学年人教版小升初数学专题讲练抽屉原理Word格式文档下载.docx
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并说明理由。
7.在100张卡片上不重复地编上1-100,至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除?
8.证明:
任意给定一个正整数n,一定可以将它乘以适当的整数,使得乘积是完全由0和7组成的数。
9.上体育课时,21名男、女学生排成3行7列的队形做操。
老师是否总能从队形中划出一个长方形,使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生,或者都是女生?
如果能,请说明理由;
如果不能,请举出实例。
10.8位小朋友围着一张圆桌坐下,在每位小朋友面前都放着一张纸条,上面分别写着这8位小朋友的名字。
开始时,每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字,请证明:
经过适当转动圆桌,一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字。
11.任意给定2008个自然数,证明:
其中必有若干个自然数,和是2008的倍数(单独一个数也当做和)。
二、填空题
12.自制的一副玩具牌共计52张(含4种牌:
红桃,红方、黑桃、黑梅。
每种牌都有1点、2点、…、13点牌各一张)。
洗好后背面朝上放好。
一次至少抽取____张牌,才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。
如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色),那么至少要取____张牌。
13.从1,2,3,4,…,1994这些自然数中,最多可以取________个数,能使这些数中任意两个数的差都不等于9。
14.某商店举行抽奖活动,在箱子里放有红色、蓝色、黄色小球各100个,若50个同色小球可以换一个布偶,80个同色小球可以换一个零食包,85个同色小球可以换一个模型。
每个小球只能换一次奖。
小明去抽奖,每次只能从箱子中不放回地随机抽取一个小球,他最少需要抽取______次才能保证他可以换到每种奖品各一个。
15.现有211名同学和四种不同的巧克力。
每种巧克力的数量都超过633颗。
规定每名同学最多拿三颗巧克力,也可以不拿。
若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组,则人数最多的一组至少有(______)名同学。
参考答案
1.16人
【分析】
由题意我们可建立抽屉:
五个颜色的球,2个一组,
(1)同色:
2个一组的情况有5种,
(2)不同色:
2个一组有(5×
4)÷
(2×
1)=10种情况,所以一共有15种情况;
那么这里就把15种情况看作15个抽屉,由此利用抽屉原理即可解决问题。
【详解】
建立抽屉:
五种颜色的球共有15种不同的组合方式,每种组合方式都是一个抽屉,共有15个抽屉。
考虑最差情况:
15个人摸球,磨出的球各不相同,分别放在15个抽屉,此时再多一个人摸球,摸出的球无论放到哪个抽屉都会出现一个抽屉出现两个元素,即总有两个人取的球相同:
15+1=16(人)
答:
参加取球的至少有16人。
【点睛】
本题主要考查了抽屉原理解决实际问题的灵活运用,关键是要正确建立抽屉,根据不同的情况建立确定抽屉的个数。
2.10,13
从最极端的情况去考虑:
假设取出三种颜色的球各3个,共9个,这时再摸出任意一个球,都能保证至少有一种颜色的球不少于4个;
要保证另一种颜色的球不少于3个,假设先摸出8个绿球,又摸出2个红球和2个黄球,再摸出一个,就能保证另一种颜色的球不少于3个;
据此解答。
(1)3+3+3+1=10(个)
要保证有一种颜色的球不少于4个,则至少要取出10个球才能满足要求。
(2)8+2×
2+1=13(个)
如果还要保证另一种颜色的球不少于3个,则最少要取出13个球。
本题主要考查了抽屉原理的应用,关键是要能够正确分析题意,能够根据出现极端情况的条件进行解答。
3.
(1)21根
(2)13根(3)10根
这种题也是比较典型的最不利原则的题。
(1)最坏的情况就是两种颜色的筷子都取掉了,还没有取到第三种颜色的,这时只要再取一根就能凑足3种颜色,所以至少取20+1=21(根)筷子。
(2)最坏的情况是其中一种颜色的筷子都取到了,此外其它两种颜色的筷子各取了1根,这时只要再取一根,所以至少应该取10+2+1=13(根)筷子。
(3)最坏的情况是每种颜色的筷子都取了3根,这时只要再取一根就能保证有2双颜色相同的筷子。
至少要取3×
3+1=10(根)筷子。
(1)20+1=21(根)答:
至少取21根才能保证三种颜色都取到。
(2)10+2+1=13(根)答:
至少取13根才能保证有2双颜色不同的筷子。
(3)3×
3+1=10(根)答:
至少取10根才能保证有2双颜色相同的筷子。
此题属于典型的抽屉问题,找出每一种情况的最坏打算是解题关键。
4.能
【解析】
由于题目只要求判断两堆水果的个数关系,因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。
对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能,所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形:
(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),
其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性,第二个字表示桔子数的奇偶性。
将这4种情形看成4个抽屉,现有5堆水果,根据抽屉原理可知,这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。
由于奇数加奇数为偶数,偶数加偶数仍为偶数,所以在同一个抽屉中的两堆水果,其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。
5.
(1)不一定有;
比如:
1、2、3、4、5、10这6个自然数中,任意两个数的和都不是10的倍数。
(2)一定有;
将10类数分别看作6个抽屉,现任意取出7个互不同类的自然数,由抽屉原理可知至少要有1个抽屉要取两个数,而这两个数必须是不同类的,必须在前4个抽屉的1个抽屉中取2个不同类的数,可见这2个不同类的数之和是10的倍数。
(1)由题意可知,1类和9类、2类和8类、3类和7类、4类和6类分别合并为4个抽屉,再把第5类、10类分别做两个抽屉,共6个抽屉,再根据抽屉原理解答;
(2)由
(1)可知,将10类数分别看作6个抽屉,现任意取出7个互不同类的自然数,由抽屉原理可知至少要有1个抽屉要取两个数,而这两个数必须是不同类的,必须在前4个抽屉的1个抽屉中取2个不同类的数,可见这2个不同类的数之和是10的倍数;
(1)由题意可知,1类和9类、2类和8类、3类和7类、4类和6类分别合并为4个抽屉,再把第5类、10类分别做两个抽屉,共6个抽屉。
如果任意取6个互不同类的自然数,就不一定有两个数的和是10的倍数,比如:
(2)由
(1)可知,将10类数分别看作6个抽屉,现任意取出7个互不同类的自然数,由抽屉原理可知至少要有1个抽屉要取两个数,而这两个数必须是不同类的,必须在前4个抽屉的1个抽屉中取2个不同类的数,可见这2个不同类的数之和是10的倍数。
本题主要考查了抽屉原理的应用,关键是要找出把谁看作“抽屉个数”,把谁看作“物体个数”,然后根据抽屉原理进行解答。
6.不能
首先分析它们所有的情况,8行8列加上2条对角线,和共有18种情况,如果互不相等,就有18个不同的值;
再考虑最小和最大的情况:
填入的最小的和是8个1为8,最大的和是8个3为24,8到24有17个不同的数;
据此解答即可。
8行8列加上2条对角线,和共有18种情况,如果互不相等,就有18个不同的值,而填入的最小的和是8个1为8,最大的和是8个3为24,8到24有17个不同的数;
因此,不能填这样的图形。
本题考查了抽屉原理解决实际问题的灵活运用,关键是要认真分析题意,根据出现的所有情况,来考虑最大和最小的情况之间能否满足。
7.68
因为12=3×
4,若要保证抽出的数的乘积能被12整除,只须保证这个乘积是3和4的公倍数即可;
在100个数中,3的倍数有100÷
3=33个,其余100-33=67个数不含有因数3,在最不利的情况下,如果先抽到的数正好是这67个,此时,只要再从含因数3的33个数中任意取一个数,就可以满足条件,据此解答。
由分析得:
12=3×
4
所以要保证抽出的数的乘积能被12整除,只须保证这个乘积是3和4的公倍数;
100÷
3=33(个)
100-33=67(个)
67+1=68(张)
至少要随意抽出68张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除
本题主要考查了抽屉原理解决实际问题的灵活运用,关键是要知道保证抽出的数的乘积能被12整除,这个数必须是3和4的公倍数。
8.证明过程见详解
要使任意给定的一个正整数n,一定可以将它乘以适当的整数,使得乘积是完全由0和7组成的数,则这个数可写成n=7k(k=7或0)的形式;
考虑如下n+1个数:
7,77,777,……,
,
,这n+1个数除以n的余数只能为0,1,2,……,n-1中之一,共n种情况,根据抽屉原理,其中必有两个数除以n的余数相同,不妨设为
和
(p>q),那么
-
=
是n的倍数,所以n乘以适当的整数,可以得到形式为
的数,即有0和7组成的数。
本题主要考查了抽屉原理的应用,关键是要认真分析题意,建立正确的抽屉进行解答。
9.不论如何,总能从队形中划出一个长方形,使得站在这个长方形4个角上的学生同性别。
因为只有男生或女生两种情况,所以第一行中的7个位置中至少有4个位置同性别,而后的两行也总有4个位置是同性别的;
据此根据抽屉原理进行解答。
因为只有男生或女生两种情况,所以第一行的7个位置中至少有4个位置同性别。
为了确定起见,不如设前4个位置同是男生,如果第二行的前4个位置有2名男生,那么四个角同是男生的情况已经存在,所以我们假定第二行的前4个位置中至少有3名女生,不妨设定前3个是女生;
又第三行的前三个位置中至少有2个位置是同性别女生,当是2名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩阵,当有两名女生时与第二行构成四角同性别的矩阵。
所以,不论如何,总能从队形中划出一个长方形,使得站在这个长方形4个角上的学生同性别。
本题主要考查了抽屉原理解决实际问题的灵活运用,关键是要从最不利原则出发,先把不能出现的情况假设出来,进而推出和它相反法人结论,使正确的说法得到证明。
10.见详解
要证明:
由题意可得,经过8次转动后,桌面又回到原来的位置在这个转动的过程中8每位小朋友恰好对准桌面上写有自己名字的字条一次;
再根据抽屉原理解答即可。
沿顺时针方向转动圆桌,每次转动一格,使每位小朋友恰好对准桌面上的字条,经过8次转动后,桌面又回到原来的位置在这个转动的过程中,每位小朋友恰好对准桌面上写有自己名字的字条一次;
我们把每位小朋友与自己名字相对的情况看作“苹果”,共有8只“苹果”。
另一方面,由于开始时每个小朋友都不与自己名字相对,所以小朋友与自己名字相对的情况只发生在7次转动中,这样7次转动(即7个“抽屉”)将产生8位小朋友对准自己名字的情况,由抽屉原理可知,至少在某一次转动后,有两个或两个以上的小朋友对准自己的名字。
本题主要考查了抽屉原理解决实际问题的灵活运用,难度较大,要认真分析题意,建立正确的抽屉,再根据抽屉原理进行解答。
11.证明过程见详解。
任意给定2008个自然数,其中必有若干个自然数,和是2008的倍数(单独一个数也当做和);
可先将这2008个数依次排列然后进行求和,从而来判断是否有和是2008的倍数;
若没有,则必有两个和除以2008的余数相同,那么它们的差(仍然是
……
中若干个数的和)是2008的倍数;
把这2008个数先排成一行:
第1数为
;
前2个数之和为
+
前3个数之和为:
前2008个数之和为
+…+
如果这2008个和中有一个是2008的倍数,那么问题已经解决;
如果这2008个和中没有2008的倍数,那么它们除以2008的余数只能为1,2,……2007之一,根据抽屉原理,必有两个和除以2008的余数相同,那么它们的差(仍然是
中若干个数的和)是2008的倍数,所以结论成立。
本题主要考查了抽屉原理解决实际问题的灵活运用,难度较大,要认真分析题意,再根据抽屉原理进行解答。
12.2737
(1)根据抽屉原理,考虑最差的情况,可取红色、黑色的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13各一张,共13×
2=26(张),那么再抽一张牌必定和其中一张牌点数相同,颜色相同,据此解答;
(2)每种点数的有4张,要有3个相邻的,则根据抽屉原理,首先要把所有不同的都能抽出来。
有以下的搭配:
(1,2,3)、(4,5,6)、(7,8,9)、(10,11,12)、13;
所以四种花色的都要取,这样可以取到(4×
2+1)×
4=36张牌,其中没有3张的点数是相邻的;
根据抽屉原理,再抽一张则必然会出现3张牌是相邻的;
(1)考虑最差的情况,可取红色、黑色的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13各一张,共13×
2=26(张),那么再抽一张牌必定和其中一张牌点数相同,颜色相同,于是就有两张牌数和点数都相同,所以至少要抽取26+1=27张牌;
(2)有以下的搭配:
此时再任意抽取一张牌,则必出现3张牌是相邻的,所以至少要取:
36+1=37(张)牌。
故答案为:
27,37
本题主要考查了抽屉原理的解决问题的灵活运用,关键是正确分析题意,正确建立抽屉。
13.999
将1994个数依次每18个分成一组,最后14个数也成一组,共成111组。
每一组中取前9个数,共取出9×
111=999个数,这些数中任意两个数之差都不等于9,再根据抽屉原理即可解答。
111=999个数,这些数中任意两个数之差都不等于9。
另一方面,如果取1000个数,那么在上述111组中必有一组,这组取出的数多于9。
而这一组的18个数可以分成9组,每组两个数,形式是a与a+9,所以取出的数多于9时,必有一组两个数都被抽出,它们的差等于,因此最多可取999个数。
999
本题主要考查了抽屉原理的灵活运用,应结合题目进行认真分析,然后把分析得到的数的个数相加即可。
14.259
小模型所需的同色小球最多,需要85个,考虑最差的情况:
小明抽光了一种颜色,其余两种颜色的球各抽79个,抽取的总次数为:
100+79×
2=258次,这时再抽一个就能换到每种奖品各一个;
2=258(次)
258+1=259(次)
则至少需要抽取259次才能保证他可以换到每种奖品各一个。
259
本题主要考查了抽屉原理的应用,关键是要认真分析题意,考虑到最差的情况是怎样的,再根据抽屉原理进行求解。
15.7
每一名学生可以拿:
括号内为该情况发生有几种情况。
1,一个不拿(1种情况);
2,拿四种糖果中任意一个(4种情况);
3.拿两个,都是同种糖果(4种情况);
4.拿两个且不同的糖果,随机的(6种情况);
5.拿三个,都相同(4种情况);
6.拿三个,两个相同(12种情况);
7.拿三个都不同的糖果(4种情况);
所以一个同学所取的不同种类共有1+4+4+6+4+12+4=35种情况;
因为每一种糖都超过633颗,所以第五种情况能够出现,3×
211=633,足够分。
所以其他六种情况也能够发生。
所以,要让最多的那组人数最少就是:
211÷
35=6…1(余数1);
即最多的一组最少为6+1=7人。
一个同学所取的不同种类共有1+4+4+6+4+12+4=35;
这35种情况可以看做35个抽屉。
35=6……1;
所以6+1=7(人),
人数最多的一组至少有7人。
故答案为7。
此题考查利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用,关键是构建此题。
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