数学建模肾炎诊断1Word格式.docx
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当P在(0,1)变化时,logit(p)就在全体实数上变化。
我们有下面的变换公式:
等价于:
在拟合Logistic回归模型时,我们要建立因变量概率pi关于自变量的关系式,自变量都必须是数值型的。
拟合Logistic回归模型采用最大似然估计法。
4.2.问题的求解
4.2.1对模型的线性回归及对第一个问题的求解
4.2.1.1模型的线性回归
将数据导入Excel软件中,利用软件的“回归”函数,可以方便地得到线性回归模型的相关信息。
在进行回归时,选取置信度为95%。
于是可以得到该线性回归的回归统计、方差分析与回归参数,具体数值见下表。
回归统计
MultipleR
0.820977
RSquare
0.674003
AdjustedRSquare
0.629258
标准误差
0.307012
观测值
59
表4.2.1.1回归统计
一个要素或变量同时与几个要素或变量之间的相关关系。
复相关系数是度量复相关程度的指标,它可利用单相关系数和偏相关系数求得。
设因变量为Y,自变量为X1,X2,……Xk,则Y与X1,X2,……Xk的复相关系数记为Ry·
12……k,其计算式为Ry·
12……k=
复相关系数越大,表明要素或变量之间的线性相关程度越密切。
从表中可以看出,该回归模型复相关系数R的值达到了0.820977,这说明七种元素的含量与人的患病呈高度相关性。
df
SS
MS
F
SignificanceF
回归分析
7
9.938688
1.419813
15.06331
1.75794E-10
残差
51
4.807074
0.094256
总计
58
14.74576
表4.2.1.2方差分析
从图表中我们看到,F统计量的概率P值达到了0.000000000175794,远小于显著水平0.05,说明方程回归效果显著,方程中至少有一个回归系数显著不为零。
Coefficients
tStat
P-value
Lower95%
Upper95%
下限95.0%
上限95%
Intercept
0.892219
0.184417
4.838054
1.25E-05
0.521987
1.262451
166
-0.00036
0.00101
-0.36083
0.71972
-0.00239
0.001663
15.8
0.016483
0.004182
3.941917
0.000247
0.008089
0.024878
24.5
-0.00162
0.000866
-1.86433
0.068035
-0.00335
0.000124
700
-0.0003
6.32E-05
-4.73058
1.81E-05
-0.00043
-0.00017
112
-0.00094
0.000604
-1.56472
0.123832
-0.00216
0.000267
179
-6.5E-05
0.00031
-0.20962
0.834799
-0.00069
0.000557
513
0.000301
0.000222
1.359492
0.179972
-0.00014
0.000746
表4.2.1.3回归参数表
4.2.1.2回归方程的显著性检验
回归方程的检验
假设H0代表线性关系不显著
计算检验统计量F
通过查F分布表,F(1,5)=6.61,F=15.06331,F>
F(1,5),所以该线性模型线性显著,可以应用于对问题的分析。
表中可以找到线性回归模型中线性函数的各项系数值,由此可以得到
中,
b0=0.892219,b1=-0.00036,b2=0.016483,b3=-0.00162,b4=-0.0003,
b5=-0.00094,b6=-6.5E-05,b7=0.000301。
在以上假设下,若概率p大于0,则代表受检者健康未患病,反之,则受检者极有可能患病。
对应每个受检者的各种元素含量,在Excel软件中利用上述公式计算出其患病概率p,可以看到,Logistic模型下计算出来的p的计算公式对前面给出的六十组数据的判断正确率达到了93.33%。
(具体结果见附录)
4.2.2模型在实际检测中的应用及对第二个问题的解决
有了上一节中的公式,我们可以将这个模型计算出来的p应用于实际病例的判别。
只要给出某一个受检者体内各种元素的含量,就能应用此计算公式算出其患病几率,我们以0为参照,对有无患病的判断标准如上节所述,则可在Excel中计算出待判定的30组受检者患病的p值。
具体数据如下。
病例号
Zn
Cu
Fe
Ca
Mg
K
Na
p
Logit(p)
是否患病
61
58.2
5.42
29.7
323
138
0.8
1.6
1
62
106
1.87
40.5
542
177
184
427
0.6
0.4
63
152
12.5
1332
176
128
646
0.5
-0
64
85.5
1.7
3.99
503
62.3
238
763
0.9
2.1
65
144
0.7
15.1
547
79.7
71
219
66
85.7
1.09
4.2
790
170
45.8
258
0.2
67
0.3
9.11
417
552
49.5
142
-1
68
4.16
9.32
943
260
155
681
69
0.57
27.3
318
133
99.4
319
70
192
7.06
32.9
1969
343
103
553
0.1
-2
188
8.28
22.6
1208
231
1314
1372
72
153
5.87
34.8
328
163
264
673
1.5
73
143
2.84
15.7
265
123
348
1.2
74
213
19.1
36.2
2220
249
466
75
20.1
23.8
1606
156
40
168
76
171
10.5
30.5
672
145
47
331
77
162
13.2
19.8
1521
78
203
13
90.8
1544
98.9
395
79
164
28.9
1062
161
47.3
135
80
167
13.1
14.1
2278
212
36.5
96.5
81
12.9
18.6
2993
197
65.5
-7
82
15
27
2056
44.8
83
158
14.4
37
1025
101
180
900
1.9
84
22.8
31.3
1633
401
228
289
85
169
8
30.8
1068
99.1
53
817
1.1
86
247
17.3
8.65
2554
241
77.5
374
87
185
3.9
1211
190
134
650
88
209
6.43
86.9
2157
288
220
###
89
182
6.49
61.7
3870
432
368
90
235
15.6
23.4
1806
68.9
表4.2.2.1对待测受检者是否患病的判定结果
于是我们可以判定,在待判定的30位受检者中,有15位患有肾炎。
患病
健康
总共
30
百分比
50%
100%
表4.2.2.2判定结果
4.2.3对主要影响元素的判定及第三个问题的解决
从表4.2.1.3中,七种元素的回归系数显著性由高到低顺序为Ca,Cu,Fe,Mg,Na,Zn,K。
由此我们假设回归系数显著性较小的几种元素对是否患肾炎的影响有限,可以忽略不计,并加以检验,以期能够得到一个更为简化的判定方法。
在Mg、Na、Zn、K几种回归系数显著性较低的元素中,我们将各种元素进行组合排除。
将Mg、Na、Zn、K分别去掉,比较去掉后该回归的各个参量的值,以标准误差和正确率作为评判假设是否合理的依据。
再将Mg、Na去除,重新建立回归模型,以相同标准进行评判。
同理,分别把Mg、Zn,Mg、K,Na、Zn,Na、K,Zn、K等作为一组,进行评判。
最后依照相同的方法每三个、每四个进行分组,均依上述标准评判,具体分组不再赘述。
下面仅就回归后标准误差最小的两组给出分析结果。
假定一:
我们假设K和Mg含量的差异对患病无影响,按照上面的p值计算公式带入其余5中元素含量,对已知60位受检者的健康状况进行分析,结果如下表。
是否健康
判定结果
0.85222
1.7520974
2
31.5
701
0.80426
1.4131575
3
193
9.8
25.9
541
642
0.83486
1.6205005
4
159
14.2
39.7
896
726
0.78407
1.2895389
5
226
16.2
606
218
0.78408
1.2896171
6
9.29
307
257
0.87136
1.9130538
201
13.3
26.6
551
141
0.7584
1.1439461
147
14.5
659
680
0.88959
2.0865774
9
172
8.85
7.86
0.79393
1.3487722
10
11.5
32.5
639
0.81547
1.4859242
11
132
15.9
17.7
578
1.12931
#NUM!
12
11.3
767
0.81714
1.4971173
186
9.26
37.1
958
347
0.5943
0.3817673
14
8.23
27.1
625
465
0.76215
1.1644899
150
6.63
21
627
0.79916
1.3810815
16
10.7
11.7
612
390
0.8154
1.4855163
17
117
16.1
7.04
988
572
0.83427
1.6161859
18
181
10.1
4.04
1437
0.54599
0.1844798
19
146
20.7
1232
1092
0.87582
1.9534244
20
42.3
10.3
9.7
629
888
1.00173
28.2
12.4
53.1
370
852
1.04099
22
154
13.8
53.3
621
723
0.85355
1.7627133
23
12.2
17.9
1139
0.58237
0.3325132
24
13.5
3.36
16.8
0.92908
2.5726635
25
175
5.84
24.9
807
126
0.58238
0.3325558
26
113
626
0.89729
2.1674353
50.5
11.6
6.3
608
139
0.85758
1.7953126
28
78.6
14.6
421
464
1.01355
29
3.27
8.17
622
0.86965
1.8978274
178
28.8
32.4
992
0.82405
1.5440012
31
0.21972
-1.267284
32
13.9
29.8
1285
330
0.56213
0.249811
33
0.44809
-0.208407
34
394
0.33102
-0.703586
35
0.1835
-1.492832
36
94.5
-0.0908
237
0.28753
-0.907415
38
72.5
0.59789
0.3966623
39
899
0.71224
0.9062911
322
6747
810
-0.1788
41
308
0.01314
-4.318733
42
373
0.15179
-1.720637
43
8.1
62.8
1233
649
0.51287
0.051476
44
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