北师大版初三数学上册用公式法求解一元二次方程 3 用公式法求解一元二次方程解析版Word格式.docx
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A.m>
B.m≤
且m≠2C.m≥3D.m≤3且m≠2
9.关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+(2m+1)x+m﹣2=0有两个不相等的正实数根,则m的取值范围是( )
B.m>
且m≠2C.﹣
<m<2D.
<m<2
10.若关于x的一元二次方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0有实数根,则k的取值范围是( )
A.k≥
D.k≤
11.关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m≥
C.m≥
D.m≤
12.下列方程有两个相等的实数根的是( )
A.x2+x+1=0B.4x2+2x+1=0C.x2+12x+36=0D.x2+x﹣2=0
13.下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是( )
A.(x﹣1)2=0B.x2+2x﹣19=0C.x2+4=0D.x2+x+l=0
14.已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0,则该方程根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.两个根都是自然数D.无实数根
15.若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解,则a的取值范围是( )
A.a<1B.a≤4C.a≤1D.a≥1
16.一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
17.若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根,则k的非负整数值是( )
A.1B.0,1C.1,2D.1,2,3
二、填空题(共10小题)
18.若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
19.已知k>0,且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根,那么k的值等于 .
20.已知关于x的一元二次方程x2+
x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
21.关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是 .
22.关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根,则m的值为 .
23.若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解,则a的取值范围是 .
24.关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根,则m的取值范围是 .
25.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,则m的取值范围是 .
26.关于x的一元二次方程ax2+bx+
=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b的值:
a= ,b= .
27.已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根,则实数a的取值范围是 .
三、解答题(共3小题)
28.已知关于x的方程x2+(2m﹣1)x+4=0有两个相等的实数根,求m的值.
29.已知关于x的一元二次方程(x﹣1)(x﹣4)=p2,p为实数.
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)p为何值时,方程有整数解.(直接写出三个,不需说明理由)
30.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m+3)x+m2+2=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根分别为x1、x2,且满足x12+x22=31+|x1x2|,求实数m的值.
参考答案与试题解析
【考点】根的判别式.
【分析】根据题意得到△=64+4a,然后把四个选项中a的值一一代入得到
是正整数即可得出答案.
【解答】解:
∵一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0的两个根均为整数,
∴△=64+4a,△的值若可以被开平方即可,
A、△=64+4×
12=102,
=
,此选项不对;
B、△=64+4×
16=128,
C、△=64+4×
20=144,
=12,此选项正确;
D、△=64+4×
24=160,
,此选项不对,
故选:
【点评】本题考查了利用一元二次方程根的判别式(△=b2﹣4ac)判断方程的根的情况.在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根.
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根,得出△=16﹣4(5﹣a)≥0,从而求出a的取值范围.
∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根,
∴△=(﹣4)2﹣4(5﹣a)≥0,
∴a≥1.
故选A.
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式,关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac<0,代入求出不等式的解集即可得到答案.
∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,
∴b2﹣4ac=22﹣4×
1×
a<0,
解得:
a>1.
故选B.
【专题】计算题.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式大于0,即可求出k的范围.
∵方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根,
∴△=4﹣12k>0,
k<
.
【点评】此题考查了根的判别式,熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.
【考点】根的判别式;
一次函数的图象.
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,得到判别式大于0,求出kb的符号,对各个图象进行判断即可.
∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,
∴△=4﹣4(kb+1)>0,
解得kb<0,
A.k>0,b>0,即kb>0,故A不正确;
B.k>0,b<0,即kb<0,故B正确;
C.k<0,b<0,即kb>0,故C不正确;
D.k>0,b=0,即kb=0,故D不正确;
B.
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
一元二次方程的定义.
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0,即22﹣4×
(m﹣2)×
1≥0,然后解不等式组即可得到m的取值范围.
∵关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0有实数根,
∴m﹣2≠0且△≥0,即22﹣4×
1≥0,解得m≤3,
∴m的取值范围是m≤3且m≠2.
D.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;
当△=0,方程有两个相等的实数根;
当△<0,方程没有实数根.
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中,必须满足下列条件:
(1)二次项系数不为零;
(2)在有不相等的实数根时,必须满足△=b2﹣4ac>0
依题意列方程组
,
解得k<1且k≠0.
故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到
,然后解不等式组即可.
根据题意得
解得m≤
且m≠2.
【点评】本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;
当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
当△<0时,方程无实数根.
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣2≠0且△=(2m+1)2﹣4(m﹣2)(m﹣2)>0,解得m>
且m≠2,再利用根与系数的关系得到﹣
>0,则m﹣2<0时,方程有正实数根,于是可得到m的取值范围为
<m<2.
根据题意得m﹣2≠0且△=(2m+1)2﹣4(m﹣2)(m﹣2)>0,
解得m>
且m≠2,
设方程的两根为a、b,则a+b=﹣
>0,ab=
=1>0,
而2m+1>0,
∴m﹣2<0,即m<2,
∴m的取值范围为
当△<0时,方程无实数根.也考查了根与系数的关系.
【分析】先根据判别式的意义得到△=(2k﹣1)2﹣4(k2﹣1)≥0,然后解关于k的一元一次不等式即可.
根据题意得△=(2k﹣1)2﹣4(k2﹣1)≥0,
解得k≤
【分析】方程有实数根,则△≥0,建立关于m的不等式,求出m的取值范围.
由题意知,△=1﹣4m≥0,
∴m≤
【点评】本题考查了根的判别式,总结:
1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
【分析】由方程有两个相等的实数根,得到△=0,于是根据△=0判定即可.
A、方程x2+x+1=0,∵△=1﹣4<0,方程无实数根;
B、方程4x2+2x+1=0,∵△=4﹣16<0,方程无实数根;
C、方程x2+12x+36=0,∵△=144﹣144=0,方程有两个相等的实数根;
D、方程x2+x﹣2=0,∵△=1+8>0,方程有两个不相等的实数根;
故选C.
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(3)△<0⇔方程没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式,分别计算△的值,进行判断即可.
A、△=0,方程有两个相等的实数根;
B、△=4+76=80>0,方程有两个不相等的实数根;
C、△=﹣16<0,方程没有实数根;
D、△=1﹣4=﹣3<0,方程没有实数根.
【分析】判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.
∵a=2,b=﹣5,c=3,
∴△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×
2×
3=1>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式,掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(3)△<0⇔方程没有实数根,是解决问题的关键.
【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解,则根的判别式△≥0,据此可以列出关于a的不等式,通过解不等式即可求得a的值.
因为关于x的一元二次方程有实根,
所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0,
解之得a≤1.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式.当△>0,方程有两个不相等的实数根;
【分析】先计算判别式得到△=(﹣2)2﹣4×
(﹣1)=8>0,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
根据题意△=(﹣2)2﹣4×
(﹣1)=8>0,
所以方程有两个不相等的实数根.
【分析】根据方程有实数根,得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式,求出不等式的解集得到k的范围,即可确定出k的非负整数值.
根据题意得:
△=16﹣12k≥0,且k≠0,
k≤
则k的非负整数值为1或0.
∵k≠0,
∴k=1.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;
当△<0,方程没有实数根
18.若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 a>﹣
且a≠0 .
【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×
a×
(﹣1)=9+4a>0,解不等式组即可求出a的取值范围.
∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×
(﹣1)=9+4a>0,
a>﹣
且a≠0.
故答案为:
【点评】此题考查了根的判别式.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
(3)△<0⇔方程没有实数根.同时考查了一元二次方程的定义.
19.已知k>0,且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根,那么k的值等于 3 .
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac=0,据此可列出关于k的等量关系式,即可求得k的值.
∵关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=144﹣4×
3k×
(k+1)=0,
解得k=﹣4或3,
∵k>0,
∴k=3.
故答案为3.
【点评】本题考查了根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k≥1 .
【分析】根据二次根式有意义的条件和△的意义得到
,然后解不等式组即可得到k的取值范围.
∵关于x的一元二次方程x2+
x﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴
解得k≥1,
∴k的取值范围是k≥1.
k≥1.
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根;
当△=0时,方程有两个相等的实数根;
当△<0时,方程没有实数根.也考查了二次根式有意义的条件.
21.关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是 k<2且k≠1 .
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=(﹣2)2﹣4(k﹣1)>0,然后求出两个不等式的公共部分即可.
∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,
∴k﹣1≠0且△=(﹣2)2﹣4(k﹣1)>0,
k<2且k≠1.
22.关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根,则m的值为 3 .
【分析】根据题意可知△=0,即42﹣4×
(m﹣1)=0,解得m=3,
∵方程有两个相等的实数根,
∴△=0,
即42﹣4×
(m﹣1)=0,
解得m=3,
3.
【点评】本题考查了根的判别式,解题的关键是注意△=0⇔方程有两个相等的实数根.
23.若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解,则a的取值范围是 a<﹣1 .
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且△=22﹣4×
(﹣1)<0,然后求出a的取值范围.
∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解,
∴a≠0且△=22﹣4×
(﹣1)<0,
解得a<﹣1,
∴a的取值范围是a<﹣1.
a<﹣1.
当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.
24.关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根,则m的取值范围是 m>
.
【分析】根据方程没有实数根,得到根的判别式小于0列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的范围.
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