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分析:
数列2、3、5、9,17…。
的增幅为1、2、4、8….即增幅为等比数列,比为:
2。
那么,增幅数列(等比数列)1、2、4、8….的和为多少求出来加上第一位数就是第n位数,即增幅数列(等比数列)1、2、4、8….的和为:
设:
s=1+2+4+8+…+2n-2,2s=2+4+8+16…+2n-12s-s=2n-1-1,
所以:
第n位数为:
a1+s=2+2n-1-1=2n-1+1
(五)增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加(即增幅的增幅也不相等)。
此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧。
二、基本技巧
(一)标出序列号:
找出的规律,通常包序列号。
例如,观察下列各式数:
0,3,8,15,24,……。
试按此规律写出的第100个数是100,第n个数是n。
解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数。
我们把有关的量放在一起加以比较:
给出的数:
(此题也是二级等差数列,可以用上面的第三的种方法)
序列号:
1,2,3,4,5,……。
容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。
因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1。
也可以用另一种方法:
序列号:
1,2,3,4,5,……。
给出的数:
0,3,8,15,24,……。
1×
01×
31×
81×
151×
24……。
2×
43×
54×
6……。
……。
可得(n-1)(n+1)=n2-1
(二)公因式法:
每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n,或2n、3n有关。
例如:
1,9,25,49,(81),(121),的第n项为(2n-1)2,
1,2,3,4,5........,从中可以看出n=2时,正好是(2×
2-1)2,n=3时,正好是(2×
3-1)2,以此类推。
(三)看例题:
1.2、9、28、65.....增幅是7、19、37....,增幅的增幅是12、18,....,答案与3有关且是n的3次幂,
即:
n3+1
2.2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关,即:
2n
(四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用
(一)、
(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系。
再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来。
2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列:
0、3、8、15、24……,
1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当n=1时,得1*1-1得0,当n=2时,2*2-1得3,3*3-1=8,以此类推,得到新数列的第n项为:
n2-1。
再看原数列是同时减2得到的新数列,则在的基础上加2,得到原数列第n项为:
(n2-1)+2=n2+1。
(五)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来。
例:
4,16,36,64,?
,144,196,…?
(第一百个数)
同除以4后可得新数列:
1、4、9、16…,很显然是位置数的平方,得到新数列第n项即n2,原数列是同除以4得到的新数列,所以求出新数列n的公式后再乘以4即,4n2,则求出第一百个数为4*(100)2=40000
(六)同技巧(四)、(五)一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数(一般为1、2、3)。
当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见。
(七)观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律。
三、基本步骤
1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法
(一)解题。
2、如不相等,综合运用技巧
(一)、
(二)、(三)找规律
3、如不行,就运用技巧(四)、(五)、(六),变换成新数列,然后运用技巧
(一)、
(二)、(三)找出新数列的规律
4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用基本方法
(二)解题
四、练习题
例1:
一道初中数学找规律题(均为二级等差数列,所以均可用二级等差数列解)
(1)、0,3,8,15,24,…….
(2)、2,5,10,17,26,…….
(3)、0,6,16,30,48,…….
解:
(1)第一组有什么规律?
答:
从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。
n2-1
(2)第二、三组分别跟第一组有什么关系?
答:
第一组是位置数平方减一,那么第二组每项对应减去第一组每项,从中可以看出都等于2,说明第二组的每项都比第一组的每项多2,则第二组第n项是:
位置数平方减1加2,得位置数平方加1即:
n2+1
第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍,则第三组第n项是:
第一组第n项数的2倍,即:
2(n2-1)
(3)取每组的第7个数,求这三个数的和?
用上述三组数的第n项公式可以求出,第一组第七个数是7的平方减一得48,第二组第七个数是7的平方加一得50,第三组第七个数是2乘以括号7的平方减一得96,48+50+96=194。
也可以用:
n2-1+n2+1+2(n2-1)化简后,取n=7得
例2、观察下面两行数
①、2,4,8,16,32,64,…….
②、5,7,11,19,35,67,…….
根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和。
(要求写出最后的计算结果和详细解题过程。
)
第一组可以看出是2n,第二组可以看出是第一组的每项都加3,即2n+3,
数列5,7,11,19,35,67,……。
的增幅为2、4、8、16….即增幅为等比数列,比为:
那么,增幅数列(等比数列)2、4、8、16….的和为多少求出来加上第一位数就是第n位数,即增幅数列(等比数列)2、4、8、16….的和为:
s=2+4+8+16+…+2n-1,2s=4+8+16+32…+2n2s-s=2n-2,
a1+s=5+2n-2=2n+3
则第一组第十个数是210=1024,第二组第十个数是210+3得1027,两项相加得2051。
例3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?
从数列中可以看出规律即:
1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,……,把白色和黑色分开来看,即黑色为:
1、2、3、4、……。
白色为:
1、1、1、1、……。
前n项的和为:
(n+1)n/2+n=2002,解得n=61.8,即n=62(只能为整数),当n=62时,总的珠子数为:
(n+1)n/2+n=(62+1)×
62/2+62=2015,最后一个为黑色,所以前2002个中有62个白色的珠子,即黑色的珠子为:
2002-62=1940个。
例4、32-12=8,52-32=16,72-52=24……用含有N的代数式表示规律
被减数是不包含1的奇数的平方,减数是包括1的奇数的平方,差是8的倍数,奇数项第n个项为2n-1,而被减数正是比减数多2,则被减数为2n-1+2,得2n+1,则用含有n的代数式表示为:
(2n+1)2-(2n-1)2=8n。
写出两个连续自然奇数的平方差为888的等式
通过上述代数式得出,平方差为888即8n=8×
111,得出n=111,代入公式:
(222+1)-(222-1)=888
五、对于数表
1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律
2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差
六、数字推理基本类型:
按数字之间的关系,可将数字推理题分为以下几种类型:
1、和差关系。
又分为等差、移动求和或差两种。
(1).等差关系。
①.12,20,30,42,(56
)、②.127,112,97,82,(67)③.3,4,7,12,(19),28
(2).移动求和或差。
从第三项起,每一项都是前两项之和或差。
①.1,2,3,5,(8),13
②.0,1,1,2,4,7,13,(24)
注意此题为前三项之和等于下一项。
一般考试中不会变态到要你求前四项之和,所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。
③.5,3,2,1,1,(0)前两项相减得到第三项。
2、乘除关系。
又分为等比、移动求积或商两种
(1)等比,从第二项起,每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。
①.8,12,18,27,(40.5)后项与前项之比为1.5。
②.6,6,9,18,45,(135)后项与前项之比为等差数列,分别为1,1.5,2,2.5,3
(2)移动求积或商关系。
从第三项起,每一项都是前两项之积或商。
①.2,5,10,50,(500)②.100,50,2,25,(2/25)
③.3,4,6,12,36,(216)从第三项起,第三项为前两项之积除以2
④.1,7,8,57,(457)第三项为前两项之积加1
3、平方关系
①.1,4,9,16,25,(36),49为位置数的平方n2。
②.66,83,102,123,(146),看数很大,其实是不难的,66可以看作64+2,83可以看作81+2,102可以看作100+2,123可以看作121+2,以此类推,可以看出是8,9,10,11,12的平方加2
4、立方关系
①.1,8,27,(81),125
位置数的立方n3。
②.3,10,29,(83),127 位置数的立方加2
③.0,1,2,9,(730) 后项为前项的立方加1
5、分数数列。
关键是把分子和分母看作两个不同的数列,有的还需进行简单的通分,则可得出答案
分子为等比即位置数的平方,分母为等差数列,则第n项代数式为:
①.2/3,1/2,2/5,1/3,2/7,(1/4)……, 将1/2化为2/4,1/3化为2/6,可得到如下数列:
2/3,2/4,2/5,2/6,2/7,2/8…….可知下一个为2/9,如果求第n项代数式即:
2/(n+2)。
6、质数数列
①.2,3,5,(7),11
质数数列(注意:
1不是质数,即:
质数要除1以外)
②.4,6,10,14,22,(26)
每项除以2得到质数数列
③.20,22,25,30,37,(48)
后项与前项相减得质数数列。
7、双重数列。
又分为三种:
(1)、每两项为一组,如:
①.1,3,3,9,5,15,7,(21) 第一与第二,第三与第四等每两项后项与前项之比为3
②.2,5,7,10,9,12,10,(13)每两项中后项减前项之差为3
③.1/7,14,1/21,42,1/36,72,1/52,(104
) 两项为一组,每组的后项等于前项倒数*2(积为2)
(2)、两个数列相隔,其中一个数列可能无任何规律,但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。
①.22,39,25,38,31,37,40,36,(52)由两个数列,22,25,31,40,()和39,38,37,36组成,相互隔开,一个为等差,另一个为后项与前项之差是3的倍数。
①.34,36,35,35,(36),34,37,(33)由两个数列相隔而成,一个递增,一个递减
(3)、数列中的数字带小数,其中整数部分为一个数列,小数部分为另一个数列。
①.2.01, 4.03,8.04,16.07,(32.11)整数部分为等比,小数部分为移动求和数列。
双重数列难题也较少。
能看出是双重数列,题目一般已经解出。
特别是前两种,当数字的个数超过7个时,为双重数列的可能性相当大。
8.、组合数列。
最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。
需要熟悉前面的几种关系后,才能较好较快地解决这类题。
①.1,1,3,7,17,41,(
99),此为移动求和与乘除关系组合。
第三项为第二项*2加第一项,即1×
2+1=3、
3×
2+1=7,7×
2+3=17,17×
2+7=41,则空中应为41×
2+17=99
②.65,35,17,3,(
1),平方关系与和差关系组合,分别为8的平方加1,6的平方减1,4的平方加1,2的平方减1,下一个应为0的平方加1=1
③.4,6,10,18,34,(66
),
各差关系与等比关系组合。
依次相减,得2,4,8,16,(),可推知下一个为32,32+34=66
④.6,15,35,77,(
143
此题看似比较复杂,是等差与等比组合数列。
如果拆分开来可以看出,6=2×
3、15=3×
5、35=5×
7、77=7×
11,正好是质数2、3,5,7、11数列的后项乘以前项的结果,得出下一个应为13×
11=143
⑤.2,8,24,64,(160
)
此题较复杂,幂数列与等差数列组合。
2=1×
21,8=2×
22,24=3×
23,64=4×
24,下一个则为5×
25=160
⑥.0,6,24,60,120,(210)
和差与立方关系组合。
0=1的3次方-1,6=2的3次方-2,24=3的3次方-3,60=4的3次方-4,120=5的3次方-5。
空中应是6的3次方-6=210
⑦.1,4,8,14,24,42,(76
两个等差与一个等比数列组合依次相减,原数列后项减前项得3,4,6,10,18,(
34
),得到新数列后,再相减,得1,2,4,8,16,(
32
),此为等比数列,下一个为32,倒推到3,4,6,8,10,34,再倒推至1,4,8,14,24,42,76。
9、其他数列。
①.2,6,12,20,(30)规律为:
2,6=2×
3,12=3×
4,20=4×
5,下一个为5×
6=30
②.1,1,2,6,24,(120
规律为:
后项=前项×
递增数列。
1=1×
1,2=1×
3,24=6×
4,下一个为120=24×
5
③.1,4,8,13,16,20,(25)
每4项为一重复,后项减前项依次相减得3,4,5。
下个重复也为3,4,5,推知得25。
④.27,16,5,(0),1/7
依次为3的3次方,4的2次方,5的1次方,6的0次方,7的-1次方。
四、解题方法
数字推理题难度较大,但并非无规律可循,了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。
1、快速扫描已给出的几个数字,仔细观察和分析各数之间的关系,尤其是前三个数之间的关系,大胆提出假设,并迅速将这种假设延伸到下面的数,如果能得到验证,即说明找出规律,问题即迎刃而解;
如果假设被否定,立即改变思考角度,提出另外一种假设,直到找出规律为止。
2、推导规律时往往需要简单计算,为节省时间,要尽量多用心算,少用笔算或不用笔算。
3、空缺项在最后的,从前往后推导规律;
空缺项在最前面的,则从后往前寻找规律;
空缺项在中间的可以两边同时推导。
(一)等差数列
相邻数之间的差值相等,整个数字序列依次递增或递减。
等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。
它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式:
自然数数列:
1,2,3,4,5,6,……,n
偶数数列:
2,4,6,8,10,12,……,2n
奇数数列:
1,3,5,7,9,11,13,……,2n-1
例题①:
103,81,59,(37
),15。
解析:
这显然是一个等差数列,前后项的差为22。
例题②:
2,5,8,(11
)。
解析:
从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列,即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。
题中第二个数字为5,第一个数字为2,两者的差为3,由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律,那么在此基础上对未知的一项进行推理,即8+3=11,第四项应该是11,
例题③:
123,456,789,(1122)。
这题的第一项为123,第二项为456,第三项为789,三项中相邻两项的差都是333,所以是一个等差数列,未知项应该是789+333=1122。
注意,解答数字推理题时,应着眼于探寻数列中各数字间的内在规律,而不能从数字表面上去找规律,比如本题从123,456,789这一排列,便选择101112,肯定不对。
因不是;
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…….
例题④:
11,17,23,(29
),35。
解:
这同样是一个等差数列,前项与后项相差6。
例题⑤:
12,15,18,(21
),24,27。
这是一个典型的等差数列,题中相邻两数之差均为3,未知项即18+3=21,或24-3=21,由此可知第四项应该是21。
(二)等比数列
相邻数之间的比值相等,整个数字序列依次递增或递减。
等比数列在数字推理测验中,也是排列数字的常见规律之一。
2,1,1/2,(1/4
)。
从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等比数列,即后面的数字与前面数字之间的比值等于一个常数。
题中第二个数字为1,第一个数字为2,两者的比值为1/2,由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律,那么在此基础上对未知的一项进行推理,即(1/2)/2,第四项应该是1/4。
2,8,32,128,(512
这是一个等比数列,后一项与前一项的比值为4。
2,-4,8,-16,(
32
这仍然是一个等比数列,前后项的比值为-2。
(三)平方数列
1、完全平方数列:
正序:
1,4,9,16,25,……。
逆序:
100,81,64,49,36,……。
2、一个数的平方是第二个数。
(1).直接得出:
2,4,16,(256)解析:
前一个数的平方等于第二个数,答案为256。
(2).一个数的平方加减一个数等于第二个数:
①.1,2,5,26,(677)解析:
前一个数的平方加1等于第二个数,答案为677。
3、隐含完全平方数列:
(1).通过加减一个常数归成完全平方数列:
0,3,8,15,24,(35
前一个数加1分别得到1,4,9,16,25,分别为1,2,3,4,5的平方,答案35
(2).相隔加减,得到一个平方数列:
例①:
65,35,17,(3),1
不难感觉到隐含一个平方数列。
进一步思考发现规律是:
65等于8的平方加1,35等于6的平方减1,17等于4的平方加1,再观察时发现:
奇位置数时都是加1,偶位置数时都是减1,所以下一个数应该是2的平方减1等于3。
例②:
2,4,16,49,121,(169
(2005年考题)
从数字中可以看出1的平方,2的平方,4的平方,7的平方,11的平方,正好是1,2,4,7,11,…,可以看出后项减前项正好是1,2,3,4,5,……,从中可以看出应为11+5=16,16的平方是256。
例③:
2,3,10,15,26,(35)。
看数列为2=1的平方+1,3=2的平方减1,10=3的平方加1,15=4的平方减1,26=5的平方加1,再观察时发现:
位置数奇时都是加1,位置数偶时都是减1,因而下一个数应该是6的平方减1=35,前n项代数式为:
所以答案是35。
(四)立方数列,立方数列与平方数列类似。
1,8,27,64,(125)
数列中前四项为1,2,3,4的立方,显然答案为5的立方,为125。
0,7,26,63,(124
前四项分别为1,2,3,4的立方减1,答案为5的立方减1,为124。
-2,-8,0,64,(
(2006年考题)A.64
B.128
C.156
D250
从数列中可以看出,-2,-8,0,64都是某一个数的立方关系,-2=-2×
13,-8=-1×
23,0=0×
33,64=1×
44,前n项代数式为:
,an=(n-3)n3,因此最后一项因该为(5-3)×
53=250,选D
例④:
0,9,26,65,124,(217)(2007年考题)
前五项分别为1,2,3,4,5的立方加1或者减1,规律为位置数是偶数的加1,则奇数减1。
答案为217。
在近几年的考试中,也出现了n次幂的形式
例⑤:
1,32,81,64,25,(
6),1。
(2006年考题)A.5
B.6
C.10
D.12
逐项拆解容易发现1=16,32=25,81=34,64=43,25=52,则答案已经很明显了,6的1次幂,
即61选B。
(五)、加法数列,数列中前两个数的和等于后面第三个数:
n1+n2=n3
1,1,2,3,5,(8)。
A.8
B.7
C.9
D.10
第一项与第二项之和等于第三项,第二项与第三项之和等于第四项,第三项与第四项之和等于第五项,按此规律3+5=8答案为A。
4,5,(9),14,23,37A.6
C.8
D.9
与例一相同答案为D
22,35,56,90,(145
)99年考题 A.162
B.156
C.148
D.145
22+35-1=56,35+56-1=90,56+90-1=145,答案为D
(六)、减法数列,前两个数的差等于后面第三个数
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