热力学统计题型统计答案Word下载.docx
- 文档编号:21847328
- 上传时间:2023-02-01
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:134.23KB
热力学统计题型统计答案Word下载.docx
《热力学统计题型统计答案Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《热力学统计题型统计答案Word下载.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
2L
Dd
1
m2
d.
(2)
极端6.4在极端相对论情形下,粒子的能量动量关系为
cp.
试求在体积V内,在到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:
式(6.2.16)已给出在体积V内,动量大小在p到pdp范围内三维自由粒子可能的状态数为
1)
将极端相对论粒子的能量动量关系
代入,可得在体积V内,在到
cp
d的能量范围内,极端相对论粒子
D
d
4πV2
3d
ch
二维6.3试证明,对于二维的自由粒子,在面积L2内,在到d的能量范围内,量子态数为
根据式(6.2.14),二维自由粒子在空间体积元dxdydpxdpy内的量子态数为
2dxdydpxdpy.
不考虑具体系统,则共有两种分布方式:
D1
301;
D2220
5分
p
分三种情况来讨论:
a)M-B;
b)B-E;
c)F-D分布。
a)对于遵从M-B分布的粒子,可分辨,每个量子态上容纳的粒子数不限:
b)对于遵从B-E分布的粒子,不可分辨,每个量子态上容纳的粒子数不限:
D1:
(321)!
(131)!
4!
12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
13!
(21)!
(31)!
2!
12
D2:
(221)!
(231)!
3!
4!
18⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
22!
2!
2318
c)对于遵从F-D分布的粒子,不可分辨,每个量子态上容纳的粒子数服从泡利原理,故D1
不可能:
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
一、玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的性质玻耳兹曼系统:
可分辨的全同近独立粒子组成的系统。
处在一个个体量子态上的粒子数不受限制。
玻色系统:
玻色子组成的系统。
粒子不可分辨,每一个体量子态上的粒子数不受限制。
费米系统:
费米子组成的系统。
粒子不可分辨,每一个体量子态上最多只能容纳一个粒子。
二、写出玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布,并说明这三种分布的关系
all,all,all,在经典极限条件下,玻色分布与费lellel1lel1
米分布都趋向于玻耳兹曼分布。
三、光子气体的特点,并说明为什么平衡状态下光子气体的化学势为零光子是玻色子,达到平衡后遵从玻色分布。
由于窖壁不断发射和吸收光子,光子气体中光子数是不守恒的。
在导出玻色分布时只存在E是常数的条件而不存在N是常数的条
四、能量均分定理
处在温度为T的平衡态的经典系统,粒子能量中每一个平方项的平均值等于
1kT。
五、解释,为什么常温下原子内的电子对气体热容量的贡献可忽略?
原子内电子激发态与基态能量大体是1-10eV,相应的特征温度为104-105K,能量差如此之大,在一般温度下,热运动难以使电子取得足够的能量而跃迁到激发态,因此电子冻结在基态,对热容量没有贡献。
六、解释,常温范围内为什么双原子分子的振动对热容量的贡献可忽略?
常温范围,双原子分子的振动能级间距远大于kT。
振子必须取得h的能量才有可能跃迁到激发态。
在常温下,振子取得h的热运动能量而跃迁的概率是极小的,因此平均而言,几乎全部振子都冻结在基态。
当气体温度升高时,它们也几乎不吸收能量,因些对热容量的贡献可忽略。
七、一级相变、二级相变一级相变:
相变点两相的化学势连续,但化学势的一级偏导数又突变;
、二级相变:
相变点两相的化学势和化学势的一级偏导数连续,但化学势的二级偏导数存在突变。
一、推导玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度。
据玻色分布,处在能级l的粒子数为:
al
l
由于粒子数不能取负值,这就要求所有能级l均有ekT1
以0表示粒子的最低能级,这个要求表示为:
0
若取最低能级为能量的零点,即00,则上式可表示为:
确定为温度T及粒子数密度n的函数。
注意l和l都与T无关,在n给定时,T
越小则要求越小。
如果将求和用积分代替,注意
化学势随温度的降低而升高,当温度降至某一临界温度TC时,μ将趋于-0。
这
时ekTC趋于1。
临界温度TC由下式给出:
8.18试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K时的费米能量、内能和简并压.(金属中的电子气体或强简并电子气体)
极端相对论条件下,粒子的能量动量关系为
根据习题6.4式
(2),在体积V内,在到d的能量范围内,极端相对论粒子的量子态数为
Dd8πV32d.
(1)
式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题6.4式
(2)的结果乘以因子2.
0K下自由电子气体的分布为
8πV
N3
ch30
028πV13
d30,ch33
故
3n3ch.
8
(3)
0K下电子气体的内能为
U
8πV03
3dch30
8πV1430ch4
3N
4
0.
(4)
1U
3V
根据习题7.2式(4),电子气体的压强为
8.19假设自由电子在二维平面上运动,面密度为n.试求0K时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.
根据6.3题式(4),在面积A内,在到d的能量范围内,二维自由电子的量子态数为
Dd42Amd.
(1)
h2
式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式(4)的结果乘以2.
0K下自由电子的分布为
1,0
0,
0K下二维自由电子气体的内能为
因此0K下二维自由电子气体的压强为
振动能级为:
振动配分函数为:
转动配分函数为:
12
sindpdpdd
2I
平动配分函数:
Z1tte13e2mdxdydzdpxdpydpzV(2m2)32
th3h
内能:
tt3N3
UNlnZ1NkT
122
热容:
Cv=dU/dT
熵:
SNklnZ1rlnZ1r
总的配分N函k数ln是相2hI2乘,1总的内能与热熔是相加。
7.11表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动,可以看作二维气体.试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布,并求平均
速率υ,最概然速率υm和方均根速率υs.(麦克斯韦)
解:
速度分布为
m22
m2kTυxυy
e2kTdυxdυy.
2kTxy
速率分布为
mυ
2me2kTυυdυ.
2kT
平均速率为
υm2kTυ2υ2υ
υeυdυ
kT0
kT.
速率平方的平均值为
υ
2kT.
m
m2υe2kT
υ3dυ
因此方均根速率为
υ22mkT.
最概然速率υm条件
dυ
mυ2
e2kTυ
确定.由此可得
7.18试求双原子分子理想气体的振动熵.
将双原子分子中原子的相对振动近似看作简谐振动表示振动的圆频率,振动能级为
n0,1,2,L
振动配分函数为
Z1v
lnZ1v
e
n0
1h
e2h
1e
4)
5)
以
ln1eh
双原子理想气体的熵为
Sv
Nk
lnZ1
1ln1eh
NkT
v
eT1
ln1eT
3)
其中vh是振动的特征温度.k
7.19对于双原子分子,常温下kT远大于转动的能级间距.试求双原子分子理想气体的转动熵.
在kT远大于转动能级间距的情形下,可以用经典近似求转动配分函数Z1r.根据式(7.5.23)(令其中的h0h),有
r121Ip2sin12p2
Z1r12e2Isindpdpdd
2I.
h2.
双原子分子理想气体的转动熵为
Nkln2I21
能。
(2)振动内能。
1)平动配分函数
因此平动内能
UtNlnZ1t3N3NkT(5分)
22
2)在一定近似下双原子分子中两原子的相对振动可以看成线性谐振子,振子
的能级为
n
(n
12),n
0,1,
2,
(2分)
振动配分函数
Z1V
(n12)
/2e
(e
)n
(2分)
由于e1,利用公式
x
2x
nx
1x
,(x
/2
则UVNlnZ1VN
[
ln(1e
)]
N2
N
e1
引入振动特征温度V,满足k
则内能可表述为
UV
V2Nk
V2VT
7.21证明能量均分定理。
pq
r
ai
i1
21r
pi22i1
2i1
biqi2
q(qr
1,
qr)
在ldp1dprdq1dqr的体积范围内,粒子质心平动的状态数为l1
rlrdp1dprdq1dqr
h0h0
在dp1dprdq1dqr的体积范围内粒子数为
ae
ah0re
h10re
dp1
dprdq1
dqr
Nrez1h0
能量表达式中任一平方项2aipi2的平均值
2ai
pi2
1rL
z1h0
12aipi2e
由于
12aipie
22aipi
dpi
12aipi2
2pie2
2aipi2
e2dpi
2aipie2dpi
则12aipi2
2z1h0r
dp1dprdq1
同理可证
12abip1i2q2112
11kT
12kT
二、求光子气体的内能、压强、熵
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 热力学 统计 题型 答案