学年鲁教版五四制数学八年级下册63正方形的性质与判定 同步练习卷Word格式.docx
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8.如图,AB⊥CD,连接AC,点E在AB上,连接ED,AB=CD,∠EDB=2∠BAC,BC=3,AE=2,则BE的长为 .
9.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠D=90°
,∠ABE=45°
,BC=CD,若AE=5,CE=2,则BC的长度为 .
三.解答题
10.如图,若在正方形ABCD中,点E为CD边上一点,点F为AD延长线上一点,且DE=DF,则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系?
请说明理由.
11.如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.
(1)求证:
BE=AF;
(2)若AB=4,DE=1,求AF的长.
12.如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,连结DE,将矩形ABCD沿DE折叠,点A的对称点F落在边CD上,连结EF.求证:
四边形ADFE是正方形.
13.已知:
在△ABC中,CB=CA,点D、E分别是AB、AC的中点,连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN与点F.
AD=CF;
(2)连接CD,AF,当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF为正方形?
请证明你的结论.
14.如图,在矩形ABCD中,AD=6,DC=8,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,AH=2,DG=2.求证:
四边形EFGH为正方形.
15.如图,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上,连接CF.
∠HEA=∠CGF;
(2)当AH=DG时,求证:
菱形EFGH为正方形.
参考答案
1.解:
A.因为矩形的对角线相等,所以A选项错误,不符合题意;
B.因为菱形的对角线互相垂直,所以B选项错误,不符合题意;
C.因为正方形的对角线互相垂直且相等,所以C选项正确,符合题意;
D.因为平行四边形的对角线互相平分,所以D选项错误,不符合题意.
故选:
C.
2.解:
作CD⊥x轴于D,作BE⊥CD于E,交y轴于F,如图,
∵B(1,3),
∴DE=3,BF=1,
设C(m,n),则OD=EF=﹣m,CD=n,
∵四边形ABCO为正方形,
∴∠BCO=90°
,CB=CO,
∵∠BCE+∠OCD=90°
,∠BCE+∠CBE=90°
,
∴∠OCD=∠CBE,
在△OCD和△CBE中
∴△OCD≌△CBE(AAS),
∴CD=BE,OD=CE,
即n=1﹣m,﹣m=3﹣n,
∴m=﹣1,n=2,
∴C点坐标为(﹣1,2).
A.
3.解:
A、有一个角是直角的菱形是正方形,符合题意;
B、对角线互相垂直且平分且相等的四边形是正方形,不符合题意;
C、有一组邻边相等且邻角相等的平行四边形是正方形,不符合题意;
D、对角线互相垂直且平分且相等的四边形是正方形,不符合题意;
4.解:
A、若AB=AD,则▱ABCD是菱形,选项说法错误;
B、若AB=AD,则▱ABCD是菱形,选项说法错误;
C、若AB⊥BC,则▱ABCD是矩形,选项说法正确;
D、若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形,选项说法错误;
5.解:
方法一:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AO=BO=
AC=1,∠AOB=90°
由勾股定理得,AB=
S正=(
)2=2.
方法二:
因为正方形的对角线长为2,
所以面积为:
2×
2=2.
故答案为:
2.
6.解:
∵四边形ABCD是正方形,△CBE是等边三角形,
∴AB=BC,∠BAD=90°
,BE=BC,∠CBE=60°
∴AB=BE,∠ABE=90°
﹣60°
=30°
∴∠AEB=∠EAB=
(180°
﹣30°
)=75°
75°
.
7.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
∴▱ABCD是菱形,
又∵AC=BD,
∴▱ABCD是矩形,
∴▱ABCD是正方形;
正方形.
8.解:
如图,平移△ABC得到△GDF,连接AG,EG,作GH⊥DE于H.
则有AB=FG,BC=DF=3,AB∥FG,AG∥BF,∠BAC=∠FGD,∠ABC=∠F,
∴四边形ABFG是平行四边形,
∵CD=CB+BD=BD+DF=BF,AB=CD,
∴AB=BF,
∵AB⊥BC,
∴∠ABF=90°
∴四边形ABFG是正方形,
∴FG=AG,∠BAG=90°
设∠BAC=∠FGD=α,则∠EDB=2α,∠GDF=90°
﹣α,
∴∠EDG=180°
﹣∠EDB﹣∠GDF=90°
∴∠GDF=∠EDG,
∵GH⊥DE,GF⊥DF,
∴∠F=∠GHD=90°
∵GD=GD,
∴△GDF≌△GDH(AAS),
∴FG=GH,DF=DH=3,
∵∠A=∠GHE=90°
,GA=GF=GH,GE=GE,
∴Rt△GEA≌Rt△GEH(HL),
∴AE=EH=2,
∴DE=2+3=5,设AB=BF=x,则BE=x﹣2,BD=x﹣3,
在Rt△BDE中,∵DE2=BE2+BD2,
∴52=(x﹣2)2+(x﹣3)2,
解得x=6或﹣1(舍弃),
∴BE=4.
故答案为4.
9.解:
过点B作BF⊥AD于点F,延长DF使FG=EC,连接BG,
∵AD∥BC,∠D=90°
∴∠C=∠D=90°
,BF⊥AD
∴四边形CDFB是矩形
∵BC=CD
∴四边形CDFB是正方形
∴CD=BC=DF=BF,∠CBF=90°
=∠C=∠BFG,
∵BC=BF,∠BFG=∠C=90°
,CE=FG
∴△BCE≌△BFG(SAS)
∴BE=BG,∠CBE=∠FBG
∵∠ABE=45°
∴∠CBE+∠ABF=45°
∴∠ABF+∠FBG=45°
=∠ABG
∴∠ABG=∠ABE,且AB=AB,BE=BG
∴△ABE≌△ABG(SAS)
∴AE=AG=5,
∴AF=AG﹣FG=5﹣2=3
在Rt△ADE中,AE2=AD2+DE2,
∴25=(DF﹣3)2+(DF﹣2)2,
∴DF=6
∴BC=6
6
10.解:
AE=CF,AE⊥CF,理由如下:
如图,延长AE交CF于点G,
∴AD=CD,∠ADC=∠CDE=90°
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴AE=CF,∠DAE=∠DCF,
∵∠DCF+∠F=90°
∴∠DAE+∠F=90°
∴AG⊥CF,
即AE⊥CF.
∴AE=CF,AE⊥CF.
11.解:
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAE=∠ADF=90°
,AB=AD=CD,
∵DE=CF,
∴AE=DF,
在△BAE和△ADF中,
∴△BAE≌△ADF(SAS),
∴BE=AF;
(2)解:
∵AB=4,四边形ABCD是正方形,
∴AD=4,
∵DE=1,
∴AE=3,
∴BE=
=
=5,
∵△BAE≌△ADF,
∴BE=AF=5.
12.证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=90°
由折叠,得∠A=∠DFE=90°
∴∠A=∠ADF=∠DFE=90°
∴四边形AEFD是矩形.
∵AE=AD,
∴四边形AEFD是正方形.
13.
(1)证明:
∵CB=CA,
∴∠A=∠B,
∵∠ACM=∠A+∠B,
∴∠A=
ACM,
∵CN平分∠ACM,
∴∠ACF=
∴∠A=∠ACF,
∵E是AC的中点,
∴AE=CE,
在△ADE与△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(ASA),
∴AD=CF;
当∠ACB=90°
,四边形ADCF是正方形,
理由:
∵AC=BC,∠ACB=90°
∴△ACB是等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°
ACM=45°
∴∠DAC=∠ACF,
∴AD∥CF,
由
(1)知AD=CF,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵点D是AB的中点,
∴AD=CD,
∴∠ACD=∠CAD=45°
∴∠DCF=90°
∴矩形ADCF是正方形.
14.解:
∵四边形ABCD为矩形,四边形HEFG为菱形,
∴∠D=∠A=90°
,HG=HE,又AH=DG=2,
∴Rt△AHE≌Rt△DGH(HL),
∴∠DHG=∠HEA,
∵∠AHE+∠HEA=90°
∴∠AHE+∠DHG=90°
∴∠EHG=90°
∴四边形HEFG为正方形.
15.证明:
(1)连接GE,
∵AB∥CD,
∴∠AEG=∠CGE,
∵GF∥HE,
∴∠HEG=∠FGE,
∴∠HEA=∠CGF;
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∵四边形EFGH是菱形,
∴HG=HE,
在Rt△HAE和Rt△GDH中,
∴Rt△HAE≌Rt△GDH(HL),
∴∠AHE=∠DGH,又∠DHG+∠DGH=90°
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°
∴菱形EFGH为正方形;
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