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3.(2014年山东泰安,第14题3分)如图,△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=30°
,AB=16.点P是斜边AB上一点.过点P作PQ⊥AB,垂足为P,交边AC(或边CB)于点Q,设AP=x,△APQ的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为( )
ABC.D
分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可.
解:
当点Q在AC上时,∵∠A=30°
,AP=x,∴PQ=xtan30°
= ∴y=×
AP×
PQ=×
x×
=x2;
当点Q在BC上时,如图所示:
∵AP=x,AB=16,∠A=30°
,∴BP=16﹣x,∠B=60°
∴PQ=BP•tan60°
=(16﹣x).
∴==.
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上,后半部分也为抛物线开口向下.
本题考查动点问题的函数图象,有一定难度,解题关键是注意点Q在BC上这种情况.
4.(2014•菏泽第8题3分)如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,C、D两点不重合,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是()
A.
B.
C.
D.
专题:
数形结合.
分类讨论:
当0<x≤1时,根据正方形的面积公式得到y=x2;
当1<x≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N,利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2(x﹣1)2,配方得到y=﹣(x﹣2)2+2,然后根据二次函数的性质对各选项进行判断.
当0<x≤1时,y=x2,
当1<x≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N,如图,
CD=x,则AD=2﹣x,
∵Rt△ABC中,AC=BC=2,
∴△ADM为等腰直角三角形,
∴DM=2﹣x,
∴EM=x﹣(2﹣x)=2x﹣2,
∴S△ENM=(2x﹣2)2=2(x﹣1)2,
∴y=x2﹣2(x﹣1)2=﹣x2+4x﹣2=﹣(x﹣2)2+2,
故选A.
二.填空题
三.解答题
1.(2014•广东,第25题9分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AB于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:
四边形AEDF为菱形;
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;
(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?
若存在,请求出此时刻t的值;
若不存在,请说明理由.
相似形综合题.
(1)如答图1所示,利用菱形的定义证明;
(2)如答图2所示,首先求出△PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;
(3)如答图3所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解.
(1)证明:
当t=2时,DH=AH=2,则H为AD的中点,如答图1所示.
又∵EF⊥AD,∴EF为AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF.
∵AB=AC,AD⊥AB于点D,∴AD⊥BC,∠B=∠C.
∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,
∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,
∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.
(2)解:
如答图2所示,由
(1)知EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴,即,解得:
EF=10﹣t.
S△PEF=EF•DH=(10﹣t)•2t=﹣t2+10t=﹣(t﹣2)2+10
∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6.
(3)解:
存在.理由如下:
①若点E为直角顶点,如答图3①所示,
此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.
∵PE∥AD,∴,即,此比例式不成立,故此种情形不存在;
②若点F为直角顶点,如答图3②所示,
此时PE∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10﹣3t.
∵PF∥AD,∴,即,解得t=;
③若点P为直角顶点,如答图3③所示.
过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.
∵EM∥AD,∴,即,解得BM=t,
∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t.
在Rt△EMP中,由勾股定理得:
PE2=EM2+PM2=(2t)2+(t)2=t2.
∵FN∥AD,∴,即,解得CN=t,
∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t.
在Rt△FNP中,由勾股定理得:
PF2=FN2+PN2=(2t)2+(10﹣t)2=t2﹣85t+100.
在Rt△PEF中,由勾股定理得:
EF2=PE2+PF2,
即:
(10﹣t)2=(t2)+(t2﹣85t+100)
化简得:
t2﹣35t=0,
解得:
t=或t=0(舍去)
∴t=.
综上所述,当t=秒或t=秒时,△PEF为直角三角形.
本题是运动型综合题,涉及动点与动线两种运动类型.第
(1)问考查了菱形的定义;
第
(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;
第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.
2.(2014•武汉2014•武汉,第24题10分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值;
(3)试证明:
PQ的中点在△ABC的一条中位线上.
相似形综合题
(1)分两种情况讨论:
①当△BPQ∽△BAC时,=,当△BPQ∽△BCA时,=,再根据BP=5t,QC=4t,AB=10cm,BC=8cm,代入计算即可;
(2)过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB=5t,PM=3t,MC=8﹣4t,根据△ACQ∽△CMP,得出=,代入计算即可;
(3)作PE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,先得出DF=,再把QC=4t,PE=8﹣BM=8﹣4t代入求出DF,过BC的中点R作直线平行于AC,得出RC=DF,D在过R的中位线上,从而证出PQ的中点在△ABC的一条中位线上.
(1)①当△BPQ∽△BAC时,
∵=,BP=5t,QC=4t,AB=10cm,BC=8cm,
∴t=1;
②当△BPQ∽△BCA时,
∵=,
∴t=,
∴t=1或时,△BPQ与△ABC相似;
(2)如图所示,过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB=5t,PM=3t,MC=8﹣4t,
∵∠NAC+∠NCA=90°
,∠PCM+∠NCA=90°
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°
∴△ACQ∽△CMP,
t=;
(3)如图,仍有PM⊥BC于点M,PQ的中点设为D点,再作PE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,
∵∠ACB=90°
∴DF为梯形PECQ的中位线,
∴DF=,
∵QC=4t,PE=8﹣BM=8﹣4t,
∴DF==4,
∵BC=8,过BC的中点R作直线平行于AC,
∴RC=DF=4成立,
∴D在过R的中位线上,
∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上.
此题考查了相似形综合,用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等,关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形,注意分两种情况讨论.
.3.(2014•浙江金华,第23题10分)等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连结AF,BE相交于点P.
(1)若AE=CF.
①求证:
AF=BE,并求∠APB的度数.
②若AE=2,试求的值.
(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长.
【答案】
(1)①证明见解析,120°
;
②12;
(2).
【解析】
(注:
没学习四点同圆和切割线定理的可由△APE∽△ACF得比例式求解)
(2)如图,作△ABP外接圆满⊙O,在⊙O的优弧上取一点G,连接AG,BG,AO,BO,过点O作OH⊥AB于点H。
∵由
(1)可知∠APB=120°
,∴∠AGB=60°
.∴∠AOB=120°
,∠AOH=60°
.
∵AB=6,∴AH=3.∴.
∴.
∴点P经过的路径长为.
1.动点问题;
2.等边三角形的性质;
3.全等三角形的判定和性质;
4.圆周角定理;
5.切割线定理;
6.锐角三角函数定义;
7.特殊角的三角函数值;
8.垂径定理;
9.弧长的计算.
4.(2014•浙江金华,第24题12分)如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C三点.
(1)求该抛物线线的函数解析式.
(2)已知直线l的解析式为,它与x轴的交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P.
①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l于点H,连结OP,试求△OPH的面积.
②当时,过P点分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F.是否存在这样的点P,使以P,E,F为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1);
(2)①;
②存在,或或.
试题分析:
(1)由抛物线以直线x=1为对称轴,抛物线过点A,B,设顶点式,应用待定系数法求解.
(2)①设直线x=1与x轴交于点M,与直线交于点N,过点H作HD⊥直线x=1于点D,根据已知求出PD,OM,DH的长,由求解即可.
∵MP=OC=4,OM=MN=1,∴PN=3,DH=.
②存在.
当时,直线l的解析式为,
i)当点P在OC边上时,如图2,设点P的坐标为,点F的坐标为,过点F作FI⊥y轴于点I.则,即.
∴,
iv)当点P在AO边上时,以P,E,F为顶点的三角形不存在.
综上所述,以P,E,F为顶点的三角形是等腰三角形时,点P的坐标为或或.
2.待定系数法的应用;
3.曲线上点的坐标与方程的关系;
4.二次函数的性质;
5.等腰直角三角形的判定和性质;
6.勾股定理;
7.等腰三角形存在性问题;
8.转换思想和分类思想的应用.
5.(2014•云南昆明,第23题9分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最多面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使,求K点坐标.
二次函数综合题.
(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2考查动点与二次函数最值问题:
先写出S与t的函数关系式,再确定函数最值;
(3)存在所求的K点,由
(2)可求出的面积,再把分成两个三角形进行面积运算.
(1)将A(,0)、B(4,0)两点坐标分别代入,
即,解得:
抛物线的解析式为:
(2)设运动时间为t秒,由题意可知:
过点作,垂直为D,易证∽,
OC=3,OB=4,BC=5,,
对称轴
当运动1秒时,△PBQ面积最大,,最大为,
(3)如图,设
连接CK、BK,作交BC与L,
由
(2)知:
,
设直线BC的解析式为
,解得:
直线BC的解析式为
坐标为或
本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数、一元二次方程、相似三角形性质、动点问题等重要知识点.
6.(2014•益阳,第21题,12分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=60°
,AB=10,BC=4,点P沿线段AB从点A向点B运动,设AP=x.
(1)求AD的长;
(2)点P在运动过程中,是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似?
若存在,求出x的值;
若不存在,请说明理由;
(3)设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2,若S=S1+S2,求S的最小值.
(第1题图)
(1)过点C作CE⊥AB于E,根据CE=BC•sin∠B求出CE,再根据AD=CE即可求出AD;
(2)若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似,则△PCB必有一个角是直角.分两种情况讨论:
①当∠PCB=90°
时,求出AP,再根据在Rt△ADP中∠DPA=60°
,得出∠DPA=∠B,从而得到△ADP∽△CPB,②当∠CPB=90°
时,求出AP=3,根据≠且≠,得出△PCB与△ADP不相似.
(3)先求出S1=x•,再分两种情况讨论:
①当2<x<10时,作BC的垂直平分线交BC于H,交AB于G;
作PB的垂直平分线交PB于N,交GH于M,连结BM,在Rt△GBH中求出BG、BN、GN,在Rt△GMN中,求出MN=(x﹣1),在Rt△BMN中,求出BM2=x2﹣x+,最后根据S1=x•BM2代入计算即可.②当0<x≤2时,S2=x(x2﹣x+),最后根据S=S1+S2=x(x﹣)2+x即可得出S的最小值.
(1)过点C作CE⊥AB于E,
在Rt△BCE中,
∵∠B=60°
,BC=4,
∴CE=BC•sin∠B=4×
=2,
∴AD=CE=2.
(2)存在.若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似,
则△PCB必有一个角是直角.
时,在Rt△PCB中,BC=4,∠B=60°
,PB=8,
∴AP=AB﹣PB=2.
又由
(1)知AD=2,在Rt△ADP中,tan∠DPA===,
∴∠DPA=60°
∴∠DPA=∠CPB,
∴△ADP∽△CPB,
∴存在△ADP与△CPB相似,此时x=2.
②∵当∠CPB=90°
时,在Rt△PCB中,∠B=60°
∴PB=2,PC=2,
∴AP=3.
则≠且≠,此时△PCB与△ADP不相似.
(3)如图,因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD,则S1=x•()2=x•,
作PB的垂直平分线交PB于N,交GH于M,连结BM.则BM为△PCB外接圆的半径.
在Rt△GBH中,BH=BC=2,∠MGB=30°
∴BG=4,
∵BN=PB=(10﹣x)=5﹣x,
∴GN=BG﹣BN=x﹣1.
在Rt△GMN中,∴MN=GN•tan∠MGN=(x﹣1).
在Rt△BMN中,BM2=MN2+BN2=x2﹣x+,
∴S1=x•BM2=x(x2﹣x+).
②∵当0<x≤2时,S2=x(x2﹣x+)也成立,
∴S=S1+S2=x•+x(x2﹣x+)=x(x﹣)2+x.
∴当x=时,S=S1+S2取得最小值x.
此题考查了相似形综合,用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理,关键是根据题意画出图形构造相似三角形,注意分类讨论.
7.(2014•扬州,第28题,12分)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.
(第6题图)
(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.
△OCP∽△PDA;
②若△OCP与△PDA的面积比为1:
4,求边AB的长;
(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;
(3)如图2,,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?
若变化,说明理由;
若不变,求出线段EF的长度.
相似形综合题;
全等三角形的判定与性质;
等腰三角形的判定与性质;
勾股定理;
矩形的性质;
特殊角的三角函数值.
综合题;
动点型;
探究型.
(1)只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似,然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系,然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长,从而求出AB长.
(2)由DP=DC=AB=AP及∠D=90°
,利用三角函数即可求出∠DAP的度数,进而求出∠OAB的度数.
(3)由边相等常常联想到全等,但BN与PM所在的三角形并不全等,且这两条线段的位置很不协调,可通过作平行线构造全等,然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半,只需求出PB长就可以求出EF长.
(1)如图1,
①∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°
.
由折叠可得:
AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO.∠APO=∠B.
∴∠APO=90°
∴∠APD=90°
﹣∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C,∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
②∵△OCP与△PDA的面积比为1:
4,
∴====.
∴PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.
∵AD=8,∴CP=4,BC=8.
设OP=x,则OB=x,CO=8﹣x.
在Rt△PCO中,
∵∠C=90°
,CP=4,OP=x,CO=8﹣x,
∴x2=(8﹣x)2+42.
x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴边AB的长为10.
(2)如图1,
∵P是CD边的中点,
∴DP=DC.
∵DC=AB,AB=AP,
∴DP=AP.
∵∠D=90°
∴sin∠DAP==.
∴∠DAP=30°
∵∠DAB=90°
,∠PAO=∠BAO,∠DAP=30°
∴∠OAB=30°
∴∠OAB的度数为30°
(3)作MQ∥AN,交PB于点Q,如图2.
∵AP=AB,MQ∥AN,
∴∠APB=∠ABP,∠ABP=∠MQP.
∴∠APB=∠MQP.
∴MP=MQ.
∵MP=MQ,ME⊥PQ,
∴PE=EQ=PQ.
∵BN=PM,MP=MQ,
∴BN=QM.
∵MQ∥AN,
∴∠QMF=∠BNF.
在△MFQ和△NFB中,
.
∴△MFQ≌△NFB.
∴QF=BF.
∴QF=QB.
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB.
由
(1)中的结论可得:
PC=4,BC=8,∠C=90°
∴PB==4.
∴EF=PB=2.
∴在
(1)的条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,长度为2.
本题是一道运动变化类的题目,考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识,综合性比较强,而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键.
8.(2014•滨州,第25题12分)如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,点P为AB边上一动点,OP交AC于点Q.
(1)求证:
△APQ∽△CDQ;
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动,移动时间为t秒.
①当t为何值时,DP⊥AC?
②设S△APQ+S△DCQ=y,写出y与t之间的函数解析式,并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时,y取得最小值.
(1)求证相似,证两对角相等即可,因为平行,易找,易证.
(2)①当垂直时,易得三角形相似,故有相似边成比例,由题中已知矩形边长则AP长已知,故t易知.
②因为S△APQ+S△DCQ=y,故求S△APQ和S△DCQ是解决问题的关键,观察无固定组合规则图象,则考虑作高分别求取.考虑两高在同一直线上,且相加恰为10,故可由
(1)相似结论得,高的比等于对应边长比,设其中一高为h,即可求得,则易表示y=,注意要考虑t的取值.讨论何时y最小,y=不是我们学过的函数类型,故无法用最值性质来讨论,回观察题目问法为“探究P点运动到第几秒到第几秒之间时”,<1>并不是我们常规的在确定时间最小,<2>时间问的整数秒.故可考虑将所有可能的秒全部算出,再观察数据探究函数的变化找结论.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠QPA=∠QDC,∠QAP=∠QCD,
∴△APQ
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