湖南省醴陵二中醴陵四中学年高二数学下学期期中联考试题理.docx
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湖南省醴陵二中醴陵四中学年高二数学下学期期中联考试题理
湖南省醴陵二中、醴陵四中2017-2018学年高二数学下学期期中联考试题理
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题:
(每小题5分,共计60分)
1、设是虚数单位,若,则复数()
A.B.C.D.
2、下列推理正确的是()
(A)把与类比,则有
(B)把与类比,则有
(C)把与类比,则有
(D)把与类比,则有
3、用反证法证明命题:
“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是()
A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度
C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度
4、若大前提是:
任何实数的平方都大于0,小前提是:
,结论是:
,
那么这个演绎推理()
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.没有错误
5、在极坐标系中,直线被圆ρ=4截得的弦长为( )
A.B.C.4D.5
6、,,则,的大小关系为()
A.B.C.D.由的取值确定
7、,则( )
A.1B.2C.4D.8
8、设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
9、为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为,其中(),传输信息为,,,运算规则为:
,,,.例如原信息为,则传输信息为.传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列信息一定有误的是()
(A)(B)(C)(D)
10、用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为()
A.B.
C.D.
11、平面几何中,有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值,类比上述命题,棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为()
A.B.C.D.
12、曲线在点处的切线为,则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是().
A.B.C.1D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13、已知复数,且有,则________.
14、已知x∈R+,不等式x+≥2,x+≥3,x+≥4,…,可推广为x+≥n+1,则a的值为__________.
15、曲线的参数方程是,它的普通方程是.
16、如下面数表为一组等式:
某学生猜测,
若该学生回答正确,则.
三、解答题:
(共70分)
17、(本题满分10分)已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)判断直线l与曲线C的位置关系;
(2)设M为曲线C上任意一点,求的取值范围.
18、(本题满分12分)在中,内角、、的对边分别为,且,
已知,
求:
(1)和的值;
(2)的值.
19、(本题满分12分)在直三棱柱中,,,且异面直线与所成的角等于,设.
(1)求的值;
(2)求三棱锥的体积.
20、(本题满分12分)已知{an}是公差为d的等差数列,∀n∈N*,an与an+1的等差中项为n.
(1)求a1与d的值;
(2)设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.
21、(本题满分12分)已知动点P到定点F(2,0)的距离和它到定直线x=4的距离的比值为.
(1)求动点P的轨迹Ω的方程;
(2)若过点F的直线与点P的轨迹Ω相交于M,N两点(M,N均在y轴右侧),点A(0,2),B(0,-2),设A,B,M,N四点构成的四边形的面积为S,求S的取值范围.
22、(本题满分12分)已知函数).
(1)讨论的单调性;
(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数);
答案
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题:
(每小题5分,共计60分)
1、设是虚数单位,若,则复数(C)
A.B.C.D.
2、下列推理正确的是(D)
(A)把与类比,则有
(B)把与类比,则有
(C)把与类比,则有
(D)把与类比,则有
3、用反证法证明命题:
“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是(B)
A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度
C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度
4、若大前提是:
任何实数的平方都大于0,小前提是:
,结论是:
,
那么这个演绎推理(A)
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.没有错误
5、在极坐标系中,直线被圆ρ=4截得的弦长为( A )
A.B.C.4D.5
6、,,则,的大小关系为(C)
A.B.C.D.由的取值确定
7、,则( D )
A.1B.2C.4D.8
8、设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的(A)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
9、为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为,其中(),传输信息为,,,运算规则为:
,,,.例如原信息为,则传输信息为.传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列信息一定有误的是(C)
(A)(B)(C)(D)
10、用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为(D)
A.B.
C.D.
11、平面几何中,有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值,类比上述命题,棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(B)
A.B.C.D.
12、曲线在点处的切线为,则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是(A).
A.B.C.1D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13、已知复数,且有,则________.
14、已知x∈R+,不等式x+≥2,x+≥3,x+≥4,…,可推广为x+≥n+1,则a的值为__________.
15、曲线的参数方程是,它的普通方程是.
16、如下面数表为一组等式:
某学生猜测,
若该学生回答正确,则8.
三、解答题:
(共70分)
17、(本题满分10分)已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)判断直线l与曲线C的位置关系;
(2)设M为曲线C上任意一点,求的取值范围.
解:
(1)由题意可得,直线l的普通方程为x-y+4=0,
曲线C的直角坐标系下的方程为=1,是以为圆心,1为半径的圆,该圆圆心到直线x-y+4=0的距离为d==5>1,
所以直线l与曲线C的位置关系为相离.5分
(2)由
(1)得曲线C的参数方程为(θ为参数),
因为M为曲线上任意一点,故设M,
则x+y=cosθ+sinθ=sin∈[-].10分
18、(本题满分12分)在中,内角、、的对边分别为,且,
已知,
求:
(1)和的值;
(2)的值.
解:
(1)由·=2得c·acosB=2.又cosB=,所以ac=6.2分
由余弦定理得a2+c2=b2+2accosB.
又b=3,所以a2+c2=9+2×6×=13.
解,得a=2,c=3或a=3,c=2.5分
因为a>c,所以a=3,c=2.6分
(2)在△ABC中,sinB===.
由正弦定理,得sinC=sinB=×=.8分
因为a=b>c,所以C为锐角,
因此cosC===.10分
于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.12分
19、(本题满分12分)在直三棱柱中,,,且异面直线与所成的角等于,设.
(1)求的值;
(2)求三棱锥的体积.
解:
【解答】如图建立空间直角坐标系,则由题意得,
,
所以。
3分
设向量所成角为,则,或,
由于,所以,得,解得6分
(2)连接,则三棱锥的体积等于三棱锥的体积,
的面积,的面积,(10分)
又平面,
所以,所以(12分)
20、(本题满分12分)已知{an}是公差为d的等差数列,∀n∈N*,an与an+1的等差中项为n.
(1)求a1与d的值;
(2)设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.
解:
(1)依题意,an=a1+(n-1)d.
(方法一)由an与an+1的等差中项为n得=n,
即=a1+d=n.所以解得a1=,d=1.5分
(方法二)由an与an+1的等差中项为n得,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2.
解得a1=,d=1.
(2)由
(1)得an=n-,bn=2n·an=n×2n-2n-1.7分
(方法一)记Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,则
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1.
两式相减得,Tn=-2-22-23-…-2n+n×2n+1=n×2n+1-2n+1+2.10分
数列的前n项和1+2+22+…+2n-1=2n-1.
∴Sn=(n×2n+1-2n+1+2)-(2n-1)=n×2n+1-3×2n+3.12分
(方法二)
Sn=(1×2-20)+(2×22-21)+(3×23-22)+…+[(n-1)×2n-1-2n-2]+(n×2n-2n-1),
2Sn=(1×22-21)+(2×23-22)+(3×24-23)+…+[(n-1)×2n-2n-1]+(n×2n+1-2n),两式相减得
Sn=-(1×2-20)-(1×22+1×23+…+1×2n)+(n×2n+1-2n)=n×2n+1-3×2n+3.
21、(本题满分12分)已知动点P到定点F(2,0)的距离和它到定直线x=4的距离的比值为.
(1)求动点P的轨迹Ω的方程;
(2)若过点F的直线与点P的轨迹Ω相交于M,N两点(M,N均在y轴右侧),点A(0,2),B(0,-2),设A,B,M,N四点构成的四边形的面积为S,求S的取值范围.
解:
(1)设动点P(x,y),则,化简得=1.4分
(2)由
(1)知,轨迹Ω是以F(2,0)为焦点,离心率为的椭圆,如图,连接OM,ON,设直线MN的方程为x=my+2,点M(x1,y1),N(x2,y2).
联立
消去x,得(m2+2)y2+4my-4=0,
则y1+y2=-,y1y2=-,6分
所以|y1-y2|==.
由于M,N均在y轴右侧,则x1>0,x2>0,且0≤|m|<1,
则S=S△OAM+S△OBN+S△OMN=×2(x1+x2)+×2|y1-y2|
=m(y1+y2)+4+|y1-y2|
=-+4+
=,8分
令t=,则1≤t<,则S=.
方法一:
S'=<0,10分
故面积函数S=在1≤t<上单调递减,所以S∈,
所以面积S的取值范围是.12分
方法二:
S===,
因为1≤t<,则t+,
所以(t+)+-2,则,
即S∈,
所以面积S的取值范围是.
22、(本题满分12分)已知函数f(x)=alnx-ax-3(a≠0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)+(a+1)x+4-e≤0对任意x∈[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数);
(1)解:
f'(x)=(x>0),1分
当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1],单调减区间为[1,+∞);3分
当a<0时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),单调减
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- 湖南省 醴陵 中学 年高 数学 学期 期中 联考 试题