高中数学第一单元常用逻辑用语疑难规律方法教学案新人教B版选修1Word文档格式.docx
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∵原点O到直线3x+4y-12=0的距离
d=
=
,∴r的取值范围为0<
r≤
.
点评 若直接解的话,q是綈p的充分不必要条件即为x2+y2≤r2(r>
0)在p:
所对应的区域的外部,也是可以解决的.但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”,更好地体现了相应的数学思想方法.
2 判断条件四策略
1.应用定义
如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件.判断的关键是分清条件与结论.
例1 设集合M={x|x>
2},P={x|x<
3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的____________条件.
解析 条件p:
x∈M或x∈P;
结论q:
x∈P∩M.
若x∈M,则x不一定属于P,即x不一定属于P∩M,所以pD/⇒q;
若x∈P∩M,则x∈M且x∈P,所以q⇒p.
综上知,“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件.
答案 必要不充分
2.利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性,即若p⇒q,q⇒r,则p⇒r.
例2 如果A是B的必要不充分条件,B是C的充要条件,D是C的充分不必要条件,那么A是D的____________条件.
解析 依题意,有A⇐B⇔C⇐D且AD⇒/B⇔CD⇒/D,由命题的传递性可知D⇒A,但AD⇒/D.于是A是D的必要不充分条件.
3.利用集合
运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法.若p以非空集合A的形式出现,q以非空集合B的形式出现,则①若A⊆B,则p是q的充分条件;
②若B⊆A,则p是q的必要条件;
③若AB,则p是q的充分不必要条件;
④若BA,则p是q的必要不充分条件;
⑤若A=B,则p是q的充要条件.
例3 已知p:
x2-8x-20≤0,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>
0),若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是________.
解析 设p、q分别对应集合P、Q,
则P={x|-2≤x≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m},
由题意知,p⇒q,但qD⇒/p.故PQ,
所以
解得m≥9.
即m的取值范围是[9,+∞).
答案 [9,+∞)
4.等价转化
由于互为逆否命题的两个命题同真同假,所以当由p推q较困难时,可利用等价转化,先判断由非q推非p,从而得到p⇒q.
例4 已知p:
x+y≠2,q:
x,y不都是1,则p是q的____________条件.
解析 因为p:
x≠1或y≠1,
所以綈p:
x+y=2,綈q:
x=1且y=1.
因为綈pD⇒/綈q,但綈q⇒綈p,
所以綈q是綈p的充分不必要条件,
即p是q的充分不必要条件.
答案 充分不必要
3 走出逻辑用语中的误区
误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题
例1 判断下列语句是不是命题,若是命题,判断其真假.
(1)x+2>
0;
(2)x2+2>
(3)A∩B=A∪B;
(4)A⊆A∪B.
错解
(1)、
(2)、(3)、(4)都不是命题.
剖析
(1)中含有未知数x,且x不定,所以x+2的值也不定,故无法判断x+2>
0是否成立,不能判断其真假,故
(1)不是命题;
(2)x虽为未知数,但x2≥0,所以x2+2≥2,故可判断x2+2>
0成立,故
(2)为真命题.
(3)若A=B,则A∩B=A∪B=A=B;
若AB,则A∩B=AA∪B=B.
由于A,B的关系未知,所以不能判断其真假,故(3)不是命题.
(4)A为A∪B的子集,故A⊆A∪B成立,故(4)为真命题.
正解
(2)、(4)是命题,且都为真命题.
误区2 原命题为真,其否命题必为假
例2 判断下列命题的否命题的真假:
(1)若a=0,则ab=0;
(2)若a2>
b2,则a>
b.
错解
(1)因为原命题为真命题,故其否命题是假命题;
(2)因为原命题为假命题,故其否命题为真命题.
剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系,否命题的真假不能根据原命题的真假来判断,应先写出命题的否命题,再判断.
正解
(1)否命题:
若a≠0,则ab≠0,是假命题;
(2)否命题:
若a2≤b2,则a≤b,是假命题.
误区3 搞不清谁是谁的条件
例3 使不等式x-3>
0成立的一个充分不必要条件是( )
A.x>
3B.x>
4
C.x>
2D.x∈{1,2,3}
错解 由不等式x-3>
0成立,
得x>
3,显然x>
3⇒x>
2,
又x>
2D⇒/x>
3,因此选C.
剖析 若p的一个充分不必要条件是q,则q⇒p,pD⇒/q.本题要求使不等式x-3>
0成立的一个充分不必要条件,又x>
4⇒x-3>
0,而x-3>
0D⇒/x>
4,所以使不等式x-3>
0成立的一个充分不必要条件为x>
4.
正解 B
误区4 考虑问题不周
例4 如果a,b,c∈R,那么“b2>
4ac”是“方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
错解 判别式Δ=b2-4ac>
0,即方程ax2+bx+c=0有两个不等实根;
若方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,则判别式Δ=b2-4ac>
0,即b2>
4ac.综上可知“b2>
4ac”是“方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”的充要条件,故选C.
剖析 判别式Δ=b2-4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断.对于方程ax2+bx+c=0,当a=0时,原方程为一次方程bx+c=0(b≠0),一次方程不存在判别式,所以当b2>
4ac时不能推出方程ax2+bx+c=0有两个不等实根;
若方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,则它的判别式Δ=b2-4ac>
4ac.由上可知,“b2>
4ac”是“方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”的必要不充分条件.
误区5 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例5
(1)已知p:
方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11;
q:
方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2,试写出“p∨q”;
(2)p:
四条边相等的四边形是正方形;
四个角相等的四边形是正方形,试写出“p∧q”.
错解
(1)p∨q:
方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或x=2.
(2)p∧q:
四条边相等且四个角相等的四边形是正方形.
剖析
(1)
(2)两题中p,q都是假命题,所以“p∨q”,“p∧q”也都应是假命题.而上述解答中写出的两命题却都是真命题.错误原因:
(1)只联结了两个命题的结论;
(2)只联结了两个命题的条件.
正解
(1)p∨q:
方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2.
四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形.
误区6 不能正确否定结论
例6 p:
方程x2-5x+6=0有两个相等的实数根,试写出“綈p”.
错解 綈p:
方程x2-5x+6=0有两个不相等的实数根.
剖析 命题p的结论:
“有两个相等的实数根”,所以“綈p”应否定“有”,而不能否定“相等”.
正解 綈p:
方程x2-5x+6=0没有两个相等的实数根.
误区7 对含有一个量词的命题否定不完全
例7 已知命题p:
存在一个实数x0,使得x
-x0-2<
0,写出綈p.
错解一 綈p:
-x0-2≥0.
错解二 綈p:
对任意的实数x,都有x2-x-2<
0.
剖析 该命题是存在性命题,其否定是全称命题,但错解一中得到的綈p仍是存在性命题,显然只对结论进行了否定,而没有对存在量词进行否定;
错解二中只对存在量词进行了否定,而没有对结论进行否定.
对任意的实数x,都有x2-x-2≥0.
误区8 忽略了隐含的量词
例8 写出下列命题的否定:
(1)不相交的两条直线是平行直线;
(2)奇函数的图象关于y轴对称.
错解
(1)不相交的两条直线不是平行直线;
(2)奇函数的图象不关于y轴对称.
剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题.对于一些量词不明显或不含有量词,但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题,要特别引起注意.
正解
(1)存在不相交的两条直线不是平行直线;
(2)存在一个奇函数的图象不关于y轴对称.
4 解“逻辑”问题需强化的三意识
1.转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假,因此,当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时,可以转化为逆否命题的真假来判断或证明.
例1 证明:
若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1.
分析 本题直接证明原命题是真命题,显然不太容易,可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题.
证明 命题“若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1”的逆否命题是“若a-b=1,则a2-b2+2a-4b-3=0”.由a-b=1得a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3=a-b-1=0.∵原命题的逆否命题是真命题,∴原命题也是真命题.故若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1.
例2 已知p:
x2-8x-20>
0,q:
x2-2x+1-a2>
0,若p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围.
分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系,进而转化为集合运算问题.
解 解不等式x2-8x-20>
0,
得p:
A={x|x>
10或x<
-2};
解不等式x2-2x+1-a2>
得q:
B={x|x>
1+a或x<
1-a,a>
0}.
依题意p⇒q,但qD⇒/p,说明AB.
于是有
,解得0<
a≤3.
所以正实数a的取值范围是(0,3].
2.简化意识
判断命题真假的关键:
一是识别命题的构成形式;
二是分别将各命题简化,对等价的简化命题进行判断.
例3 已知命题p:
函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域为R,命题q:
函数y=-(5-2a)x是R上的减函数.若p或q为真命题,p且q为假命题,则实数a的取值范围是______________.
分析 先将命题p,q等价转化,再根据题意构建关于a的关系式,从而得到a的取值范围.
解析 函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域为R,即y=x2+2x+a的值域是(0,+∞),即在方程x2+2x+a=0中,Δ=4-4a≥0⇔a≤1,即p真⇔a≤1;
函数y=-(5-2a)x是减函数⇔5-2a>
1⇔a<
即q真⇔a<
2.
由p或q为真命题,p且q为假命题,知命题p,q中必有一真一假.若p真q假,则无解;
若p假q真,则1<
a<
故满足题意的实数a的取值范围是(1,2).
答案 (1,2)
点评 若命题“p或q”“p且q”中含有参数,求解时,可以先等价转化命题p,q,直至求出这两个命题为真时参数的取值范围,再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围.
3.反例意识
在“逻辑”中,经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断,若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行,这时可以通过举出恰当的反例来说明,这是一个简单有效的办法.
例4 设A,B为两个集合,则下列四个命题中真命题的序号是________.
①A⊈B⇔对任意x∈A,都有x∉B;
②A⊈B⇔A∩B=∅;
③A⊈B⇔B⊈A;
④A⊈B⇔存在x∈A,使得x∉B.
分析 画出表示A⃘B的Venn图进行判断.
解析 画出Venn图,如图1所示,则A⃘B⇔存在x∈A,使得x∈B,故①②是假命题,④是真命题.
A⃘B⇒B⃘A不成立的反例如图2所示.同理可得B⃘A⇒A⃘B不成立.故③是假命题.
综上知,真命题的序号是④.
答案 ④
2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语章末复习课教学案新人教B版选修1-1
学习目标 1.理解命题及四种命题的概念,掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念,掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义,会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、存在性命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定.
知识点一 全称命题与存在性命题
1.全称命题与存在性命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出反例.
(2)判断存在性命题为真命题,需要举出正例,而判断存在性命题为假命题时,要有严格的逻辑证明.
2.含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.否定时既要改写量词,又要否定结论.
知识点二 简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断
可以概括为口诀:
“p与綈p”一真一假,“p∨q”一真即真,“p∧q”一假就假.
p
q
綈p
p∨q
p∧q
真
假
知识点三 充分条件、必要条件的判断方法
1.直接利用定义判断:
即若p⇒q成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(条件与结论是相对的)
2.利用等价命题的关系判断:
p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p,即若綈q⇒綈p成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
3.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件
若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件
若A=B,则p,q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
其中p:
A={x|p(x)成立},q:
B={x|q(x)成立}.
知识点四 四种命题的关系
原命题与逆否命题为等价命题,逆命题与否命题为等价命题.
类型一 命题的关系及真假的判断
例1 将下列命题改写成“如果p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假.
(1)垂直于同一平面的两条直线平行;
(2)当mn<
0时,方程mx2-x+n=0有实数根.
反思与感悟
(1)四种命题的改写步骤
①确定原命题的条件和结论.
②逆命题:
把原命题的条件和结论交换.
否命题:
把原命题中条件和结论分别否定.
逆否命题:
把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论.
(2)命题真假的判断方法
跟踪训练1 下列四个结论:
①已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<
3”;
②命题“若x-sinx=0,则x=0”的逆命题为“若x≠0,则x-sinx≠0”;
③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假;
④若|C|>
0,则C>
其中正确结论的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
类型二 逻辑联结词与量词的综合应用
∃x∈R,mx2+2≤0.q:
∀x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2]D.[-1,1]
反思与感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系.其次要善于利用等价关系,如:
p真与綈p假等价,p假与綈p真等价,将问题转化,从而谋得最佳解决途径.
跟踪训练2 已知命题p:
方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;
只有一个实数x0满足不等式x
+2ax0+2a≤0.若命题“p或q”是假命题,求a的取值范围.
类型三 充分条件与必要条件
命题角度1 充分条件与必要条件的判断
例3
(1)设x∈R,则“x2-3x>
0”是“x>
4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知a,b是实数,则“a>
0且b>
0”是“a+b>
0且ab>
0”的( )
反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法:
直接判断若p则q,若q则p的真假.
(2)等价法:
利用A⇒B与綈B⇒綈A,B⇒A与綈A⇒綈B,A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:
若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;
若A=B,则A是B的充要条件.
跟踪训练3 使a>
b>
0成立的一个充分不必要条件是( )
A.a2>
b2>
0B.>
>
C.lna>
lnb>
0D.xa>
xb且x>
0.5
命题角度2 充分条件与必要条件的应用
例4 设命题p:
x2-5x+6≤0;
(x-m)(x-m-2)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件:
若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.
跟踪训练4 已知p:
2x2-9x+a<
2<
x<
3且綈q是綈p的必要条件,求实数a的取值范围.
1.已知命题p:
∀x>
0,总有(x+1)ex>
1,则綈p为( )
A.∃x≤0,使得(x+1)ex≤1
B.∃x>
0,使得(x+1)ex≤1
C.∀x>
0,总有(x+1)ex≤1
D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤1
2.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( )
3.“若x,y全为零,则xy=0”的否命题为______________.
4.已知命题p:
若x>
y,则-x<
-y;
y,则x2>
y2.在命题①p∧q;
②p∨q;
③p∧(綈q);
④(綈p)∨q中,真命题是________.
5.对任意x∈[-1,2],x2-a≥0恒成立,则实数a的取值范围是________.
1.否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题.
(2)命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法.若命题为“如果p,则q”,则该命题的否命题是“如果綈p,则綈q”;
命题的否定为“如果p,则綈q”.
2.四种命题的三种关系,互否关系,互逆关系,互为逆否关系,只有互为逆否关系的命题是等价命题.
3.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.
4.注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住,如:
“都是”的否定“不都是”,“全是”的否定“不全是”,“至少有一个”的否定“一个也没有”,“至多有一个”的否定“至少有两个”.
答案精析
问题导学
知识点四
如果p,则q 如果q,则p 如果綈p,则綈q 如果綈q,则綈p
题型探究
例1 解
(1)将命题写成“如果p,则q”的形式为:
如果两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行.
它的逆命题、否命题和逆否命题如下:
逆命题:
如果两条直线平行,则这两条直线垂直于同一个平面.(假)
如果两条直线不垂直于同一个平面,则这两条直线不平行.(假)
如果两条直线不平行,则这两条直线不垂直于同一个平面.(真)
(2)将命题写成“如果p,则q”的形式为:
如果mn<
0,则方程mx2-x+n=0有实数根.
如果方程mx2-x+n=0有实数根,则mn<
0.(假)
如果mn≥0,
则方程mx2-x+n=0没有实数根.(假)
如果方程mx2-x+n=0没有实数根,则mn≥0.(真)
跟踪训练1 B [正确的为①③.]
例2 A [因为p∨q为假命题,所以p和q都是假命题.
由p:
∃x∈R,mx2+2≤0为
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