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3.培养学生的好奇、好问、好动、好玩的好习惯。
(二)连环类玩具有三大特点:
1.挑战性。
任何一种连环的解法都具有较高的难度,有的难度极高,甚至令人觉得根本不可能解开。
因此解连环就具有强大的挑战性,强烈地吸引着人们的好奇心和征服欲。
2.规律性。
智力玩具都有其内在的规律,连环类玩具的规律性则特别强,必须按照特定的程序,有条不紊地操作,才能最终解开。
3.趣味性。
伴随着挑战性和规律性而来的是趣味性。
苏霍姆林斯基说:
“在人的心灵深处,都有一种根深蒂固的需要,这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。
而在儿童的精神世界中,这种需要则特别强烈。
”因此,人们对智力玩具具有天生的爱好,都想探索它、研究它、发现其中的奥妙,儿童更是如此。
挑战性越强就越能吸引人,发现规律的过程往往令人心醉神迷。
(三)九连环的妙用
1.当作门锁
法国人早就把九连环用来代替锁,以防盗贼;
英国人则最早于18世纪,用于农舍防盗。
2.应用于魔术表演
魔术表演中,经常能看到环环相扣、美轮美奂的表演。
图4魔术表演
3.留客
古时候商人们都称“九连环”为“留客计”。
因为九连环游戏过程的长时间性,所以被古人经常用作留住客人的手段。
第二课九连环
(二)
一、九连环的具体组成与结构
九连环由两部分组成,一部分称作“钗”(杆、柄都可
),
另一部分主要是由九个环构成的,如下图。
这九个环,按照从左到右依次称为第一个到第九个环,或1号环到9号环。
最靠近钗把的那个环叫9号环。
每个环上都又套着一个带环杆的小环,1号环的环杆穿过2号环,2号环的环杆穿过3号环,……环杆的另一端通过底板,实际上被连接在一起,从而使9个圆环形成叠错扣连的关系。
九连环的奥妙就是由它的这种结构引起的。
钗
1环2环3环4环5环6环7环8环9环
环底板
图5
环与环杆环杆与底板
图6
图7
二、九连环的基本结构认识
按照和钗的关系,每个环都有两个状态:
在钗上或在钗下,简称在上和在下。
图8中的九个环都在钗上,而图9中的九个环都在钗下。
我们用九个数字表示九个环的状态,0表示在钗下,1表示在钗上。
如001100010表示从左到右第3,4,8三个环状钗上,其余的环在钗下。
图8九个环都在钗上,表示为111111111
图9九个环都在钗下,表示为000000000
所谓玩九连环,或者说解九连环,就是把原来不在钗上的环套在钗上,我们称为某环“上去”或者“上”某环;
或者相反,使原来在钗上的环不再在钗上,我们称为某环“下来”,或者“下”某环。
一般玩九连环,就是当九个环都不在钗上时,把九个环都上上去;
或者当九个环都在钗上时,把它们都下下来,也就是从在状态000000000到状态111111111,或者相反。
当然,也可以有其他过程,即从某一个状态到另一个状态。
玩九连环,习惯左手拿环的部分,右手拿钗,如图10。
图10
玩九连环,右手在反复往返动作,而左手手指在不停的做着把环套上或卸下的动作,正是活动左手的运动。
大家都知道,活动左手可以开发右脑,这也是的九连环的一个作用。
三、九连环的四个规则
试着玩几下,就可以发现九连环有三个基本动作,其中只改变一个环的状态的(每次只能把一个环上或者下)有以下两个动作:
1.基本动作①.
任何时候可以改变1号环的状态,即:
当1号环在上的时候,可以下1号环;
当1号环在下的时候,可以上1号环。
注意这两个动作只能进行其一。
下面几图表示了这个动作。
开始状况000000000
1号环上升
把1号环从钗中间向上穿过
钗稍后移,1号环向下倾斜
使钗从1号环中穿过
至此,1号环上去了,状态变为100000000。
如果是反过来进行,就是下1号环。
我们把上或下1号环都称作动作P。
2.基本动作②.
可以改变”第一个在上的环”的下一个环(指右边的一个环,如果右边没有环,当然不能做此动作)的状态。
注意这里“第一个在上的环”并不是“1号环”。
例如,当仅有1号环在上时即状态100000000,这1号环就是第一个在上的环,可以改变它右面即2号环的状态:
原来在上可以下,原来在下可以上。
又如当仅有5号环和8号环在上时即状态000010010,第一个在上的环就是5号环,此时可以改变6号环的状态:
操作方法如下图。
状态000010010,即仅有5号和8号环在上
6号环升高,从拆中穿过
6号环降低,钗前移穿过5,6号环
至此,6号环上去了,状态变为000011010。
当然,如果是反过来进行,就是下这第二个在上的环。
我们把上或下第二个在上的环都称作动作Q。
注意,所有环都在下的状态000000000,或者仅有最后一个环(第九个环)在上的状态000000001,是不能做动作Q的,因为前者没有第一个在上的环,后者第一个在上的环右面没有环了。
其他状态都可以做这个动作。
同时改变两个环的状态,仅有一个动作:
3.简化动作
1号2号环状态相同时可以同时改变状态,即当1号2号环都在上时可以一次操作同时下来;
当1号2号环都在下时可以一次操作同时上去。
操作与仅1号环上或下相似,见下面图示。
状态000000000
第1,2号环上升由钗中穿过
钗后移
第1,2号环向下倾斜,钗从中穿过,成为状态110000000
同时上或下1号2号环称作动作R。
当然,如果1,2号环有一个在上而另一个在下,不能进行动作R。
这样,任何状态都可以进行动作P;
除了状态000000000和000000001外,都可进行动作Q;
状态00*******或11*******可以进行动作R。
九连环只有这三个基本动作可以一次进行,其他动作都是相继进行这三个动作。
有一个重要的限制。
每种动作如果连续进行两次,例如PP,那就是刚上了1号环,又下1号环;
或者刚下了1号环,又上1号环。
又如QQ,那就是刚上了第二个在上的环,紧跟着又下这个环;
或者是刚下了第二个在上的环,紧跟着又上这个环。
再如RR,是刚下了第1,2号环,又上这两个环;
或者刚上了第1,2号环,又下这两个环。
这都是刚刚向目标前进了一步,又原路后退一步,白费了功夫,而九连环的状态没有改变。
反之,只要不连续做同一个动作,就不会原路退回。
因此,在实际玩九连环时,应该规定:
4.不重复规则
动作P、Q、R都不可连续重复做两次。
以上四点,就是九连环的玩法的全部依据,可以称为四个规则。
第三课九连环(三)
九连环的解法
掌握了九连环的基本原则以后,我们可以学习九连环的解法了。
为此,我们先看一个各环上、下的可能性。
对于1号环,由于没有别的环的环杆约束它,所以可以自由上下,这是没有疑问的。
对于2号环,由于1号环的环杆从其中穿过,受到约束,所以它可以同1号环“随动”,即随同1号环一起上下。
如果2号环要单独下,则1号环必须留在钗上,否则的话,由于1号环的杆是穿过2号环的,而1号环已经从钗上脱下,它的环杆已在钗外,这将阻止2号环在左移过柄钗后返回,重新从两根横杆中间落下,也就是说无法下环。
因此2号环单独下的必要条件是1号环留在柄钗上。
至于上2号环时,1号环在钗上还是钗下均可,1号环在钗下时由于1号环的环杆是穿过2号环的,在2号环上时,将连带着把1号环也带到内侧横杠上方“浮”着,只要把它推过钗端即可。
对于3号环的下,我们看到,若1,2号环同时在钗上,则1号环的环杆将阻止3号环左移过柄钗,而若1,2号环均在钗下,则2号环的环杆将阻止3号环左移过柄钗从两个横杠中落下,都是无法实现的,因此,只有当1号环在钗下,而2号环在钗上是,3号环才能下。
反之亦然。
往下,
对4号环、5号环……的上下,就都同3号环类似了,也就是,只有当它前面紧邻的一个环在钗上,再前面的所有环都在柄下时,这个环才有可能上下。
用数学方法表达的话,其规则是:
如果只有n号环在钗上,则n+1号环就可以从钗上取下或装上。
因此,如果想要取下9号环,则8号环必须在钗上,而1-7号环又都必须在钗下;
如果取下7号环,则6号环必须在钗上,而小于6号的环都应先取下;
如果取下5号环,则4号环必须在钗上而先要将1-3号环取下……这样,在玩九连环时要把9个环都从钗上取下,第一步应取下1号环,而不可将1、2号环同时取下。
总结:
九连环的每个环互相制约,只有第一环能够自由上下。
要想下/上第n个环,就必须满足两个条件(第一个环除外):
(一)第n-1个环在架上;
(二)n-1个环前面的环全部不在架上。
一句话概括:
后一个环要上或下,则前面要有且只有与它相邻的那个环。
解法的本质:
解n连环,就是先解一个n-2连环,再解最后一个环,再上n-2连环,再解n-1连环;
每一个环的上法:
从杆的中间上穿并从手柄的顶端套入;
每一个环的下法:
从杆的顶端解套并从手柄的中间下放。
下面,给出取下九连环的全过程。
其中12上、12下指的是1号环和2号环同时上下,这算一步。
基本练习
(一)
第1环:
自由上下(1上1下)
1~2环:
同上同下(12上12下)
基本练习
(二)
1~3环下法:
1下3下1上12下
基本练习(三)
1~3环上法:
12上1下3上12上
问题与思考:
12环在上,3能否拿下?
12环在下,3能否上去?
3在什么情况下可以自由上下?
回答:
3的前面有且只有2时,才能自由上下。
结论:
后一个环要上或下,则前面要有且只有与它相邻的那个环。
基本练习(四)
1~4环下法:
12下4下12上1下3下1上12下
基本练习(五)
1~4环上法:
12上1下3上1上12下4上12上
归纳与总结:
1~4环下环全部过程:
(一)12环下,4环下。
(二)12环上,1~3环下。
1~4环上环全部过程:
(一)1~3环上,12环下。
(二)4环上,12环上。
4的前面有且只有3时,才能自由上下。
基本练习(六)
1~5环下法:
1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下4下12上1下3下1上12下
基本练习(七)
1~5环上法:
12上1下3上1上12下4上12上1下3下1上12下5上12上1下3上12上
1~5环下环全部过程:
(一)1~3环下,5环下。
(二)1~3环上,1~4环下。
1~5环上环全部过程:
(一)1~4环上,1~3环下,5环上。
(二)1~3环上。
5的前面有且只有4时,才能自由上下
五、比一比赛一赛
(一)看谁先完成1~5环的下环过程
(二)看谁先完成1~5环的上环过程
六、挑战
看谁最快能达到以下状态:
(一)1、3、5在下,2、4在上。
(二)1、3、5在上,2、4在下。
(三)1、2、4在上,3、5在下。
(四)1、2、4在下,3、5在上。
第四课九连环(四)
一、复习与巩固
复习与巩固
(一)
1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下4下12上1下3下1上12下
复习与巩固
(二)
复习与巩固(三)
5的前面有且只有4时,才能自由上下。
二、基本练习
基本练习
(一)
下1-7环过程:
(一)1~5环下,7环下。
(二)1~5环上,1~6环下
基本练习
(二)
上1-7环过程:
(一)1~6环上,1~5环下,7环上。
(二)1~5环上。
归纳与总结
1~7环下环全部过程:
(二)1~5环上,1~6环下。
1~7环上环全部过程:
7的前面有且只有6时,才能自由上下。
三、比一比赛一赛
(一)看谁先完成1~7环的下环过程
(二)看谁先完成1~7环的上环过程
四、问题与思考
思考:
当环的总数是奇数时,要全部上下应如何操作?
奇数个环时,应依次取下最前面的奇数环。
例:
要下7连环应先下1、3、5环。
当环的总数是偶数时,要全部上下应如何操作?
偶数个环时,应依次取下最前面的偶数环。
要下6连环应先下2、4环。
五、比一比赛一赛
(一)看谁先完成1~6环的下环过程
(二)看谁先完成1~6环的上环过程
六、挑战
(一)1、3、5、7在下,2、4、6在上。
(二)3、5、7在上,2、4、6在下。
(三)1、4、7在下,2、3、5、6在上。
(四)1、4、7在上,2、3、5、6在下。
第五课九连环(五)
复习与巩固(三)——归纳与总结:
1~5环下环全部过程:
5的前面有且只有4时,才能自由上下。
复习与巩固(四)
复习与巩固(五)
复习与巩固(六)——归纳与总结:
下1-9环过程:
(一)1~7环下,9环下。
(二)1~7环上,1~8环下。
上1-9环过程:
(一)1~8环上,1~7环下,9环上。
(二)1~7环上。
1~9环下环全部过程:
(二)1~7环上,1~8环下
1~9环上环全部过程:
9的前面有且只有8时,才能自由上下。
(一)看谁先完成1~9环的下环过程
(二)看谁先完成1~9环的上环过程
要下7连环应先下1、3、5、7环。
要下6连环应先下2、4、6环。
四、比一比赛一赛
(一)要全解开或全套上,下一步分别是什么?
(二)要全解开或全套上,下一步分别是什么?
五、挑战
(一)2、4、6、8在下,1、3、5、7、9在上。
(二)2、4、6、8在上,1、3、5、7、9在下。
(三)1、2、3、4、5在上,6、7、8、9在下。
(四)2、4、5、7、8在下,1、3、6、9在下。
(五)2、4、7在下,1、3、5、6、8、9在上。
第六课九连环(六)
给出取下九连环的全过程。
下1,(1号环下)
下3,上1下12(2,3号环下)
下5,上12下1上3上1下12下4上12下1下3上1下12(4,5环下)
下7,上12下1上3上1下12上4上12下1下3上1下12上5上12下1上3上1下12下4上12下1下3上1下12下6上12下1上3上1下12上4上12下1下3上1下12下5上12下1上3
上1下12下4上12下1下3上1下12(6,7号环下)
下9,上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、
上1下12上5、上12下1上3、上1下12下4、上12
下1下3、上1下12上6上12下1上3、上1下12
上4、上12下1下3、上1下12下5、上12下1上3、
上1下12下4、上12下1下3、上1下12上7、上12
下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12
上5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12下6、上12下1上3、上1下12上4、上12
下1下3、上1下12下5、上12下1上3、上1下12
下4、上12下1下3、上1下12(至此钗上剩7,8号环)
下8上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、
上1下12上5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12上6上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12下5、上12下1上3、
上1下12下4、上12下1下3、上1下12(至此钗上剩6,7号环)
下7,上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、
上1下12上5、上12下1上3、上1下12下4、上12
下1下3、上1下12(至此钗上剩5,6号环)
下6上12下1上3上1下12上4上12下1下3、
上1下12(至此钗上剩4,5号环)
下5上12下1上3上1下12(至此钗上剩3,4号环)
下4,上12下1(至此钗上剩2,3号环)
下3,上1(至此钗上剩1,2号环)
下21。
(结束,9个环全部解下)
把9个环都装上去的过程
上12下1上3,上1下12上4,上12下1下3、上1下12上5,
上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12上6,
上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12下5、
上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12上7,
上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12上5、
上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12下6、
上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12上8,
上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12上6、
上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12下7、
上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12上9,
上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12上5,
上12下1上3,上1。
分组练习下九连环与上九连环,练习速度。
第七课九连环(七)
九连环中的数学
解一连环需要1步,解二连环需要2步,由此可知,解三连环需要5步,解四连环需要10步,解五连环需要21步,解六连环需要42步,解七连环需要85步,解八连环需要170步,解九连环需要341步,解十连环需要682步……以此类推。
九连环中的数学——九连环与N次方
进一步的研究可以发现,传统的算法是341步,但如果把前两个环同时拆装看做一步,则解下全部九个环需要256步。
一个环的拆装需1步,三个环需4步,五个环需16步,7个环需64步,而九连环恰好达到需256步;
即每增加两个环步数呈4倍增长。
我们看看奇数个环时对应的规律:
一个环
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