数学人教A版必修5同步练习题必修5 第2章 章末综合测评Word下载.docx
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即
=2,
∴an-1=1·
2n-1,an=2n-1+1,a7=65.
4.等比数列{an}的通项为an=2·
3n-1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{bn},那么162是新数列{bn}的( )
A.第5项B.第12项
C.第13项D.第6项
【解析】 162是数列{an}的第5项,则它是新数列{bn}的第5+(5-1)×
2=13项.
5.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0),则{an}( )
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.或者是等差数列,或者是等比数列
D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列
【解析】 ∵Sn=an-1(a≠0),
∴an=
即an=
当a=1时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;
当a≠1时,数列{an}是一个等比数列.
6.等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是( )
A.90B.100
C.145D.190
【解析】 设公差为d,
∴(1+d)2=1×
(1+4d),
∵d≠0,
∴d=2,从而S10=100.
7.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d=( )
A.2B.3
C.6D.7
【解析】 S4-S2=a3+a4=20-4=16,
∴a3+a4-S2=(a3-a1)+(a4-a2)
=4d=16-4=12,
∴d=3.
8.已知数列{an}满足a1=5,anan+1=2n,则
=( )
A.2B.4
C.5D.
【解析】 依题意得
=
=2,即
=2,数列a1,a3,a5,a7,…是一个以5为首项,2为公比的等比数列,因此
=4.
9.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为( )
A.49B.50
C.51D.52
【解析】 ∵2an+1-2an=1,
∴an+1-an=
∴数列{an}是首项a1=2,公差d=
的等差数列,
∴a101=2+
(101-1)=52.
【答案】 D
10.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如图1所示:
图1
则第七个三角形数是( )
A.27B.28
C.29D.30
【解析】 法一:
∵a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,
∴a6-a5=6,a6=21,a7-a6=7,a7=28.
法二:
由图可知第n个三角形数为
∴a7=
=28.
11.数列{an}满足递推公式an=3an-1+3n-1(n≥2),又a1=5,则使得
为等差数列的实数λ=( )
A.2B.5
C.-
D.
【解析】 a1=5,a2=23,a3=95,令bn=
,则b1=
,b2=
,b3=
∵b1+b3=2b2,
∴λ=-
.
12.在等差数列{an}中,a10<
0,a11>
0,且a11>
|a10|,则{an}的前n项和Sn中最大的负数为( )
A.S17B.S18
C.S19D.S20
【解析】 ∵a10<
|a10|,
∴a11+a10>
0.
S20=
=10·
(a11+a10)>
S19=
·
2a10<
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项的和为________.
【解析】 由已知得{an+bn}为等差数列,故其前100项的和为S100=
=50×
(25+75+100)=10000.
【答案】 10000
14.数列{an}满足a1=1,an=an-1+n(n≥2),则a5=________.
【解析】 由an=an-1+n(n≥2),得an-an-1=n,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,把各式相加,得a5-a1=2+3+4+5=14,
∴a5=14+a1=14+1=15.
【答案】 15
15.首项为-24的等差数列从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是________.
【解析】 设a1=-24,公差为d,∴a10=-24+9d>
0且a9=-24+8d≤0,∴
<
d≤3.
【答案】
16.已知公差不为零的正项等差数列{an}中,Sn为其前n项和,lga1,lga2,lga4也成等差数列,若a5=10,则S5=________.
【解析】 设{an}的公差为d,则d≠0.
由lga1,lga2,lga4也成等差数列,
得2lga2=lga1+lga4,∴a
=a1a4,
即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.
又d≠0,故d=a1,a5=5a1=10,d=a1=2,
S5=5a1+
×
d=30.
【答案】 30
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在等差数列{an}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前n项和.
【解】 设该数列的公差为d,前n项和为Sn.由已知可得
2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),
所以a1+d=4,d(d-3a1)=0,
解得a1=4,d=0或a1=1,d=3,即数列{an}的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.
所以数列的前n项和Sn=4n或Sn=
18.(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(2)求证:
数列{Sn+2}是等比数列.
【解】
(1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)·
Sn+2n(n∈N*),
∴当n=1时,a1=2×
1=2;
当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,∴a2=4;
当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,∴a3=8.
(2)证明:
∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),①
∴当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)Sn-1+2(n-1),②
①-②得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2,
∴-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2.
∴Sn+2=2(Sn-1+2).∵S1+2=4≠0.
∴Sn-1+2≠0,∴
=2.
即{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.
19.(本小题满分12分)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:
b6与数列{an}的第几项相等?
【解】
(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a4-a3=2,所以d=2.
又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.
所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a3=8,b3=a7=16,
所以q=2,b1=4.
所以b6=4×
26-1=128.
由128=2n+2得n=63,
所以b6与数列{an}的第63项相等.
20.(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*),满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn=
,求数列{cn}的通项公式;
(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.
【解】
(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,
bn≠0(n∈N*),
所以
-
=2,即cn+1-cn=2.
所以数列{cn}是以首项c1=1,公差d=2的等差数列,故cn=2n-1.
(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,
于是数列{an}的前n项和Sn=1×
30+3×
31+5×
32+…+(2n-1)×
3n-1,
3Sn=1×
31+3×
32+…+(2n-3)×
3n-1+(2n-1)×
3n.
相减得-2Sn=1+2×
(31+32+…+3n-1)-(2n-1)×
3n=-2-(2n-2)3n,
所以Sn=(n-1)3n+1.
21.(本小题满分12分)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列
的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<
成立的n的最小值.
【解】
(1)由已知Sn=2an-a1,有
an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
即an=2an-1(n≥2),所以q=2.
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.
所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
故an=2n.
(2)由
(1)得
所以Tn=
+
+…+
=1-
由|Tn-1|<
,得
<
即2n>
1000.
因为29=512<
1000<
1024=210,所以n≥10.
于是使|Tn-1|<
成立的n的最小值为10.
22.(本小题满分12分)在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.
(2)设bn=
,记Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn.
【解】
(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),
即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题意知bn=
=n(n+1),
所以Tn=-1×
2+2×
3-3×
4+…+(-1)nn·
(n+1).
因为bn+1-bn=2(n+1),可得当n为偶数时,
Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)
=4+8+12+…+2n=
当n为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)=
-n(n+1)=-
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