高三数学上学期期中试题 文文档格式.docx
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14.已知{an}是等比数列,,则a1a2+a2a3+…+anan+1=__________.
15.若直线l:
(a>0,b>0)经过点(1,2)则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是__________
16.已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC=AB,若四面体P﹣ABC的体积为,则该球的体积为__________.
三、解答题:
(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位置.)
17.(12分)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)当x∈[0,]时,求函数f(x)的值域.
18.(12分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列
(Ⅰ)求{an}的公比q;
(Ⅱ)若a1﹣a3=3,bn=nan.求数列{bn}的前n项和Tn.
19.(12分)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,,且c=3.
(Ⅰ)求角C;
(Ⅱ)若向量与共线,求a、b的值.
20..(12分)如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°
,CD∥AB,AD=CD=AB=2,点E为AC中点.将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D﹣ABC,如图所示.
(Ⅰ)在CD上找一点F,使AD∥平面EFB;
(Ⅱ)求点C到平面ABD的距离.
21.(12分)已知函数f(x)=alnx(a>0),e为自然对数的底数.
(Ⅰ)若过点A(2,f
(2))的切线斜率为2,求实数a的值;
(Ⅱ)当x>0时,求证:
f(x)≥a(1﹣);
(Ⅲ)在区间(1,e)上>1恒成立,求实数a的取值范围.
选修4-1:
几何证明选讲
22.(10分)如图,已知AB是圆O的直径,C、D是圆O上的两个点,CE⊥AB于E,BD交AC于G,交CE于F,CF=FG.
(Ⅰ)求证:
C是劣弧BD的中点;
(Ⅱ)求证:
BF=FG.
选修4-4:
坐标系与参数方程
23.(10分)已知直线l:
(t为参数),曲线C1:
(θ为参数).
(Ⅰ)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;
(Ⅱ)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
选修4-5:
不等式选讲
24.(10分)设函数f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|.
(Ⅰ)解不等式f(x)>0;
(Ⅱ)若f(x)+3|x﹣4|>m对一切实数x均成立,求m的取值范围.
考点:
交、并、补集的混合运算.
专题:
集合.
分析:
根据集合的基本运算即可得到结论.
解答:
解:
由补集的定义可得∁UN={2,3,5},
则(∁UN)∩M={2,3},
故选:
A
点评:
本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
复数代数形式的乘除运算.
计算题.
根据所给的等式两边同时除以1﹣i,得到z的表示式,进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式,得到结果.
∵复数z满足z(1﹣i)=2i,
∴z=
=﹣1+i
故选A.
本题考查代数形式的除法运算,是一个基础题,这种题目若出现一定是一个送分题目,注意数字的运算.
充要条件.
计算题;
简易逻辑.
根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
∵x<0,∴x+1<1,当x+1>0时,ln(x+1)<0;
∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0,
∴“x<0”是ln(x+1)<0的必要不充分条件.
B.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键,比较基础.
三角形的面积公式.
解三角形.
利用正弦定理,求出C,从而可求A,利用△ABC的面积确定C的大小,即可得出结论.
∵△ABC中,B=30°
,AC=1,AB=,由正弦定理可得:
=,
∴sinC=,
∴C=60°
或120°
,
C=60°
时,A=90°
;
C=120°
时A=30°
当A=90°
时,∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=,
当A=30°
时,∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=,不满足题意,
则C=60°
.
C.
本题考查正弦定理的运用,考查三角形面积的计算,考查学生的计算能力,属于中档题.
等差数列的性质.
等差数列与等比数列.
由Sn+2﹣Sn=36,得an+1+an+2=36,代入等差数列的通项公式求解n.
由Sn+2﹣Sn=36,得:
an+1+an+2=36,
即a1+nd+a1+(n+1)d=36,
又a1=1,d=2,
∴2+2n+2(n+1)=36.
解得:
n=8.
D.
本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的通项公式,是基础题.
平面图形的直观图.
空间位置关系与距离.
逐一分析四个答案中几何体的三视图,比照已知中的三视图,可得答案.
A中,
的三视图为:
,满足条件;
B中,
的侧视图为:
,与已知中三视图不符,不满足条件;
C中,
的侧视图和俯视图为:
D中,
本题考查的知识点是三视图的画法,能根据已知中的直观图,画出几何体的三视图是解答的关键.
简单线性规划.
先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.
作图
易知可行域为一个三角形,
当直线z=2x+y过点A(2,﹣1)时,z最大是3,
本小题是考查线性规划问题,本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.
程序框图.
规律型;
算法和程序框图.
分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:
该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…<100时,k+1的值.
分析程序中各变量、各语句的作用,
再根据流程图所示的顺序,
可知:
该程序的作用是:
输出不满足条件S=0+1+2+8+…<100时,k+1的值.
第一次运行:
满足条件,s=1,k=1;
第二次运行:
满足条件,s=3,k=2;
第三次运行:
满足条件,s=11<100,k=3;
满足判断框的条件,继续运行,
第四次运行:
s=1+2+8+211>100,k=4,不满足判断框的条件,退出循环.
故最后输出k的值为4.
A.
本题考查根据流程图(或伪代码)输出程序的运行结果.这是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:
:
①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.
A.B.C.D.
函数的值.
利用f(x)=1+,f(x)+f(﹣x)=2即可求得答案.
∵f(x)==1+,
∴f(﹣x)=1﹣,
∴f(x)+f(﹣x)=2;
∵f(a)=,
∴f(﹣a)=2﹣f(a)=2﹣=.
故选C.
本题考查函数的值,求得f(x)+f(﹣x)=2是关键,属于中档题.
平面向量数量积的运算.
平面向量及应用.
运用向量的平方即为模的平方,可得=0,再由向量的三角形法则,以及向量共线的知识,化简即可得到所求.
若|+|=|﹣|,
则=,
即有=0,
E,F为BC边的三等分点,
则=(+)•(+)=()•()
=(+)•(+)
=++=×
(1+4)+0=.
故选B.
本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查向量的平方即为模的平方,考查向量共线的定理,考查运算能力,属于中档题.
奇偶函数图象的对称性;
三角函数的周期性及其求法;
正弦函数的图象.
压轴题;
数形结合.
的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得,所以它的图象关于点(1,0)中心对称,再由正弦函数的对称中心公式,可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点(1,0),故交点个数为偶数,且每一对对称点的横坐标之和为2.由此不难得到正确答案.
函数,y2=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图
当1<x≤4时,y1<0
而函数y2在(1,4)上出现1.5个周期的图象,
在和上是减函数;
在和上是增函数.
∴函数y1在(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E、F、G、H
相应地,y1在(﹣2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A、B、C、D
且:
xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为8
故选D
发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口,讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间(1,4)上的交点个数是本题的难点所在.
利用导数研究函数的单调性;
导数的运算.
导数的综合应用.
构造函数g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R),研究g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解
设g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R),
则g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex=ex[f(x)+f′(x)﹣1],
∵f(x)+f′(x)>1,
∴f(x)+f′(x)﹣1>0,
∴g′(x)>0,
∴y=g(x)在定义域上单调递增,
∵exf(x)>ex+3,
∴g(x)>3,
又∵g(0)═e0f(0)﹣e0=4﹣1=3,
∴g(x)>g(0),
∴x>0
本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.
13.已知,,则sinα+cosα=.
三角函数的恒等变换及化简求值.
通过已知求出tanα,利用同角三角函数的基本关系式,结合角的范围,求出sinα,cosα的值即可.
∵
∴
解得tanα=,
∵,
∵sin2α+cos2α=1…①
tanα=,…②
解①②得sinα=,cosα=﹣
∴sinα+cosα==﹣.
故答案为:
﹣.
本题考查同角三角函数的基本关系式的应用,注意角的范围,考查计算能力
14.已知{an}是等比数列,,则a1a2+a2a3+…+anan+1=.
数列的求和;
等比数列的通项公式.
首先根据a2和a5求出公比q,根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列,根据等比数列求和公式可得出答案.
由,解得.
数列{anan+1}仍是等比数列:
其首项是a1a2=8,公比为,
所以,
故答案为.
本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用.应善于从题设条件中发现规律,充分挖掘有效信息.
(a>0,b>0)经过点(1,2)则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2.
直线的截距式方程.
直线与圆.
把点(1,1)代入直线方程,得到=1,然后利用a+b=(a+b)(),展开后利用基本不等式求最值.
∵直线l:
(a>0,b>0)经过点(1,2)
∴=1,
∴a+b=(a+b)()=3+≥3+2,当且仅当b=a时上式等号成立.
∴直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为3+2.
3+2.
本题考查了直线的截距式方程,考查利用基本不等式求最值,是中档题.
16.已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC=AB,若四面体P﹣ABC的体积为,则该球的体积为
棱柱、棱锥、棱台的体积.
设该球的半径为R,则AB=2R,2AC=AB=,故AC=R,由于AB是球的直径,所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC,由此能求出球的体积.
设该球的半径为R,
则AB=2R,2AC=AB=,
∴AC=R,
由于AB是球的直径,
所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得:
BC2=AB2﹣AC2=R2,
所以Rt△ABC面积S=×
BC×
AC=,
又PO⊥平面ABC,且PO=R,四面体P﹣ABC的体积为,
∴VP﹣ABC==,
即R3=9,R3=3,
所以:
球的体积V球=×
πR3=×
π×
3=4π.
故选D.
本题考查四面体的外接球的体积的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地化空间问题为平面问题.
17.已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx.
三角函数中的恒等变换应用;
三角函数的求值;
三角函数的图像与性质.
(I)先化简求得解析式f(x)=sin(2x﹣)+,从而可求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)先求2x﹣的范围,可得sin(2x﹣)的范围,从而可求函数f(x)的值域.
(I)f(x)=sin2x+sinxcosx=+sin2x…
=sin(2x﹣)+.…
函数f(x)的最小正周期为T=π.…
因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ,解得﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间是[﹣+kπ,+kπ],k∈Z,.…
(Ⅱ)当x∈[0,]时,2x﹣∈[﹣,]
sin(2x﹣)∈[﹣,1],…
所以函数f(x)的值域为f(x)∈[0,1+].…
本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的图象与性质,属于基本知识的考查.
18.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列
(1)求{an}的公比q;
(2)若a1﹣a3=3,bn=nan.求数列{bn}的前n项和Tn.
等比数列的通项公式.
(I)分类讨论利用等差等比是列的定义公式得出当q=1时,S1=a1,S3=3a1,S2=2a1,不是等差数列,当q≠1时,化简得出:
2q2﹣q﹣1=0,求解即可.
(II)运用得出数列,等比数列的性质得出bn=nan.an=n﹣1,再利用错位相减求和即可.
(Ⅰ)∵等比数列{an}的前n项和为Sn,
∴当q=1时,S1=a1,S3=3a1,S2=2a1,不是等差数列,
当q≠1时,Sn=,
∵S1,S3,S2成等差数列
∴2S3=S1+S2,
化简得出:
2q2﹣q﹣1=0,
(Ⅱ)∵a1﹣a3=3,∴a1﹣a1=3,a1=4∵bn=nan.an=n﹣1∴bn=nan=4n×
()n﹣1∴Tn=4
﹣Tn=4错位相减得出Tn=4n
Tn=4,
Tn=×
(1﹣(﹣)n)n(﹣)n
Tn=(﹣)nn(﹣)n
本题考查了等比等差数列的性质,错位相减法求解数列的和,考查了学生的计算化简能力,属于中档题.
19已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,,且c=3.
(1)求角C;
(2)若向量与共线,求a、b的值.
余弦定理;
三角函数的恒等变换及化简求值;
正弦定理.
(1)利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简可得sin(2C﹣30°
)=1,结合C的范围可求C
(2)由
(1)C,可得A+B,结合向量共线的坐标表示可得sinB﹣2sinA=0,利用两角差的正弦公式化简可求
(1)∵,
∴sin(2C﹣30°
)=1
∵0°
<C<180°
(2)由
(1)可得A+B=120°
∵与共线,
∴sinB﹣2sinA=0
∴sin(120°
﹣A)=2sinA
整理可得,即tanA=
∴A=30°
,B=90°
∵c=3.
∴a=,b=2
本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及两角和的正弦公式、锐角三角函数的综合应用
20.如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°
,CD∥AB,AD=CD=AB=2,点E为AC中点.将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D﹣ABC,如图2所示.
(1)在CD上找一点F,使AD∥平面EFB;
(2)求点C到平面ABD的距离.
点、线、面间的距离计算;
直线与平面平行的判定.
(1)取CD的中点F,连结EF,BF,在△ACD中,可证AD∥EF,又EF⊆平面EFBAD⊄平面EFB,可证AD∥平面EFB.
(2)设点C到平面ABD的距离为h,由于可证AD⊥BD,可得,又三棱锥B﹣ACD的高BC=2,S△ACD=2,由=即可解得点C到平面ABD的距离.
(1)取CD的中点F,连结EF,BF,
在△ACD中,∵E,F分别为AC,DC的中点,
∴EF为△ACD的中位线
∴AD∥EF,
EF⊆平面EFB,AD⊄平面EFB
∴AD∥平面EFB.
(2)设点C到平面ABD的距离为h,
∵平面ADC⊥平面ABC,且BC⊥AC,
∴BC⊥平面ADC,
∴BC⊥AD,而AD⊥DC•
∴AD⊥平面BCD,即AD⊥BD•
∴•
∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2,S△ACD=2,
∴=
∴可解得:
h=2.
本题主要考查了直线与平面平行的判定,考查了点、线、面间的距离计算,考查了空间想象能力和转化思想,属于中档题.
21.已知函数f(x)=alnx(a>0),e为自然对数的底数.
利用导数求闭区间上函数的最值;
利用导数研究曲线上某点切线方程.
(Ⅰ)求函数的导数,根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值;
(Ⅱ)构造函数,利用导数证明不等式即可;
(Ⅲ)利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论.
解答:
(I)函数的f(x)的导数f′(x)=,
∵过点A(2,f
(2))的切线斜率为2,
∴f′
(2)==2,解得a=4.…
(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣a(1﹣)=a(lnx﹣1+);
则函数的导数g′(x)=a().…
令g′(x)>0,即a()>0,解得x>1,
∴g(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增
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