高考全国一卷理科数学答案及解析.docx
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高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试(全国一卷)理科数学
参考答案与解析
一、选择题:
本题有12小题,每小题5分,共60分。
1、设z=,则|z|=
A、0
B、
C、1
D、
【答案】C
【解析】由题可得,所以|z|=1
【考点定位】复数
2、已知集合A={x|x2-x-2>0},则A=
A、{x|-1 B、{x|-1x2} C、{x|x<-1}∪{x|x>2} D、{x|x-1}∪{x|x2} 【答案】B 【解析】由题可得CRA={x|x2-x-2≤0},所以{x|-1x2} 【考点定位】集合 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是: A、新农村建设后,种植收入减少。 B、新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。 C、新农村建设后,养殖收入增加了一倍。 D、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。 【答案】A 【解析】由题可得新农村建设后,种植收入37%*200%=74%>60%, 【考点定位】简单统计 4、记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5= A、-12 B、-10 C、10 D、12 【答案】B 【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d)(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d),整理得: 2d+3a1=0;d=-3∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10 【考点定位】等差数列求和 5、设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为: A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x 【答案】D 【解析】f(x)为奇函数,有f(x)+f(-x)=0整理得: f(x)+f(-x)=2*(a-1)x2=0∴a=1 f(x)=x3+x 求导f‘(x)=3x2+1 f‘(0)=1所以选D 【考点定位】函数性质: 奇偶性;函数的导数 6、在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= A、-- B、-- C、-+ D、- 【答案】A 【解析】AD为BC边∴上的中线AD= E为AD的中点∴AE= EB=AB-AE= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为11A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为 A、 B、 C、3 D、2 【答案】B 【解析】将圆柱体的侧面从A点展开: 注意到B点在圆周处。 ∴最短路径的长度为AB= 【考点定位】立体几何: 圆柱体的展开图形,最短路径 8.设抛物线C: y²=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·= A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】 抛物线C: y²=4x的焦点为F(1,0) 直线MN的方程: 消去x整理得: y2-6y+8=0∴y=2或y=4 M、N的坐标(1,2),(4,4) 则·=(0,2)·(3,4)=0*3+2*4=8 【考点定位】抛物线焦点向量的数量积 如果消去X,计算量会比较大一些,您不妨试试。 9.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 【答案】C 【解析】 根据题意: f(x)+x+a=0有两个解。 令M(x)=-a, N(x)=f(x)+x= 分段求导: N‘(x)=f(x)+x=说明分段是增函数。 考虑极限位置,图形如下: M(x)=-a在区间(-∞,+1]上有2个交点。 ∴a的取值范围是C.[-1,+∞) 【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。 此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为。 直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。 在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则 A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 【答案】A 【解析】 整个区域的面积: S1+S半圆BC=S半圆AB+S半圆AC+S△ABC 根据勾股定理,容易推出S半圆BC=S半圆AB+S半圆AC ∴S1=S△ABC故选A 【考点定位】古典概率、不规则图形面积 11.已知双曲线C: -y²=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则∣MN∣= A. B.3 C. D.4 【答案】B 【解析】 右焦点,OF===2, 渐近线方程y=x∴∠NOF=∠MOF=30° 在Rt△OMF中,OM=OF*cos∠MOF=2*cos=30° 在Rt△OMN中,MN=OM=*=3 【考点定位】双曲线渐近线、焦点 概念清晰了,秒杀! 有时简单的“解三角”也行,甚至双曲线都不用画出来。 如果用解方程,计算量很大。 12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 如图平面α截正方体所得截面为正六边形,此时,截面面积最大,其中边长GH= 截面面积S=6××()2= 【考点定位】立体几何截面 【盘外招】交并集理论: ABD交集为,AC交集为,选A 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为. 【答案】6 【解析】 当直线z=3x+2y经过点(2,0)时,Zmax=3*2+0=6 【考点定位】线性规划(顶点代入法) 14.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=. 【答案】-63 【解析】 S1=2a1+1=a1∴a1=-1 n>1时,Sn=2an+1,Sn-1=2an-1+1两式相减: Sn-Sn-1=an=2an-2an-1∴an=2an-1 an=a1×2n-1=(-1)×2n-1 ∴S6=(-1)×(26-1)=-63 【考点定位】等比数列的求和 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案) 【答案】16 【解析】 =26+1=16 【考点定位】排列组合 16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是. 【答案】 【解析】 f(x)=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx) 考虑到f(x)为奇函数,可以求f(x)最大值.将f(x)平方: f2(x)=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3≧(4/3)3-3cosx)3(1+cosx))/4)4=()4= 当3-3cosx=1+cosx即cosx时,f2(x)取最大值 f(x)min= 【考点定位】三角函数的极值,基本不等式的应用 【其他解法】: 1.求导数解答 2.f(x)=2sinx(1+cosx)看成单位圆中一个三角形面积求解。 三.解答题: 共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题: 共60分。 17.(12分) 在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=,求BC. 【答案】 【解析】 (1)在△ABD中,由正弦定理得 ∴sin∠ADB=ABsin∠ADB/BD= 由题设可知,∠ADB<90°∴== (2)由题设及 (1)可知cos∠BDC=sin∠ADB= 在△BCD中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2BDDCcos∠BDC =25+8-25=25 ∴BC=5 【考点定位】正弦定理余弦定理 18.(12分) 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把∆DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明: 平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 【答案】 【解析】 (1)由已知可得PF⊥BF,BF⊥EF∴BF⊥平面PEF 又BF在平面ABFD上∴平面PEF⊥平面ABFD (2)PH⊥EF,垂足为H,由 (1)可得,PH⊥平面ABFD∴DP与平面ABFD所成角就是∠PDH. CD2=PD2=DH2+PH2=DE2+EH2+PH2=DE2+(EF-HF)2+PH2 CF2=PF2=HF2+PH2 设正方形ABCD的边长为2.上面两个等式即是: 22=12+(2-HF)2+PH2 12=HF2+PH2 ∴解方程得HF=PH= 在Rt△PHD中,sin∠PDH=PH/PD=/2=. 【考点定位】立体几何点、直线、面的关系 19.(12分) 设椭圆C: +y²=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明: ∠OMA=∠OMB. 【答案】 【解析】 (1)由已知可得F(1,0),直线l的方程为x=1 由已知可得,点A的坐标为(1,)或(1,—) ∴直线AM的方程为y=—x+或y=x— (2)当l与x轴重合,.∠OMA=∠OMB=00 当l与x轴垂直,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB 当l与x轴不重合且不垂直,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0) 点A(x1,y1),B(x2,y2),x1<2,X2<2,则直线MA、MB的斜率之和 KMA+KMB=+=+= 将y=k(x-1)代入椭圆C的方程得: (2k2+1)x2-4k2x+(2k2-2)=0 x1∴+x2=,x1x2= = 从而KMA+KMB=0MA、MB的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB 综上所述,∠OMA=∠OMB 【考点定位】圆锥曲线 20、(12分) 某工厂的某、种、产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件产品作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验,设每件产品为不合格品的k概率都为P(0 (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(P),f(P)求f(P)的最大值点。 (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以 (1)中确定的作为P的值,已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。 (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX: (ii)以检验费用与赔偿费用和
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