对概念的理解应成为教学设计工作的核心Word文件下载.docx
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而目标是否清晰又可以看作是影响本节课成败的直接因素.只有对核心概念和思想方法的内涵和外延,以及它们的发展历史有着深入的理解,才能挖掘其中蕴涵的思想性,从而对教学目标作出清晰而具体的界定.反之,对内容理解的不到位,很难对目标进行具体的细化.例如在《算法的概念》教学设计中“要求了解算法的含义”,这是课程标准的要求,是中学数学对算法的总体要求.对算法概念起始课而言,目标太过笼统,不好操作,这是对“算法”这一核心概念没有深入理解所造成的.
“在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在,算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题.”算法概念中的范围限定词“在数学中”,这可以看作是概念的外延,表明学习的内容均为数学中的问题;
而基本特征词“步骤”揭示了算法的顺序性;
“按照一定规则”指的是解决具体问题时的依据和表达方式,关注的是算法的基本逻辑结构;
“解决某一类问题”,强调的是算法的研究价值以及它的普遍适用性,也表明特殊问题的解题与一般问题的算法,存在联系又有区别.“明确和有限”,表示算法的每一步都是明确的、可执行的,总的步骤是有限的.
由此可见,算法的内涵与外延相当丰富,因而一节课根本不可能“了解算法的含义”,只能部分了解,分层次了解,通过本章的学习螺旋上升式了解.比如本节课只要求“通过具体的实例,了解算法的顺序性和有限性.”而对“明确性和有效性”和“按照一定规则”以及算法的基本逻辑结构放在后面几节课了解,而且,不能“进行多个算法的比较.”
基于上述分析,本节课的教学目标可以具体化:
(1)在解特殊二次一次方程组、一般二元一次方程组的解法的过程中,理解算法是“步骤”──即有序性;
(2)从解特殊的二元一次方程组到一般二元一次方程组的解法的过程中,理解算法是解决“一类”问题而非“一道”问题,──即普遍性;
(3)在判定7,35和整数n(n>
1)是否为质数的过程中,学习算法的自然语言表示.(注意:
不要出现“
”这样的赋值语句.)
(4)在用二分法求方程一个近似解的算法的过程中,体会算法自然语言描述形成的过程,会初步用自然语言描述算法.
二、对概念的理解有利于教学问题的诊断.
数学学习过程只能按照时间先后顺序,但数学理解却是非线性的.在理解过程中涉及到两个方面的建构,一是处理新旧知识的联系,产生一个新旧知识的特定概念关系;
二是组织起相应的关系结构,以利于新知识的存储和回忆.
在《算法的概念》教学中,算法是解决一般(一类)问题的,即不进入到一般问题的层面就得不到算法,而一般问题往往远离学生原有的基础,从“一道”题的解法过度到“一类”题的解法,在理解上有一定的跳跃性,学生所需知识准备,即对新知识的依托比较薄弱,会产生学习困难,而且“解法”又干扰对“算法”的理解,因此,这是本节课的教学难点之一.因而需要通过搭建解决特殊问题这一台阶,帮助学生进入一般问题.从而“写出具体的二元一次方程的解的步骤,如果每一个方程都要这样写有点劳民伤财,即使编制成程序也毫无意义,因而必须寻求一般方程的解法.”可以看作是从具体到一般的内在逻辑动力.
结论:
对数学内容的深入理解能准确估计教学难点所在,从而作出正确的教学诊断.这也是教学设计的意义所在.
三、对概念的理解有利于教学情境的创设
数学课上的情境创设应该为学生学习数学服务,应该让学生用数学的眼光关注情境,应该为数学知识和技能的学习提供支撑,为数学思维的发展提供土壤.当前在教学设计上有一种误区,那就是“为了情境而情境”,还美其名曰“体现新课程理念,激发学生兴趣.”在《算法的概念》教学设计中教师模仿中央电视台一档节目:
幸运52,猜教师的笔记本电脑价格,并对猜中的同学奖励一本书,耗时7、8分钟.我们不禁要问:
情境创设到底为哪般?
这样的情境创设,若放在“二分法”起始课还是比较合适,放在算法起始课,虽然气氛之热烈是空前的,可对理解算法无任何实质性帮助,而且课浪费了许多时间,使得后面教学任务完不成.
其实教材的章头图若能充分挖掘,是很有价值的:
章头图中的后景取自宋朝数学家朱世杰的数学作品《四元玉鉴》,前景后部是盛行一时的计算工具——有算筹、算盘.教学中可以介绍中国古代数学一度领先世界,蕴涵了丰富的算法思想.
章头图的前景前部是一台计算机,这可谓20世纪最伟大的发明,而算法是计算机科学的重要基础,随着社会的发展,算法在科学技术、社会发展中发挥越来越大的作用.
进而指出算法对我们并不陌生,接下来可以举些例子引出算法的概念.
四、对概念的理解有利于对例、习题的选取.
例题、习题的设计与安排是为了巩固概念,加深对内容的理解,在概念引出后安排几个题目巩固概念是必须的.但例题的安排要防止两种倾向,一是与当前内容的脱节,二是防止题目太难,太技巧化.在算法概念教学设计中,从具体的和一般的二元一次方程组引出算法的概念后,安排例1“写出交换两个大小相同的杯子中的液体(A水、B酒)的一个算法”这样的例题是不恰当的.因为,我们既然是在数学中讲算法,在概念揭示之后再安排这样的例题,可能使问题泛化.再如例2“关于求
二分法的算法”,设计偏难,太过技巧化,因为这一节课不是讲二分法,而是借助二分法这一个载体来理解算法的含义,体会(本节课仅要求体会,不必深挖)条件分支的基本逻辑结构.从课堂学生反馈来看,大部分学生不能正确作答,因为部分学生对此题的用二分法求解有所遗忘,在教师讲解此题时学生的注意力在二分法,而不是“体会其中的算法”.
一般来说,例习题的选取应该考虑这几个问题:
(1)是否与当前内容有关?
这是最关键的,有些题目学生不会不是因为当前内容不懂,而是因为前面知识的遗忘或其它的原因.这不仅会妨碍教学的流畅,而且会挫伤学生的学习热情;
(2)是否理解概念还是有其他的技巧?
应以理解概念为主,如果还有其他的技巧建议放在习题课解决;
(3)是否可以改成其他的题目?
一般认为只要说明问题,题目选择越简单越好.
结论:
(1)例题1交换杯子问题应略去;
(2)例题2求二分法的算法中方程简单一些比较好,可以该成
.
五、认真钻研教材能够加深对核心概念的理解.
新课程强调“用教材教,而不是教教材”这种理念是对的,但我认为这有一个过程,在现阶段对教材的研究仍应为教师的一个基本功.在2007年2月在浙江省新课程骨干教师培训上做的一个调查也说明了这一点,99%的教师手头有《课标》,而只有6.4%的教师对《课标》非常了解,显然,对《课程标准》还有待进一步学习,因而“教教材”依然是当前主流.
对教材的深入挖掘不仅能深入理解概念的内涵和外延,而且可以最大限度的发挥它的价值.例如教材例题1:
设计一个算法,判断7是否为质数.能否设计一个算法,判断35是不是质数?
我们可以从以下作一点思考:
(1)为什么选择这两个具体整数?
──使学生体会如何用自然语言写算法步骤,并由此发现,尽管这两个整数的算法步骤不一致,但隐含的本质是一样的.
(2)在判断7是否为质数时,总共有5个步骤,每一步写法基本相同,为什么书上还是不厌其繁的一步一步的去写?
学生在学习过程中可能怎样操作?
──如果放手让学生自己去写,学生可能只写出一两步,下面几步可能用“同理”,也可能用“…”代替,这是理解“确定性”的好素材.由于“……”的不确定性,计算机执行不了,与算法的“明确性”相悖,因而不能表示一个算法.也就是说“……”是探究后面问题的动力之源.
(3)如何利用此题理解算法含义?
──由具体整数到n,体现由“一道”到“一类”题的飞跃;
学生书写过程中的“……”可以说明算法应该有“确定性”;
以及步骤的有序性等.
(4)在要求上控制到何种难度?
──不要在“优化”算法上做文章;
不要出现“i=i+1”这样赋值语句.
下面给出对此例题处理的一种方式:
例题
写出判断7是否为质数的步骤.
问题1
什么是质数?
(引导学生回忆质数概念)
问题2
如何判断一个数是不是质数?
(有些学生可能将简单问题复杂化,想到有什么技巧方法?
)
问题3
如何把判断过程的基本步骤有条理的写出来?
给学生写出判断过程的时间,请学生完成.教师展示学生书写.可能出现的情况有:
“同理”;
“……”这些是说明算法明确性的好素材.
问题4
把7改成35,再写出判断过程的基本步骤,两个解法有何相同之处?
有何不同之处?
问题5
把35改成37呢?
(促使学生不愿写,这是寻找一般方法的动力之源)
问题6
这些步骤每步在形式上有什么特点?
(重复)
问题7
任意给定一个大于2的整数n,能否设计一个算法对n是否为质数做出判断?
问题8
你是如何理解算法的?
算法有些什么特点?
本文是“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题成果.
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