高等数学讲义 一元函数微分学.docx
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高等数学讲义一元函数微分学
第二章一元函数微分学
S.1导数与微分
(甲)内容要点
一、导数与微分概念
1、导数的定义
设函数yf(x)在点xo的某领域内有定义,自变量x在xo处有增量x,相应地函数
增量yf(xox)f(xo)。
如果极限
|imf(XoX)f(Xo)
x0x
存在,则称此极限值为函数f(x)在Xo处的导数(也称微商),记作f(X。
),或yx冷,
d^|xx0,XX。
等,并称函数yf(X)在点Xo处可导。
如果上面的极限不存在,则dxdx
称函数yf(x)在点x0处不可导。
导数定义的另一等价形式,令xx0X,XXx0,则
f(X0)
limf(X)f(X0)
xX0xx0
我们也引进单侧导数概念。
右导数:
f(X0)limf(x)f(X0)lim仏x)f(x0)
x^0XX)x0x
左导数:
f(x)f(X°)f(X0x)f(x°)
f(X))limlim
x冷xx0x0X
则有
f(X)在点X。
处可导f(X)在点X。
处左、右导数皆存在且相等。
2.导数的几何意义与物理意义
如果函数yf(X)在点X0处导数f(X0)存在,则在几何上f(X0)表示曲线yf(x)
在点(X0,f(x°))处的切线的斜率
切线方程:
yf(x0)f(X0)(XX0)
法线方程:
yf(X0)(XX0)(f(X0)0)
f(Xo)
设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为Sf(t),如果f(t0)存在,则f(t0)
表示物体在时刻t0时的瞬时速度。
3•函数的可导性与连续性之间的关系
如果函数yf(x)在点X0处可导,则f(x)在点X0处一定连续,反之不然,即函数
f(X)在点X。
处连续,却不一定在点
X。
处可导。
例如,
f(x)|X|,在X00处连
续,却不可导。
4.微分的定义
设函数yf(x)在点X0处有增量X时,如果函数的增量yf(X0x)f(X0)有
下面的表达式
yA(x°)xo(x)(x0)
其中A(x°)为X为无关,0(X)是X0时比X高阶的无穷小,则称f(X)在X0处可微,
并把y中的主要线性部分A(x0)X称为f(X)在x0处的微分,记以dyXx°或df(x)xx我们定义自变量的微分dx就是x。
5•微分的几何意义
yf(X0x)f(X0)是曲线yf(x)在点X0处相应
于自变量增量X的纵坐标f(x0)的增量,微分dyxx。
是曲线
yf(x)在点M°(x°,f(X0))处切线的纵坐标相应的增量(见
图)。
6•可微与可导的关系
f(x)在x0处可微f(x)在x0处可导。
且dyxX0A(X°)xf(X0)dx
般地,yf(x)则dyf(x)dx
dy
所以导数f(x)dy也称为微商,就是微分之商的含义。
7•高阶导数的概念
如果函数yf(x)的导数yf(x)在点x0处仍是可导的,则把yf(x)在点x0处
广I\/
的导数称为yf(x)在点X。
处的二阶导数,记以yxx0,或f(X。
),或一yxx0等,也dx
称f(x)在点X0处二阶可导。
如果yf(x)的n1阶导数的导数存在,称为yf(x)的n阶导数,记以y(n),
(n)
y
(x),
护等这时也称
f(x)是n阶可导。
、导数与微分计算
1•导数与微分表(略)
2•导数与微分的运算法则
(1)四则运算求导和微分公式
(2)反函数求导公式
(3)复合函数求导和微分公式
(4)隐函数求导法则
(5)对数求导法
(6)用参数表示函数的求导公式
(乙)典型例题
-、用导数定义求导数
例设f(x)(xa)g(x),其中g(x)在xa处连续,求f(a)
«X
f
ma
HX
a)
ma
HX
g
a)
a)
二、分段函数在分段点处的可导性例1设函数
X2,x1
axb,x1
试确定a、b的值,使f(x)在点x1处可导。
解:
•••可导一定连续,•••f(x)在x1处也是连续的。
由f(10)limf(x)limx21
x1x1
f(10)limf(x)lim(axb)ab
x1x1
由x1处连续性,limf(x)
x1
2
limx1,f⑴
1,可知ab1
要使f(x)在点x
1处连续,必须有a
b1或b
1a
又f
f(x)
f
(1)
x21
(1)呵
1x
1
lim
x1x1
lim(x1)2
f
(1)limf(x)
f
(1)
axblim
1「a(x1)
lima
x1x
1
x1x1
1x1x1
要使f(x)在点x
1处可导,必须
f
(1)
f
(1),即
2a.
故当a2,b
1a12
1时,
f(x)在点
x1处可导•
2n(x1)
xe
ax
b
例2
设
f(x)
nimn(x
1)/
,冋a和b为何值时,f(x)可导,且求f(x)
ne(
11
解:
••
x
1时,
n(x1)lime
n
x
1时,
limen(x1}
n
0
x2
J
x
1,
ab1
f(x)
2
x
J
1,
axb
J
x
1,
再由x1处可导性,
f
(1)
lim
2x
f
(1)
存在
x1
x
1
f
(1)
lim
(ax
b)
f
(1)
存在
x1
x1
且f
(1)
f
(1)
根据洛必达法则
f
(1)
lim
2x2
x1
1
f
(1)
lim
a
a,二
a
2
x1
1
于是b
1
a
1
2d
x,x1,
f(x)
f(x)
1,x1,
2x1,x1,
2x,x1,
2,x1,
三、运用各种运算法则求导数或微分
例1设f(x)可微,yf(lnx)ef(x),求dy
解:
dyf(lnx)def(x)ef(x)df(lnx)
f(x)ef(x)f(lnx)dx-f(Inx)ef(x)dx
x
1
ef(x)[f(x)f(lnx)f(Inx)]dx
x
例2
设y
xx
x(x
0),求矽
dx
解:
lny
xxlnx
对x求导,得
1
/X
1x
y
(x)lnx
x
yx
再令y1xx,Iny1xlnx,对x求导,
y1Inx1,二(xx)xx(lnx1)
y1
于是矽xx(lnx1)lnxxx1xx(x0)
dx
例3设yy(x)由方程xyyx所确定,求dx
解:
两边取对数,得ylnxxlny,
对x求导,ylnX
—lnyx
xyy
2
x
y
y
xyny
y(一lnx)
lny,y
2
y
x
x
xylnx
t2u2id
esinudut
2t
euln(1
u)du
求空
dy
dx
解dx
dt
dy
dt
四、求切线方程和法线方程
t4〜L
2tesintesint
2t2
2t
2eln(12t)
例1已知两曲线yf(x)与y
arctanx
.2
etdt在点(o,o)处的切线相同,写出此切线方
2
程,并求limnf()。
nn
解:
由已知条件可知f(0)0,f
(0)
e(arctanx)2
1x2
故所求切线方程为yx
f(-)f(0)n
2
limnf
(2)lim2
nnn
2f(0)2
例2已知曲线的极坐标方程
坐标方程。
解:
曲线的参数方程为
1cos,求曲线上对应于
6处的切线与法线的直角
(1
(1
cos)coscos
cos)sinsin
2cos
sincos
dy
d
cos
2cos
・2sin
dx
6
dx
6
sin
2cos
sin
d
1
v'3
<3
3
故切线方程
y
1(x
3)
2
4
2
4
3厂
5
即
x
y
-V3
0
4
4
法线方程
y
1
73
(x
晅
3)
2
4
2
4
即
x
y
^3
1
0
4
4
y
6
例3设f(x)为周期是5的连续函数,在x0邻域内,恒有
f(1sinx)3f(1sinx)8x
(x)。
其中lim
x0
(x)
x
0,f(x)在x1处可导,
求曲线yf(x)在点(6,f(6))处的切线方程。
再由条件可知
叫
IK
sinx)3f(1
sinx
8x
sinx
-^)8
sinx
令sinxt,limf(1t)3f(1t)8,又「
t0
f
(1)0
五、
上式左边=lim
t
则4f
(1)8
所求切线方程为
高阶导数
1•求二阶导数
yln(x
[f(1t)f
(1)]
(1)3f
(1)
f
(1)2
y02(x
x2
4f
6)
3lim空
t0
t)f
(1)
(t)
(1)
2xy120
a2),求y''
解:
由题设可知f(6)f
(1),f(6)f
(1),故切线方程为
y
f
(1)
f
(1)(x6)
所以关键是求出f
(1)和f
(1)
由f(x)连续性lim[f(1sinx)
x0
3f(1
sinx)]2f
(1)
由所给条件可知2f
(1)0,•
f
(1)
0
解:
x2a2)
—(1
x 122 尹a) x x2 —2) a 1_ x2a2 2x x (x2a2)3 xarctant yln(1t2) dx2 dy 2t 解: 少 dt1 忙2t dx dx 1 dt1 t2 d2y d伴) dx d啓) dx
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