤0可化为-3x2+5x+c≤0,要使-3x2+5x+c≤0的解集为R,只需Δ=b2-4ac≤0,
即25+12c≤0,所以c≤-,
所以实数c的取值范围为.
[综合题组练]
1.(综合型)已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( )
A.(-1,0)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.不能确定
选C.由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象关于直线x=1对称,即=1,解得a=2.
又因为f(x)开口向下,
所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,
f(x)>0恒成立,即b2-b-2>0恒成立,
解得b<
-1或b>2.
2.若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<
0的解集中,恰有3个整数,则实数a的取值范围是( )
A.(4,5)B.(-3,-2)∪(4,5)
C.(4,5]D.[-3,-2)∪(4,5]
选D.将不等式x2-(a+1)x+a<
0化为(x-1)(x-a)<
0.当a>
1时,得1<
a,此时解集中的整数为2,3,4,则4<
a≤5;
1时,得a<
1,此时解集中的整数为0,-1,-2,则-3≤a<-2.故实数a的取值范围是[-3,-2)∪(4,5].故选D.
3.(创新型)(2019·
湖南长沙模拟)定义运算:
x⊗y=例如:
3⊗4=3,(-2)⊗4=4,则函数f(x)=x2⊗(2x-x2)的最大值为________.
由已知得f(x)=x2⊗(2x-x2)==易知函数f(x)的最大值为4.
4
4.(2019·
云南昆明适应性检测)关于x的不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为[a,b],则b-a=________.
画出函数f(x)=x2-3x+4=(x-2)2+1的图象,如图,
可得f(x)min=f
(2)=1,
由图象可知,若a>
1,则不等式a≤x2-3x+4≤b的解集分两段区域,不符合已知条件,
因此a≤1,此时a≤x2-3x+4恒成立.
又不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为[a,b],
所以a≤1<
b,f(a)=f(b)=b,可得
由b2-3b+4=b,化为3b2-16b+16=0,
解得b=或b=4.
当b=时,由a2-3a+4-=0,解得a=或a=,
不符合题意,舍去,
所以b=4,此时a=0,
所以b-a=4.
5.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<
n).
(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>
0的解集;
(2)若a>
0,且0<
n<
,比较f(x)与m的大小.
(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)·
(x-n),
当m=-1,n=2时,不等式F(x)>
即a(x+1)(x-2)>
0时,不等式F(x)>
-1或x>
2};
0的解集为{x|-1<
2}.
(2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m
=(x-m)(ax-an+1),
所以x-m<
0,1-an+ax>
所以f(x)-m<
0,即f(x)<
m.
6.函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a∈[4,6]时,f(x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.
(1)因为当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,
需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,
所以实数a的取值范围是[-6,2].
(2)当x∈[-2,2]时,设g(x)=x2+ax+3-a≥0恒成立,分如下三种情况讨论(如图所示):
①如图①,当g(x)的图象恒在x轴或x轴上方且满足条件时,有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.
②如图②,g(x)的图象与x轴有交点,
但当x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0,
即即
可得解得a∈∅.
③如图③,g(x)的图象与x轴有交点,
但当x∈(-∞,2]时,g(x)≥0.
可得所以-7≤a≤-6,
综上,实数a的取值范围是[-7,2].
(3)令h(a)=xa+x2+3,
当a∈[4,6]时,h(a)≥0恒成立.
只需即
解得x≤-3-或x≥-3+.
所以实数x的取值范围是
(-∞,-3-]∪[-3+,+∞).
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- 第2讲 一元二次不等式及其解法 一元 二次 不等式 及其 解法