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∴自变量是时间;
故选C.
例2:
在圆的周长公式C=2πr中,变量是________,________,常量是________.
根据函数的意义可知:
变量是改变的量,常量是不变的量,据此即可确定变量与常量.
∵在圆的周长公式C=2πr中,C与r是改变的,2π是不变的;
∴变量是C,r,常量是2π.
例3.下列各曲线中,不能表示y是x的函数的是( )
根据函数是一一对应的关系,给自变量一个值,有且只有一个函数值与其对应,就是函数,如果不是,则不是函数.
在A、B、D、选项的图上任意取一点,做垂直于x的直线,发现只有一个交点,故正确。
而C选项、很明显,不止一个交点,不是一一对应关系,所以不是函数,错误;
故选C
例4:
下列解析式中,y不是x的函数是( )
A.y+x=0
B.|y|=2x
C.y=|2x|
D.y=2x2+4
本题需利用函数的定义解决问题.
因为在|y|=2x中,若x=2,y就有2个值与其对应,所以y不是x的函数.
故选B.
例5:
下列函数中,与y=x表示同一个函数的是( )
函数y=x中,自变量x和函数值y均可取任意实数,判断两个函数是不是同一个函数,关键看它们的定义域和值域是不是一样。
依次分析四个选项,自变量和函数值均可取任意实数的为正确答案.
A、x不能为0;
B、y不能为负数;
C、y不能为负数;
D、正确.
故本题选D.
例6:
点(2,-1)在下列函数图象上的是( )
A.y=2x
B.y=x2-3
C.y=-x+1
D.y=2x-1
判断点在不在函数图象上,不需要画图,只需要把点的坐标带入函数关系式即可,如果等式成立,点就满足这个函数就在函数图象上,反之不在。
A、y=22=1≠-1,故本选项错误;
B、y=22-3=1≠-1,故本选项错误;
C、y=-2+1=-1,故本选项正确;
D、y=2×
2-1=3≠-1,故本选项错误.
故选:
C.
例7:
一长方形的周长为20厘米,则它的长x厘米与宽y厘米之间的关系是:
_________
根据长方形的另一边长=周长的一半-一边长,把相关数值代入即可求解.
∵长方形的周长是20厘米,一边长为x厘米,
∴长方形的另一边长=20/2-x=10-x,
∴它的长x厘米与宽y厘米之间的关系是:
y=10-x;
故填:
y=10-x.
根据分式、二次根式有意义的条件列出关于x的不等式,通过解不等式求得x的取值范围,然后将其表示在数轴上即可.
根据题意,得:
6-2x>0,
解得x<3;
在数轴上表示为:
例9:
(2012·
南充)在函数:
中,自变量x的取值范围是( )
A.x≠1/2
B.x≤1/2
C.x<1/2
D.x≥1/2
根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.
根据题意得,1-2x≥0且x-1/2≠0,
解得x≤1/2且x≠1/2,
所以x<1/2.
三、解题经验
本节重点是理解函数的概念,具体理解方法在“函数知识点整理”中有。
我们在判断图像是不是函数图像时的依据是“一一对应关系”。
判断点在不在函数图象上时,依据是直接把点带入到函数关系式中,如果等式成立则满足。
判断是不是表示同一个函数时,只需要判断定义域和值域,如果相同,则表示的是同一个函数。
变量与函数2
1、定义域:
x的取值范围。
常见的情况:
①:
根号下面的≥0;
②:
分母≠0;
③:
有指数时,底数≠0
2、值域:
y的取值范围。
一般情况下根据x的取值来判定。
求下列函数中自变量x的取值范围(定义域)
(1)函数关系中主要有二次根式.根据二次根式的意义,被开方数是非负数即可求解.
(2)根据分母不等于0列式计算即可得解.
(3)根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的范围.
(1)根据题意得:
2x-3≥0,
解得x≥3/2.
(2)根据题意得,x-2≠0,
解得x≠2.
(3)根据题意得:
2-x≥0且x-2≠0,
解得:
x≤2且x≠2,即x<2.
下图中,分别给出了变量x与y之间的对应关系,y不是x的函数的是( )
函数的意义反映在图象上简单的判断方法是:
做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点.
对于自变量x的任何值,y都有唯一的值与之相对应,所以D不正确.
故选D.
例3:
下列图象不表示y是x的函数的是( )
根据函数的定义可知:
对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应.做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点.由此很容易就能得出结论。
解:
根据函数的定义可知,只有B不能表示函数关系.
下面的表格列出了一个实验的统计数据,表示将皮球从高处落下时,弹跳高度b与下降高度d的关系,下面能表示这种关系的式子是( ):
A.b=d2
B.b=2d
C.b=d/2
D.b=d+25
这是一个用图表表示的函数,可以看出d是b的2倍,即可得关系式.
由统计数据可知:
d是b的2倍,
所以,b=d2
.
故本题选C.
求函数中自变量x的取值范围时,通常有这几种情况:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.
判断图像是不是函数图象的方法是:
做垂直x轴的直线在左右平移的过程中如果始终只有一个交点,那么就是函数图象,反之不是。
一次函数的定义
1、一次函数:
形如y=kx+b(k≠0,k,b为常数)的函数。
注意:
(1)要使y=kx+b是一次函数,必须k≠0。
如果k=0,则kx=0,y=kx+b就不是一次函数;
(2)当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数。
2、正比例函数:
形如y=kx(k为常数,且k≠0)的一次函数,那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数属于一次函数,但一次函数却不一定是正比例函数。
(2006?
武汉)下列函数:
①y=x;
②y=x/4;
③y=4/x;
④y=2x+1,其中一次函数的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可.注意:
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
①y=x是一次函数;
②y=x/4是一次函数;
③y=4/x,两边同时乘以x得到:
xy=4,是二次,故不是一次函数;
④y=2x+1是一次函数.
故选C.
函数y=(m-2)xn-1+n是一次函数,m,n应满足的条件是( )
A.m≠2且n=0
B.m=2且n=2
C.m≠2且n=2
D.m=2且n=0
根据一次函数的定义列出方程组解答即可.一次函数固然最高次项为1,并且x的系数不能为0,为0就没有未知数了。
∵函数y=(m-2)xn-1+n是一次函数,
∴{m-2≠0
{n-1=1
m≠2,n=2
一次函数y=-2x-1,当x=-5时,y=________,当y=-7时,x=________.
直接将x=-5和y=7分别代入解析式即可求解.
把x、y的值分别代入一次函数y=-2x-1,
当x=-5时,y=-2×
(-5)-1=9;
当y=-7时,-7=-2x-1,解得x=3.
故填9、3.
列说法正确的是( )
A.y=kx+b(k、b为任意常数)一定是一次函数
B.y=x/k(常数k≠0)不是正比例函数
C.正比例函数一定是一次函数
D.一次函数一定是正比例函数
根据一次函数和正比例函数的定义条件进行逐一分析即可.
A、y=kx+b(k、b为任意常数),当k=0时,不是一次函数,故本选项错误;
B、y=x/k(常数k≠0)是正比例函数,故本选项错误;
C、正比例函数一定是一次函数,故本选项正确;
D、一次函数不一定是正比例函数,故本选项错误.
本节知识点比较简单,理解了函数的概念后,很容易就能掌握一次函数的概念。
如果题目中明确告诉是一次函数,那么最高次数就必定为1,并且x的系数不为0.
一次函数的图像
1、图象的位置:
总结:
当k>0时,函数图象向上爬;
k<0时,函数图像向下滑。
当b>0时,函数图象交y轴上半轴;
b<0时,函数图象交y轴下半轴。
画出函数y=2x的图像。
根据画图步骤:
取点,描点,连线,三步就能画出函数图象,一般情况下取对称点,并且数字较小。
第一步:
取点,(一般情况下,取以0为中心的点)
第二步:
描点,(根据坐标知识准确标出上面取的点)
第三步:
连线,(用平滑的线连接起来)
(2011·
清远)一次函数y=x+2的图象大致是( )
根据一次函数y=x+2与x轴和y轴的交点,结合一次函数图象的性质便可得出答案.
一次函数y=x+2,当x=0时,y=2;
当y=0时,x=-2,
故一次函数y=x+2图象经过(0,2)(-2,0);
故根据排除法可知A选项正确.
故选A.
(2010·
贵阳)一次函数y=kx+b的图象如图所示,当y<0时,x的取值范围是( )
A.x>0
B.x<0
C.x>2
D.x<2
根据函数图象可知,此函数为减函数,图象与x轴的交点坐标为(2,0),由此可得出答案.
根据图象和数据可知,当y<0即直线在x轴下方时,x的取值范围是x>2.
y=kx+k的大致图象是( )
根据图象经过的象限确定k的取值范围,然后判断.
根据图象知:
A、k<0;
k>0.解集没有公共部分,所以不可能;
B、k>0;
k>0.解集有公共部分,但是k不一定为1;
C、k<0;
k<0.解集有公共部分,所以有可能;
D、k<0;
k=0.解集没有公共部分,所以不可能,
则符合题意的选项为C.
一次函数y=mx+2与正比例函数y=2mx(m为常数,且m≠0)在同一坐标系中的图象的是( )
因为m的符号不明确,所以应分两种情况讨论,找出符合任意条件的选项即可.
分两种情况:
1、当m>0时,一次函数y=mx+2经过第一、二、三象限;
正比例函数y=2mx过原点、第一、三象限,无选项符合;
2、当m<0时,一次函数y=mx+2经过第一、二、四象限;
正比例函数y=2mx过原点、第二、四象限,选项A符合.
________________________________________________________________________
下列表示一次函数y=mx-n与正比例函数y=mnx(m、n为常数,且mn≠0)图象中,一定不正确的是( )
根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可.
A、由一次函数的图象可知,m<0,-n>0,故n<0,mn>0;
由正比例函数的图象可知mn<0,两结论相矛盾,故本选项错误;
B、由一次函数的图象可知,m<0,-n>0,故n<0,mn>0;
由正比例函数的图象可知mn>0,两结论一致,故本选项正确;
C、由一次函数的图象可知,m>0,-n>0,故n<0,mn<0;
由正比例函数的图象可知mn<0,两结论一致,故本选项正确;
D、由一次函数的图象可知,m>0,-n<0,故n>0,mn>0;
由正比例函数的图象可知mn>0,两结论一致,故本选项正确.
故选A.
掌握函数图象的画法至关重要,后面用得非常广泛。
掌握函数的几种表示方法。
一次函数的性质
一、知识回顾
1、一次函数的增减性
k>
0时,y随x增大而增大
k<
0时,y随x增大而减小
一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则下列结论:
①k<0;
②a>0;
③当x>2时,y2>y1,其中正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
根据一次函数的性质求解.
一次函数y2=x+a的图像向上爬,并且轴交于y的负半轴,所以a<0
一次函数y1=kx+b的图象向下滑,∴k<0,并且交于y的正半轴,所以b>0,
当x>2时,y2的图像永远在y1的上方,∴y2>y1,①③正确.
已知一次函数y=kx+b,其中kb>0.则所有符合条件的一次函数的图象一定通过( )
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
根据题意,kb>0,则k、b同号,分k>0与k<0情况讨论,分别判断其图象所过的象限,综合可得答案.
根据题意,kb>0,则k、b同号,
当k>0时,b>0,此时函数图象过一二三象限,
当k<0时,b<0,此时函数图象过二三四象限,
综合可得,所有符合条件的一次函数的图象一定通过第二、三象限,
泉州)若y=kx-4的函数值y随x的增大而增大,则k的值可能是下列的( )
A.-4
B.-1/2
C.0
D.3
若y随x的增大而增大,则k必须大于0,由此可知k的范围。
∵y=kx-4的函数值y随x的增大而增大,
∴k>0,
而四个选项中,只有D符合题意,
遵义)若一次函数y=(2-m)x-2的函数值y随x的增大而减小,则m的取值范围是( )
A.m<0
B.m>0
C.m<2
D.m>2
函数值y随x的增大而减小,说明k小于0,图像向下滑。
由此列出式子。
∵一次函数y=(2-m)x-2的函数值y随x的增大而减小,
∴2-m<0,
∴m>2.
直线y=1/2x+k与x轴y轴的交点分别为A、B,如果S△AOB≤1,那么k的取值范围是( )
A.k≤1
B.0<k≤1
C.-1≤k≤1
D.k≤-1或k≥1
先求出直线y=1/2x+k与x轴y轴的交点分别为A、B,得到OA,OB的长,利用三角形的面积公式得到不等式,对照选项进行判断.
令x=0,则y=k,得B(0,k);
令y=0,则x=-2k,得A(-2k,0),
所以OA=|2k|,OB=|k|,S△AOB=1/2×
|2k|×
|k|=k2≤1,
所以-1≤k≤1.
正比例函数y=ax中,y随x的增大而增大,则直线y=(-a-1)x经过( )
A.第一、三象限
B.第二、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
根据正比例函数的增减性,可得a>0;
则-a-1<0,据此判断直线y=(-a-1)x经过的象限.
∵正比例函数y=ax中,y随x的增大而增大,
∴a>0,
∴-a-1<0,
∴直线y=(-a-1)x经过第二、四象限.
(2009·
衢州)P1(x1,y1),P2(x2,y2)是正比例函数y=-x图象上的两点,则下列判断正确的是( )
A.y1>y2
B.y1<y2
C.当x1<x2时,y1>y2
D.当x1<x2时,y1<y2
根据正比例函数图象的性质可知.
根据k<0,得y随x的增大而减小.
例8:
已知正比例函数y=kx.
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- 一次 函数 专题 复习