海上静态目标最佳搜索方案模型数学建模竞赛论文Word文档格式.docx
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海上静态目标最佳搜索方案模型数学建模竞赛论文Word文档格式.docx
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假定黑匣子与飞机的主体残骸为非漂流物,即在失事地点沉入海底,不在洋
流与风压影响下运动;
伊尔-76运输机的最大燃油航程为7800公里,而本模型划定的黑匣子和飞
机主体残骸的可能沉入目标总区域为520公里×
520公里的矩形范围(具体
见下文),因此可以忽略飞机的续航问题;
黑匣子只能持续自主供电发出信号30天。
2.2问题二模型假设
1.不同搜索工具的代价与行驶的距离成正比;
2.在待搜索区域附近有多艘可用专业搜寻舰船、多架可用专业搜寻飞机、多艘
可用过路船舶及多颗可用卫星,以此构成了立体搜索力量全体。
其中专业搜
索舰船和过路船舶距待搜索区域的初始距离、最大航速、搜寻能力不一定相
同。
专业搜寻飞机的距待搜索区域的初始距离、最大航速、搜寻能力、最大
续航时间也不一定相同;
3.所有可用卫星的搜索能力、运行速度、运行高度完全相同。
三、符号说明
3.1问题一符号说明
——黑匣子或飞机主体残骸位于子域的概率;
——黑匣子或飞机主体残骸位于子域且对该子域实施了次搜索的发
现概率;
——对子域实行次搜索的费用;
——黑匣子或飞机主体残骸位于子域且施加
于该子域的最初搜索没有发现目标而在第次发现目标的概率;
——对子域第次搜索的费用;
——执行搜索计划时在最初的次搜索中施加于子域的搜索次数;
——采用搜索计划时施加于子域的搜索次数。
3.2问题二符号说明:
——待搜索海域面积;
——可调用的舰船数;
——可调用的飞机数;
——调用参与搜索行动的卫星数;
——每艘舰船距待搜海域的初始距离(
——每架飞机距待搜海域的初始距离(
——每艘舰船的搜寻能力(
——每架飞机的搜寻能力(
,
,);
4
——每艘舰船的最大航速(
——每架飞机的最大航速(
——每架飞机的最大续航时间(
——第j架飞机在整个行动中出动的次数(
——第i艘舰船以最大航速驶至待搜寻海域所需要的时间;
——第j架飞机以最大航速往返待搜寻海域所需要的时间;
——第i艘舰船在待搜海域中进行搜索作业的时间;
——第j架飞机在待搜海域上空进行搜索作业的时间;
——待搜寻海域可容纳的搜索舰船的数量上限;
——待搜寻海域可容纳的搜索飞机的数量上限;
T——整个搜索行动的总耗时。
四、模型的建立与求解
4.1问题一的模型的建立与求解
在MH370的搜救背景下,本模型针对飞机这类搜索工具,讨论其搜索范围
和优缺点,并制定最优的搜索方案。
新华网报导在3月26日,中国空、海搜救力量在南印度洋回合,密切协同,
全力对疑似马航客机失去联系附近海域展开立体搜寻。
而中国派出了伊尔-76
机组,实时云底高500米左右,风速12米每秒,浪高3-3.5米。
获知任务海域气象和海况信息后,伊尔-76机组立即从9100米高空从容下
降,在500米高度钻云而出,并保持300米高度对任务海域展开搜寻。
8时许,伊尔-76机组到达任务海域,10时许,离开任务海域返回珀斯,
总计在疑似海域飞行660公里,搜寻面积约7000平方公里。
伊尔-76运输机具体参数如表4.1:
表4.1
中文名
机长
机高
翼展
机翼面积
空重
伊尔-76运输机
46.59米
14.76米
50.50米
300平方米
70吨
引擎
起飞重量
燃油重量
平飞速度
巡航速度
最大燃油航程
AviadvigatelD-30
170吨
850公里/小时
750-800公里/小时
7800公里
5
为简化该模型,做出如下假定条件:
针对第一题,本模型所要研究的问题可以描述为:
在派出参与搜寻的飞机总
数为40即总资源一定的前提下,如何分配飞机资源,才能使搜索到黑匣子或飞
机主体残骸的概率最大或者使搜索成功所耗费的飞机资源期望值最小,而这个问
题的基础是概率论,主要包含三个要素:
[2]
(1)目标位置和移动路径的初始概率分布。
这是所有的搜索问题都需要涉
及到的,并且需要首先解决的问题,比如在MH370的搜寻问题中,搜寻失踪飞
机的初始位置信息、所在南印度洋的海域环境信息等。
(2)探测函数。
假定黑匣子和飞机主体残骸确实位于某个区域,将投入到
这个区域的飞机搜索资源或者搜索时间与成功搜索概率之间的函数关系称为探
测函数关系(DetectionFunction)。
(3)对可用搜索资源的约束条件。
对MH370的搜索不可能无休止地进行下
去,搜索资源是有限的,都会受到诸如时间和人力资源的限制。
给定探测函数和目标的概率分布后,本模型要解决的核心问题就是在飞机总
数即总搜索资源一定的情况下,如何分配搜索资源使得成功搜索到目标的可能性
最大或花费的搜索代价最小。
针对这个问题,本模型初步构想到,一种方法是使每个瞬间搜索成功的概率
达到最大,另一种方法是在搜索过程中每次都挑选搜索成功概率最高的区域进行
搜索,渐进迭代。
根据文献[1],可以知道,离散搜索力是相对于连续搜索力而言的,连续搜
索力顾名思义,是指搜索力可以连续不断地施加于搜索区,舰载声呐、拖曳声呐
的搜索力都是连续的。
而目前伊尔-76运输机等飞机的搜索力呈间断方式一次
次施加于搜索区,因此是离散搜索力。
下面就根据离散搜索力,具体从上述提到的三个要素进行模型的搭建。
4.1.1初始概率密度函数
初始概率分布函数及黑匣子和飞机主体残骸的位置的初始概率分布函数。
在
MH370的海上搜救行动中,黑匣子和飞机主体残骸的初始位置的确定,在不同
的情况下有不同的遇险初始位置信息的来源,具体包括:
我们引入概率分布函数,具体定义如下:
其中,当,,且根据前述假定,黑匣子和飞机主体残骸为非
漂流物,因此。
本模型假设了10条可能航向,可能航向在搜索区域的可以视作搜寻的基线。
在基线区域内,遇险目标分布概率在搜寻基线附近最高,并且离开基线越远,概
率越低,基线两边均为正态分布。
6
图4.1基线区域内概率密度分布图
以通过搜索资料得到马来西亚航空370号班机的失联地点(北纬06°
55’15”,东经103°
34’43”)为原点。
搜索区域根据资料做出一定简化假设为
以失联地点为中心520km×
520km的方形区域。
以失联地点为中心建立直角坐标
系,如下图4.2所示
图4.2直角坐标系的建立
可能的航向在该坐标系中都可表示为通过原点的直线,分别记作,,,
,,,,,,,下面给出各条直线的具体方程:
:
;
失联客机向各个航向飞行的可能性相同,并且根据客机燃油、雷达信息等因
素本模型认为其飞行的最大半径为
的性质可以确定基线区域内概率密度分布函数的参数
坐标系下的概率分布函数为
(
。
根据正态分布函数
,因此得出在整个
)
式中为直线的斜率
为了便于调配将520km×
520km的搜索区域分为40km×
40km的小区域,总
数为
个。
失联客机在每个小区域的概率为
对于整个方形搜索区域来说
7
各个小区域在540km×
540km的范围内子域
的条件概率为
4.1.2探测函数
本模型对探测函数的定义为:
中找到目标
,其中是搜索飞机在时刻的位置。
一般情况下,探测函数用来
表示即可[2]。
而在本模型中,采取了一个便于测量的形势,定搜寻飞机的搜寻
范围宽度的8公里为,即为距离,在这个距离内飞机搜索不到目标的概率与
在这个距离内飞机搜索到目标的概率相等。
4.1.3探测资源模型
假定在搜索路径
已经给出的条件下,可以定义搜索资源分配函数如下:
函数意义为在时间区间
中,能分配到点处的搜索资源。
4.1.4离散搜索能力对静止目标的最优搜索模型
在前述计算初始概率密度函数时,本模型将目标分布区域划分为13×
13
共计169个子域,其中,根据前述初始概率密度函数的计算
结果,可以得到黑匣子或飞机主体残骸位于子域的概率为。
并假定搜
索的时间有一定的限定,上限值为,并根据黑匣子从失事开始能持续供电发出
信号时间为30天的特征,记天。
本模型构建一种搜索策略,将总搜索时间分为相等的等分,使每一等分
至少可以搜索一个子域。
先给出一个定义:
离散搜索力的搜索计划定义为一个
有序的数组:
,其中为搜索力量的总量,即投放飞机的总次数,
搜索每个区域的时间。
其中,的含义是采用搜索计划时,将第一次搜索施加于第子域,若第一
次搜索没有发现目标,则把第二次搜索施加于第子域,以此类推,直到成功搜
索到黑匣子或飞机主体残骸,或者搜索的时间耗尽,这时,的全排列
可达到,而其中允许出现重复数字。
这又是因为在有限的单位子域
搜索时间内,即使目标在所在子域里,也存在不能发现的概率。
在这排列中,每一个排列都对应一个搜索计划,并且对应相应的成本开销,
搜索计划不同,搜索效率也差别很大,本模型的目的就是要寻求最优的搜索计划
,使得发现黑匣子或飞机主体残骸的概率最大。
关于发现黑匣子或飞机的主体残骸的概率和相应的总搜索费用的定
义和二者的约束条件定义如下:
用表示第次查找第子域,并查找成功的概率,由此可知:
8
当且仅当搜索计划中存在对子域的第次查找,才存在,由此可
见,搜索成功的概率与子域的查找次序无关,只与搜索计划中对每个子域的
查找次数有关。
为总搜索费用的上限,用表示对子域的第次查
找的费用,因此,为使得搜索次数最大化,总搜索费用应满足:
同样,当且仅当搜索计划中存在对子域的第次查找,才有意义。
因此,对于黑匣子或飞机的主体残骸的概率和相应的总搜索费用来
说:
同时还需要满足约束条件:
其中为飞机或者时间资源的约束上限。
根据资料[1],采用拉格朗日乘数法可以将目标函数和约束条件放在一个公
式中,将带有约束条件的极值问题求解转化为普通的求解极值问题。
构造拉格朗日函数如下:
其中叫做拉格朗日乘子,该函数称为逐点拉格朗日函数,且,,
对于一个带有参数(数量或者时间)的资源配置是最优配置的充分条件是
函数满足:
对求导:
求解
,可得最优搜索方案如下:
其中必须满足成本开销约束条件:
令则可以求出对应的的值。
上述介绍的拉格朗日乘数法得到的是具体的资源分配方案,但是不能给出具
9
体的搜索顺序,即所求解的搜索方案。
因为飞机的离散搜索是一次次进行的,并且每个任务子域都为40公里
×
40公里的范围,且在范围内的搜索模式相同,具体见下文论述,因此每次出
任务搜索子域的搜索费用是只与距离相关的函数,因此对子域的单
次搜索费用均相同。
若=递减,可按下述方法寻求搜索计划,令
满足:
在确定了前
次搜索
之后,令满足:
这种方法用了渐进的搜索方法,在搜索过程中每次都挑选搜索成功概率最高
的区域进行搜索,并且考虑目标确实在子域,但是却被忽略掉的概率,这样
得到的搜索计划就是最优的搜索计划。
4.1.5求解离散搜索能力对静止目标的最优搜索模型
因为前述假定黑匣子和飞机的主体残骸都不随洋流或风压运动,为静止目标,
因此初始概率密度函数结果即为黑匣子或飞机主体残骸位于子域的概率
。
表4.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.0007
0.0010
0.0014
0.0020
0.0027
0.0034
0.0040
0.0046
0.0050
0.0053
0.0054
0.0011
0.0043
0.0057
0.0062
0.0063
0.0017
0.0021
0.0029
0.0037
0.0069
0.0072
0.0073
0.0070
0.0067
0.0026
0.0032
0.0049
0.0059
0.0076
0.0080
0.0083
0.0082
0.0079
0.0036
0.0052
0.0087
0.0090
0.0047
0.0056
0.0064
0.0074
0.0092
0.0096
0.0095
0.0089
0.0066
的值
0.0097
0.0099
10
11
12
13
而为对子域搜索第一次发现黑匣子或飞机主体残骸的概率,这
对同一机组来说,概率相同,即都相等。
为对子域第次搜索的费用,飞机在子域的搜索方式相同,
故可认为搜索费用相同,因此从出发点到子域距离的函数,满足:
表4.3
897.38
869.71
843.38
818.56
795.45
774.26
755.22
738.56
724.52
713.33
705.18
700.22
698.56
840.81
813.20
787.07
762.62
740.10
719.76
701.88
686.75
674.63
665.77
660.37
658.56
784.25
756.70
730.81
706.82
685.04
649.37
636.17
626.48
620.56
618.56
727.68
651.23
630.39
612.51
598.03
587.34
580.78
578.56
671.11
643.77
595.92
576.33
560.32
548.41
541.05
538.56
614.54
562.65
523.19
509.76
501.40
498.56
557.97
530.97
507.00
486.89
471.54
461.87
458.56
474.68
451.80
433.97
422.52
418.56
444.83
397.45
383.48
378.56
388.27
362.78
345.05
338.56
331.70
308.00
298.56
275.13
258.56
218.56
因此可以计算出下式的值:
如下表所示。
表4.4
0.75
1.12
1.66
2.45
3.42
4.44
5.31
6.21
6.92
7.43
7.52
7.77
7.59
1.25
1.70
2.47
3.46
4.51
5.81
6.97
8.16
8.97
9.34
9.47
9.54
9.35
2.04
2.64
3.65
4.92
6.27
7.70
9.20
10.33
11.03
11.48
11.43
11.31
10.88
3.15
4.00
5.30
6.69
8.39
9.98
11.66
12.73
13.56
13.65
13.41
13.07
12.13
4.50
5.64
7.06
8.80
10.67
12.46
14.13
15.14
15.66
15.60
15.15
14.03
13.03
的值(单位
6.11
7.55
9.12
11.04
12.91
14.92
16.34
17.06
17.47
16.98
16.02
14.57
13.22
9.16
10.87
12.76
14.82
16.58
17.71
18.35
18.08
15.80
14.27
12.50
8.92
10.41
12.26
14.09
15.87
18.28
17.50
16.4
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