二次函数的 图象与系数的关系Word文件下载.docx
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6.若将抛物线y=ax2+bx+c-3向上平移4个单位长度后得到的图象如图所示,则c=________.
(第6题)
(第7题)
a,b与图象的关系
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法中不正确的是( )
A.a>0B.b<0
C.3a+b>0D.b>-2a
8.如果抛物线y=x2+(n+2)x-5的对称轴是直线x=-,则(3m-2n)2-的值为________.
a,c与图象的关系
9.二次函数y=(3-m)x2-x+n+5的图象如图所示,试求+-|m+n|的值.
(第9题)
a,b,c与图象的关系
10.在二次函数y=ax2+bx+c中,a<0,b>0,c<0,则符合条件的图象是( )
(第11题)
11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=-,下列结论中正确的是( )
A.abc>0
B.a+c=0
C.b=2a
D.4a+c=2b
专训2 求二次函数表达式的常见类型
求二次函数的表达式是解决二次函数问题的重要保证,在求解二次函数的表达式时一般选用待定系数法,但在具体题目中要根据不同条件,设出恰当的表达式,往往可以给解题过程带来简便.
由函数的基本形式求表达式
利用一般式求二次函数表达式
1.已知一个二次函数的图象经过点A(1,0),点B(0,6)和点C(4,6),则这个二次函数的表达式为____________________.
2.一个二次函数,当自变量x=-1时,函数值y=2;
当x=0时,y=-1;
当x=1时,y=-2.那么这个二次函数的表达式为______________.
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点.
(1)求抛物线y=ax2+bx+c对应的函数表达式;
(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求OM+AM的最小值.
利用顶点式求二次函数表达式
4.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=1时,有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的表达式是( )
A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4
C.y=-2x2+4x+8D.y=-2x2+4x+6
5.已知某二次函数的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6).求这个二次函数的表达式.
利用交点式求二次函数表达式
6.已知抛物线与x轴交于A(1,0),B(-4,0)两点,与y轴交于点C,且AB=BC,求此抛物线对应的函数表达式.
利用平移法求二次函数表达式
7.(中考·
绥化)把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,平移后抛物线对应的函数表达式是______________.
8.已知y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的图象对应的函数表达式为y=x2-2x-3.
(1)b=________,c=________;
(2)求原函数图象的顶点坐标;
(3)求两个图象顶点之间的距离.
利用对称轴法求二次函数表达式
9.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1,且与x轴的一个交点为(3,0),那么它对应的函数表达式是________________.
10.如图所示,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,3),抛物线的对称轴是直线x=-.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)M是线段AB上的任意一点,当△MBC为等腰三角形时,求点M的坐标.
(第10题)
灵活运用方法求二次函数的表达式
11.已知抛物线的顶点坐标为(-2,4),且与x轴的一个交点坐标为(1,0),求抛物线对应的函数表达式.
由函数图象中的信息求表达式
12.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的表达式是( )
(第12题)
A.y=x2-x-2
B.y=-x2-x+2
C.y=-x2-x+1
D.y=-x2+x+2
13.(中考·
南京)某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等.如图中的折线ABD,线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:
元),销售价y2(单位:
元)与产量x(单位:
kg)之间的函数关系.
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;
(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?
最大利润是多少?
(第13题)
由表格信息求表达式
14.若y=ax2+bx+c,则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )
x
-1
1
ax2
ax2+bx+c
8
3
A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4
C.y=x2-3x+3D.y=x2-4x+8
15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),变量x和y的部分对应值如下表:
…
-
y
-2
则该二次函数的表达式为______________.
几何应用中求二次函数的表达式
16.如图,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,AB⊥BC,且点C在x轴上,若抛物线y=ax2+bx+c以C为顶点,且经过点B,求这条抛物线对应的函数表达式.
(第16题)
实际问题中求二次函数表达式
17.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm,花园的面积为Sm2.
(1)求S与x之间的函数表达式;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积的最大值.
(第17题)
答案
1.A 点拨:
本题运用数形结合思想,在二次函数y=ax2的图象中,|a|越大,图象的开口越小,所以①,②中,a>b>0,③,④中,d<c<0,所以a>b>c>d,故选A.
2.y=nx2;
y=nx2
3.C 点拨:
∵二次函数y=3x2+(b-3)x-4的图象关于y轴对称,∴b-3=0,b=3.
4.=;
<;
> 5.D 6.1 7.D
8.15 点拨:
由题意得-=-,∴3m-2n=4,3m=2n+4,∴(3m-2n)2-=42-1=15.
9.解:
由图象知解得∴m-3<0,m+n<-2.∴+-|m+n|=3-m-n+m+n=3.
10.D
11.D 点拨:
由二次函数图象知a>0,c<0,由对称轴为直线x=-,得-=-,∴b=a>0,∴abc<0,∴A选项不正确;
∵抛物线经过点(1,0),∴a+b+c=0,∴a+c=-b<0,故B选项不正确;
由b=a知C选项不正确;
由对称轴为直线x=-,且二次函数图象与x轴一个交点为(1,0),知另一交点为(-2,0),∴4a-2b+c=0,∴4a+c=2b,故D选项正确.
1.y=2x2-8x+6
2.y=x2-2x-1
3.解:
(1)把A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c,得
解这个方程组,得
∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2+x.
(2)由y=-x2+x=-(x-1)2+,可得
抛物线的对称轴为直线x=1,并且对称轴垂直平分线段OB,
连接AB,交直线x=1于M点,
∴OM=BM.
∴OM+AM=BM+AM=AB,即为OM+AM的最小值.
过点A作AN⊥x轴于点N,在Rt△ABN中,AB===4,因此OM+AM的最小值为4.
4.D
5.解:
设二次函数图象的顶点坐标为(x,2),则2=x+1,所以x=1,所以图象的顶点为(1,2).设二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,将点(3,-6)的坐标代入上式,可得a=-2.所以该函数的表达式为y=-2(x-1)2+2,即y=-2x2+4x.
6.解:
由A(1,0),B(-4,0)可知AB=5,OB=4.
又∵BC=AB,∴BC=5.
在Rt△BCO中,OC===3,
∴C点的坐标为(0,3)或(0,-3).
设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-1)(x+4),将点(0,3)的坐标代入得3=a(0-1)(0+4),解得a=-;
将点(0,-3)的坐标代入得-3=a(0-1)(0+4),解得a=.
∴该抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)(x+4)或y=(x-1)(x+4),即y=-x2-x+3或y=x2+x-3.
点拨:
若给出抛物线与x轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x轴的两交点间的距离,通常可设交点式求解.
7.y=2x2+4x
8.解:
(1)2;
(2)原函数的表达式为y=x2+2x=(x+1)2-1.
∴其图象的顶点坐标为(-1,-1).
(3)原图象的顶点为(-1,-1),新图象的顶点为(1,-4).由勾股定理易得两个顶点之间的距离为.
9.y=-x2+2x+3
10.解:
(1)设抛物线对应的函数表达式为y=a+k.
把点(2,0),(0,3)的坐标代入,得
解得
∴y=-+,即y=-x2-x+3.
(2)由y=0,得-+=0,
解得x1=2,x2=-3,∴B(-3,0).
①当CM=BM时,∵BO=CO=3,即△BOC是等腰直角三角形,∴当M点在原点O处时,△MBC是等腰三角形,∴M点坐标为(0,0);
②当BC=BM时,在Rt△BOC中,BO=CO=3,由勾股定理得BC==3,∴BM=3,
∴M点坐标为(3-3,0).
综上所述,点M坐标为(0,0)或(3-3,0).
本题求点M坐标时运用了分类讨论思想.
11.解:
方法一:
设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+bx+c,由题意得解得
∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2-x+.
方法二:
设抛物线对应的函数表达式为y=a(x+2)2+4,将点(1,0)的坐标代入得0=a(1+2)2+4,解得a=-.
∴抛物线对应的函数表达式为y=-(x+2)2+4,
即y=-x2-x+.
方法三:
∵抛物线的顶点坐标为(-2,4),与x轴的一个交点坐标为(1,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-5,0).
设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-1)(x+5),将点(-2,4)的坐标代入得4=a(-2-1)(-2+5),
解得a=-.
∴抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)(x+5),
本题分别运用了一般式、顶点式、交点式求二次函数表达式,求二次函数的表达式时要根据题目条件灵活选择方法,如本题中:
第一种方法列式较复杂,且计算量大,第二、三种方法较简便,计算量小.
12.D
13.解:
(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:
当产量为130kg时,该产品每千克的生产成本与销售价相等,都为42元.
(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=k1x+b1.
因为y1=k1x+b1的图象过点(0,60)与(90,42),
所以解方程组得
这个一次函数的表达式为y1=-0.2x+60(0≤x≤90).
(3)设y2与x之间的函数表达式为y2=k2x+b2.
因为y2=k2x+b2的图象过点(0,120)与(130,42),所以
解方程组得
这个一次函数的表达式为y2=-0.6x+120(0≤x≤130).
设产量为xkg时,获得的利润为W元.
当0≤x<90时,W=x[(-0.6x+120)-(-0.2x+60)]=-0.4(x-75)2+2250.
所以当x=75时,W的值最大,最大值为2250.
当90≤x≤130时,W=x[(-0.6x+120)-42]=-0.6(x-65)2+2535.
当x=90时,W=-0.6×
(90-65)2+2535=2160.
由-0.6<0知,当x>65时,W随x的增大而减小,所以90≤x≤130时,W≤2160.
因此当该产品产量为75kg时,获得的利润最大,最大利润是2250元.
14.A 15.y=x2+x-2
16.解:
∵直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴A(-2,0),B(0,2),∴△ABO为等腰直角三角形.
又∵AB⊥BC,
∴△BCO也为等腰直角三角形.∴OC=OB=OA.∴C(2,0).
设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-2)2,将B(0,2)的坐标代入得2=a(0-2)2,解得a=,∴此抛物线对应的函数表达式为y=(x-2)2,即y=x2-2x+2.
17.解:
(1)∵AB=xm,∴BC=(28-x)m.
于是易得S=AB·
BC=x(28-x)=-x2+28x.
即S=-x2+28x(0<x<28).
(2)由题意可知,解得6≤x≤13.
由
(1)知,S=-x2+28x=-(x-14)2+196.
易知当6≤x≤13时,S随x的增大而增大,∴当x=13时,S最大值=195,即花园面积的最大值为195m2.
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