高中数学教师备课必备系列复数专题三 数系的扩充和Word下载.docx
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教学过程
引入新课
请同学们回答以下问题:
(1)在自然数集N中,方程x+4=0有解吗?
(2)在整数集Z中,方程3x-2=0有解吗?
(3)在有理数集Q中,方程x2-2=0有解吗?
活动设计:
先让学生独立思考,然后小组交流,最后师生总结.
活动成果:
问题
(1)在自然数集中,方程x+4=0无解,为此引进负数,自然数→整数;
问题
(2)在整数集中,方程3x-2=0无解,为此引进分数,整数→有理数;
问题(3)在有理数集中,方程x2-2=0无解,为此引进无理数,有理数→实数.
数集的每一次扩充,对数学本身来说,解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾,如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.
提出问题:
从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充?
每一次扩充的主要原因是什么?
每一次扩充的共同特征是什么?
先让学生独立思考,然后小组讨论,师生共同归纳总结.
扩充原因:
①满足解决实际问题的需要;
②满足数学自身完善和发展的需要.
扩充特征:
①引入新的数;
②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展,都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律.
设计意图
回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程,帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征.
探究新知
方程x2+1=0在R上有解吗?
如何对实数集进行扩充,使方程x2+1=0在新的数集中有解?
小组讨论,类比猜想,设想新数的引进,师生共同完成.
学情预测:
学生讨论可能没有统一结果,无法描述.
类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点,在实数集中方程x2+1=0无解,需要引进“新数”扩充实数集.让我们设想引入一个新数i,使i满足两个条件:
(1)i是方程x2+1=0的根,即i2=-1;
(2)新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
面对新问题的需要,感到扩充实数集的必要性,通过类比,猜想增添的新数需满足的条件.
同学们设想,实数a与新数i相加,实数b与新数i相乘,结果如何表达?
实数a与实数b和新数i相乘的结果相加,如何表示?
学生动手操作,尝试写出新数与实数加法和乘法的运算,然后教师引导,更正不正确的写法,统一新数的特点,为引出复数的概念做铺垫.
a+i,bi,a+bi.
根据条件
(2),i可以与实数b相乘,再与实数a相加.由于满足乘法和加法的交换律,从而都可以把结果写成a+bi(a,b∈R)的形式.
形如a+bi(a,b∈R)的数包括所有实数吗?
包括你原来没遇到过的新数吗?
写出实数系经过上述扩充后得到的新数构成的集合C.
学生思考,可以讨论,师生共同总结,得出复数的概念.
形如a+bi(a,b∈R)的数,包括所有实数,也包括新数bi和a+bi,实数a和新数i可以看作是a+bi(a,b∈R)这样数的特殊形式,即a=a+0i,i=0+i.
实数系经过上述扩充后,得到的新数集C={a+bi|a,b∈R}.
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C叫做复数集,即C={a+bi|a,b∈R}.
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式.
注意:
今后不做特殊说明,a,b∈R,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.
让学生自己添加上这些新数,感受实数系的扩充过程,认识扩充后新数的特点,知道复数的代数形式及有关概念.
你认为满足什么条件,可以说这两个复数相等?
学生讨论探究a+bi=c+di时,实部和虚部应满足的条件,教师补充.
活动结果:
若a+bi=c+di(其中a,b,c,d∈R),则a=b且c=d,即两个复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等.特别地,a+bi=0
a=0且b=0.
通过探究讨论,让学生对复数相等的概念达成共识,并揭示复数相等的内涵,利用两复数相等,可以得到关于实数的方程组,进而得到a,b的值.
理解新知
对于复数z=a+bi,当且仅当a,b满足什么条件时,z为实数,为0,为虚数,为纯虚数?
学生思考、讨论,师生总结.
当且仅当b=0时,复数z=a+bi是实数;
当且仅当a=b=0时,复数z=a+bi为0;
当且仅当b≠0时,复数z=a+bi是虚数;
当且仅当a=0且b≠0时,复数z=a+bi为纯虚数.
让学生进一步理解复数的代数形式,明确复数z=a+bi为实数、虚数和纯虚数的充要条件.
实数系扩充到复数系后,实数集R与复数集C有怎样的关系?
你能类比实数的分类,对复数进行合理的分类吗?
试用韦恩图表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系.
小组讨论,学生尝试分类,教师引导归纳.
实数集R是复数集C的真子集,即RC.复数z=a+bi可以分类如下:
复数z
复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系用图表示如下:
让学生了解数系扩充后复数的正确分类及各数系之间的包含关系.
任意两个复数可以比较大小吗?
若可以,请说明进行比较的方法;
若不可以,请说明理由.
让学生思考,议论后发言,教师点拨.
学生可能不知所云,无法下结论,也可能类比实数的大小比较,认为可以比较大小.
若两个复数都是实数,则可以比较大小;
否则就不能比较大小.因此,一般说来,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较其大小.
运用新知
例1请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数还是纯虚数.
①2+3i;
②-3+
i;
③
+i;
④π;
⑤-
i;
⑥0.
思路分析:
根据复数的代数形式及实部和虚部的概念找出各复数的实部和虚部,根据虚数、纯虚数的概念判断.
解:
①的实部为2,虚部为3,是虚数;
②的实部为-3,虚部为
,是虚数;
③的实部为
,虚部为1,是虚数;
④的实部为π,虚部为0,是实数;
⑤的实部为0,虚部为-
,是纯虚数;
⑥的实部0,虚部为0,是实数.
点评:
复数a+bi中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部.
巩固练习
符合下列条件的复数一定存在吗?
若存在,请举出例子;
若不存在,请说明理由.
(1)实部为-
的虚数;
(2)虚部为-
(3)虚部为-
的纯虚数;
(4)实部为-
的纯虚数.
解答:
(1)存在且有无数个,如-
+i等;
(2)存在且不唯一,如1-
i等;
(3)存在且唯一,即-
(4)不存在,因为纯虚数的实部为0.
例2实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m-1)i是
(1)实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数.
因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数.由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值.
这是一道巩固复数概念的题目,首先要在变化中认识复数代数形式的结构,正确判断复数的实部和虚部;
然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件,用列方程(或不等式)的方法求出相应的m的取值.
变式练习
已知集合M={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数a=______.
提示:
由M∩N={3}知,3∈M,即有(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3,
所以
解得a=-1.
例3已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x,y的值.
根据两复数相等的概念,列出关于x与y的方程组,可求得x,y的值.
根据复数相等的定义可得,
解得x=
,y=4.
根据两复数相等的定义求其中参数值的问题,应首先将复数转化为代数形式,并确定其实部和虚部,然后利用两复数相等的充要条件,即实部和虚部分别相等列出相应的方程组,然后解方程组求出参数的值.
变练演编
1.给出实数-1、1和0,你能构成哪些不同的复数?
2.已知复数z=(x2+5x+6)+(x2-2x-15)i(x∈R),需要添加条件:
____________,即可求实数x的值.
达标检测
1.下列说法正确的是( )
①实数是复数;
②虚数是复数;
③实数集和虚数集的交集不是空集;
④实数集与虚数集的并集等于复数集.
A.①②③B.①②④
C.②④D.①②③
2.a=0是复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为( )
A.1B.1或-4
C.-4D.0或-4
4.以2i-
的虚部为实部,以
i-2i2的实部为虚部的复数是__________.
课堂小结
可以先给学生1~2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法,例题、题目类型、解题规律等;
然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律等.
1.内容知识:
2.解题规律方法:
3.思想方法:
布置作业
教材本节练习第3题,习题3.1A组1,2题.
补充练习
1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论正确的是…( )
A.A∪B=CB.
A=B
C.A∩
B=
D.B∪
B=C
2.在下列命题中,正确命题的个数为( )
①两个复数不能比较大小;
②1+i2>
0;
③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±
1;
④若a,b是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i是纯虚数.
A.0B.1
C.2D.3
3.复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足( )
A.x=-
B.x=-2或-
C.x≠-2D.x≠1且x≠-2
4.已知集合M={1,(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,0}.若M∩P={0},则实数m的值为( )
A.-1B.-1或4
C.6D.6或-1
5.复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是__________.
6.已知m∈R,复数z=
+(m2+2m-3)i,当m为何值时,
(1)z∈R;
(2)z是虚数;
(3)z是纯虚数;
(4)z=
+4i?
答案或提示:
1.D 2.A 3.D 4.A 5.a=c且b2=d2
设计说明
本节课的教学设计以问题为驱动,通过不断提出问题,研究问题,解决问题,使学生回顾旧知识获得新知识,完成数系的扩充和复数概念的教学.
复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,本课时将已有知识和新学知识通过问题链设计教学,让学生体验已学过的数集的扩充历史,体会数集的扩充是生产实践的需要,也是数学学科自身发展的需要;
通过小组合作学习,使学生了解数的发展过程和规律,对各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识,从而学生更容易积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类以及两复数相等的条件.
备课资料
数的发展史
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N.
随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展.
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;
为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N
Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起,构成整数集Z,则有Z
Q、N
Z.如果把整数看作分母为1的分数,那么有理数集实际上就是分数集.
有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集.
数因为生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数集扩到实数集R以后,像x2=-1这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数i,叫做虚数单位.并由此产生了复数.
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