版高考文科数学大一轮复习人教A版文档47+解三角形的综合应用+含答案docWord文档下载推荐.docx
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答案50\伫
3.[P13fjij3]如图,在山脚力测得山顶尸的仰角为30。
,沿倾斜角为15啲斜坡向上走g米到
B,在B处测得山顶P的仰角为60。
,则山高力=米.
答案解析由题图可得ZPAQ=a=30°
9
ZBAQ=p=\5。
/\PAB中,ZPAB=a—0=\5。
又ZPBC=y=60。
/.Z^^4=(90°
—a)—(90°
-y)=y—ct=30°
:
.PO=PC+CO=PBsiny+asinp
=“_2~aXsin60。
+asm15。
=专q.
题组三易错自纠
4.在某次测量中,在/处测得同一半平面方向的〃点的仰角是60。
,C点的俯角是70。
,则
ZBAC等于()
A.10°
B.50°
C.120°
D.130°
答案D
5.如图所示,D,C,3三点在地面的同一条直线上,DC=a,从C,D两点测得力点
的仰角分别为60。
,30°
则/点离地面的高度力3=.
解析由已知得ZD4C=30。
,/XADC为等腰三角形,AD=*a,
所以在RtANDB中,AB=
=¥
久
6.在一次抗洪抢险屮,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水屮
漂行,此吋,风向是北偏东30。
,风速是20km/h;
水的流向是正东,流速是20km/h,若不
答案60°
2(h/3
解析如图,Z/03=60。
,由余弦定理知OC2=2()2+2()2—800cos120°
=1200,故OC=2丽,
ZCOy=30°
+30°
=60°
.
题型一求距离、高度问题一“•—自主演练
1.在相距2km的力,3两点处测量目标点C,若ZCAB=75°
fZCBS=60。
则C两点之间的距离为()
A.^/6kmB.y/2km
C.羽kmD.2km
答案A
解析如图,在厶ABC中,由已知可得Z/CB=45。
,・••浮需=石話,・・・/C=2迈X^=
托(km).
2.(2017-郑州一中月考)如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点/的俯角为弘在塔底
C处测得/处的俯角为"
.已知铁塔3C部分的高为方,则山高CQ=.
hcosasinBsin(a—0)
解析由已知得,ZBCA=90°
+/^ZABC=90°
-a9ZBAC=a-卩、ZCAD=/J.
M_BCsin(90°
—a)sin(a—卩)'
3.(2018-枣庄模拟)如图,一艘船上午9:
30在力处测得灯塔S在它的北偏东30。
的方向,之
后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:
00到达3处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75。
的方向,且与它相距8迈nmile.此船的航速是nmile/h.
答案32
解析设航速为enmile/h,
在△/BS中,AB=*o,BS=8y[i,ZBSA=45°
1
由正弦定理得sm30。
=则0=32.
思维升华求距离、高度问题的注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;
若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
题型二求角度问题》师生共硏
典例如图所示,位于/处的信息中心获悉:
在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30。
、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东&
的方向沿直线C8前往3处救援,则cos0的值为
乍东
答案噜
解析在厶ABC中,AB=40fAC=20fZ^C=120°
由余弦定理得
BC2=AB2+AC1-2ABACcos120°
=2800,得BC=2閒.
由正弦定理’得議花’即sinZACB=^'
sinZBAC=j^.
由ZBAC=\20°
f知ZACB为锐角,则cosZACB=^-^~.
由0=Z/CB+30。
,得cos0=cos(Z/CB+30。
)
a/21
=cosZJC^cos30。
一sinZ/CBsin30°
=
思维升华解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确方位角或方向角的含义;
(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步;
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.
跟踪训练如图所示,已知两座灯塔力和3与海洋观察站C的距离相等,灯塔/在观察站C的北偏东40啲方向上,灯塔B在观察站C的南偏东60。
的方向上,则灯塔/在灯塔3的
的方向上.
tt
答案北偏西10°
解析由已知ZACB=\80°
-40°
-60°
=80°
XAC=BC,:
.ZA=ZABC=50°
t60°
-50°
=10°
・••灯塔力位于灯塔3的北偏西10。
题型三三角形与三角函数的综合问题-••“-•…1i•师生共研
典例(2018-石家庄模拟)在厶ABC屮,a,b,c分别是角B,C的对边,(2q—c)cosB—bcosC=0.
(1)求角3的大小;
⑵设函数,/(x)=2sinxcosxcos3—爭cos2x,求函数.心)的最大值及当/(x)取得最大值时x的值.
解
(1)因为(2q—c)cos3—bcosC=0,
所以2qcosB—ccosB—bcosC=0,
由正弦定理得2sinAcossinCcoscosCsinB=0,
即2sin/cos3—sin(C+B)=0,
又C+B=n—A,所以sin(C+3)=sin4
所以sin/4(2cosB—1)=0.在厶ABC中,sin/HO,
所以COS5=|,又BW(0,兀),所以申.
(2)
因为B=号,
TTTTJJF
令2x—亍=2M+亍伙WZ),得x=kn+p(kEZ),
51T即当兀=航+巨伙GZ)时,/(x)取得最大值1.
思维升华三角形与三角函数的综合问题,要借助三角函数性质的整体代换思想,数形结合思
想,还要结合三角形中角的范围,充分利用正弦定理、余弦定理解题.
跟踪训练设Xx)=sinxcosx—cos2^x+^.
(1)求./(x)的单调区间;
⑵在锐角△MC中,角B,C的对边分别为a,b,c.若眉■)=(),g=1,求△MC面积的
最大值.
7171
由一㊁+2竝W2xW㊁+2刼,
7TTT
可得一才才+加,由号+2加W2xW扌+2刼,MZ,可得扌普+ht,k^Z.
TTTT
所以心)的单调递增区间是[―才+加,切+时(MZ);
7T3兀
单调递减区间是匕+刼,y+hrj伙GZ).
⑵由眉)=sinA—*=0,得sinA=*,由题意知/为锐角,所以cos/=¥
・由余弦定理a2=b2+c2—2/)ccosA,可得l+J5〃c=b2+c222bc,即bcW2+晶当且仅当b=c时等号成立.因此如csinA所以△/BC面积的最大值为
■思想方法■
函数思想在解三角形中的应用
典例(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口0北偏西30。
口与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过/小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时I'
可与轮船相遇,并说明理由.
思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时,可以设岀第三边,利用余弦定理列方程求解;
对于三角形中的最值问题,可建立函数模型,转化为函数最值问题解决.
规范解答
解
(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则[1分]5,=a/900z2+400-2-30z-20cos(90°
-30°
=p900r_600汁400=寸900(/—|)2+300.[3分]
故当/=亍时,Smin=0==3O\[5.
3
即小艇以3用海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小•[6分]
(2)设小艇与轮船在B处相遇.
则vt2=400+900r2-2•20•30/•cos(90°
-30°
),[8分]故丁=900—字+爷.•.•0<
0030,
.•.900-晋+爷W900,
即壬—解得/琉
2
又当/=亍时,。
=30,
故当0=30时,f取得最小值,且最小值为亍
此时,在中,有CU=OB=AB=20.[11分]
故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东30。
,航行速度为30海里/小时・[12分]
课时作业
超'
基础保分练
1.(2018-式汉调研)已知3两地间的距离为10km,B,C两地间的距离为20km,现测得Z/3C=120。
,则C两地间的距离为()
A.10kmB.10\/3km
C.10^5kmD.10V7km
解析如图所示,由余弦定理可得,C2=1004-400-2X10X20Xcos120°
=700,
.AC=10^7.
答案D解析由条件及图可知,Z/=ZCB4=40。
又上BCD=60。
所以ZCBD=30。
所以ZDB4=10。
因此灯塔/在灯塔B的南偏西80°
3.一艘海轮从/处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40。
的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在/处观察灯塔,其方向是南偏东70。
,在3处观察灯塔,其方向是北偏东65。
,那么3,C两点间的距离是()
A.1(^/2海里B.10\/3海里
C.20^3海里D.20^/2海里
解析如图所示,易知,在厶ABC中,AB=20,ZCAB=30°
tZACB=45°
根据正弦定理得泮和=不徐,解得BC=10V2.
4.
(2018-广州模拟)如图,从气球M上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75。
解析如图,ZACD=30°
9Z/3D=75。
,加)=60m,在Rt△力CD中,仞=不先万=石%戶
60
=6(h/3(m),在^/XABD中,BD=帥需肋=册产土勞60(2-曲m,:
・BC=CD—
BD=6(h/3—60(2—迈)=120((5-1)m.
A,(尸
6()m:
\
5•如图,两座相距60m的建筑物/丛CD的高度分别为20m,50m,为水平面,则从建
筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()
答案B解析依题意可得MD=2oVT5,4C=3邯,
又CD=50,所以在中,
由余弦定理得cosZC4Q=2M
(3M)2+(2()VW—5()26000a/2
2X30V5X20V10_600(h/2-2'
又0°
<
ZC^r>
180°
所以ZCAD=45%
所以从顶端/看建筑物CQ的张角为45。
・
ZBDC=30。
,CZ)=30,并在点C测得塔顶/的仰角为
6.(2018-郑州质检)如图所示,测量河对岸的塔高M时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得ZBCD=15。
60°
则塔高肋等于()
在RtA/I^C中,AB=BCtanZACB=15y/2Xy[3=15yf6.
故选D.
7.轮船/和轮船3在屮午12时同时离开海港C,两船航行方向的夹角为120%两船的航行
nmile.
速度分别为25nmile/hz15nmile/h,则下午2时两船之间的距离是答案70
解析设两船之间的距离为d,则^=502+302-2X50X30Xcos120°
=4900,At/=70,即两船相距70nmile.
8.(2018-哈尔滨模拟)如图,某工程中要将一长为100m,倾斜角为75。
的斜坡改造成倾斜角为30。
的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长m.
答案100V2
解析设坡底需加长xm,由正弦定理得册缶=鬲畚,解得x=100V2.
9.(201&
青岛模拟)一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60。
,另一灯塔在船的南偏西75。
,则这艘船的速度是每小时海里.
答案10
解析如图所示,依题意有ZB4C=60。
ZBAD=75°
所以ZCAD=ZCD4=15。
从而CD=CA=lOt在RtA^^C中,得4B=5,于是这艘船的速度是訂=10(海里/时).
10.如图,在山底/点处测得山顶仰角ZC4B=45。
沿倾斜角为30。
的斜坡走1000米至S点,又测得山顶仰角ZDSB=75°
则山高BC为米.
答案1000
解析由题图知ZB4S=45。
一30。
=15。
,
Z/BS=45°
—(90。
一ZDSB)=30。
・・・ZMSB=135。
在/\ABS中,由正弦定理可得sin3()o=sin135。
.AB=\000\/2,
11.(2018-泉州质检)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120。
的扇形AOB,C是该小区的
一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,
从D沿QC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为
米.
答案5(h/7
解析如图,连接OC,在△OCQ中,01)=100,
CQ=150,ZCDO=GO°
.由余弦定理得
OC=1002+1502-2X100X150Xcos60°
=17500,解得OC=5血.
12•如图,渔船甲位于岛屿/的南偏西60。
方向的3处,且与岛屿力相距12海里,渔船乙以
10海里/小时的速度从岛屿力出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从3处出发沿北偏东Q的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.
厂一东
所以渔船甲的速度为竽=14(海里/小时).
(2)在ZUBC中,因为4B=\2,ZBAC=\20°
fBC=28,ZBCA=a,
由正弦定理,得盈=•%。
sinasin120°
1?
x^3
站.ABsin120°
23⑴
即sm«
=—盘一=飞一=14•
N技能提升练
13.(201&
德阳模拟)如图,在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔曲】和肋|.已知从塔AAx的底部看塔顶部的仰角是从塔BB、的底部看塔力⑷顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线屮点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔的底部看塔力禺顶部的仰角的正切值为:
塔3®
的高为m.
答案|45
解析设从塔BB、的底部看塔AA}顶部的仰角为
则=60tana,55]=60tan2a.
・・•从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,•••△/MCsACBB],
・如=30
…30=W
・・・/FiBB|=900,
・°
・3600tanatan2a=900,
・•103
・・tana=〒,tan2cc=j,
则B0=6Otan2a=45.
14.如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45。
方向600km处的热带风暴屮心正以20km/h的速度向正北方向移动,距风暴屮心450km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为h.
答案15
解析记现在热带风暴中心的位置为点/小时后热带风暴中心到达B点位置,在△O/B
中,04=600,/B=20f,ZOAB=45°
根据余弦定理得OB=600+400/2-2X600X20/X
令O炉W450\即4『一12()V^+l575W0,解得彳普-企〜普十所以该码头将受
W拓展冲刺练
15.如图所示,经过村庄/有两条夹角为60。
的公路力3,AC,根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄力),要求PM=PN=MW=2(单位:
千米).记ZAMN=0.
(1)将MV,用含〃的关系式表示出來;
⑵如何设计(即AN,为多长时),使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的
距离/P最大)?
解(\)ZAMN=0,
在△/A/N中,由正弦定理,得
+sin/)是共线向量.
⑴求角力;
C—3B
的最大值.
(2)求函数y=2si『3+cos—z-
3解
(1)因为p,g共线,所以(2—2sinJ)(1+sinJ)=(cosA+siny4)(sinA—cosA),则sin2J=^.又/为锐角,所以sin/=爭,则A=j.
(2)y=2sin25+cos―—
=l-cos2B+*cos2〃+爭sin2B
jrif
所以当时,函数y取得最大值,
兀
解得B=y几论=2・
(1)求渔船甲的速度;
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