最新25平面向量应用举例教学案汇总Word格式文档下载.docx
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应用
2.教师的教学准备:
课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。
七、课时安排:
1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。
(二)情景导入、展示目标
教师首先提问:
(1)若O为
重心,则
+
=
(2)水渠横断面是四边形
且
|=
|,则这个四边形
为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么?
教师:
本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题;
掌握向量法和坐标法,以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤,已经布置学生们课前预习了这部分,检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
(设计意图:
步步导入,吸引学生的注意力,明确学习目标。
)
(三)合作探究、精讲点拨。
探究一:
(1)向量运算与几何中的结论"若
,则
,且
所在直线平行或重合"相类比,你有什么体会?
(2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例.
平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来:
例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图:
平行四边行
中,设
=
(平移),
,
(长度).向量
的夹角为
.因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题。
通过向量运算研究几何运算之间的关系,如距离、夹角等.把运算结果"翻译"成几何关系.本节课,我们就通过几个具体实例,来说明向量方法在平面几何中的运用
例1.证明:
平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
已知:
平行四边形ABCD.
求证:
«
SkipRecordIf...»
.
分析:
用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,我们常常要考虑向量的数量积.注意到«
,«
,我们计算«
和«
证明:
不妨设«
a,«
b,则
a+b,«
a-b,«
|a|2,«
|b|2.
得«
(a+b)·
(a+b)
=a·
a+a·
b+b·
a+b·
b=|a|2+2a·
b+|b|2.①
同理 «
|a|2-2a·
b+|b|2.②
①+②得«
2(|a|2+|b|2)=2(«
).
所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
师:
你能用几何方法解决这个问题吗?
让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况。
由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,他把一个思辨过程变成了一个算法过程,可以按照一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度.
用向量方法解决平面几何问题,主要是下面三个步骤,
⑴建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
⑵通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
⑶把运算结果“翻译”成几何关系.
变式训练:
中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,BF与CD交于点O,设«
(1)证明A、O、E三点共线;
(2)用«
表示向量«
。
例2,如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?
由于R、T是对角线AC上两点,所以要判断AR、RT、TC之间的关系,只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可.
解:
设«
b,则«
a+b.
由 «
与«
共线,因此。
存在实数m,使得«
=m(a+b).
又 由«
共线
因此 存在实数n,使得«
=n«
=n(«
b-a).
由«
=«
n«
,得m(a+b)=a+n(«
整理得 «
a+«
b=0.
由于向量a、b不共线,所以有 «
,解得«
所以 «
同理 «
于是 «
所以 AR=RT=TC.
说明:
本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法,待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法.
探究二:
(1)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.
(2)在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.这些问题是为什么?
向量在物理中的应用,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后再用所获得的结果解释物理现象.
例3.在日常生活中,你是否有这样的经验:
两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;
在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?
上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型.只要分析清楚F、G、«
三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.
不妨设|F1|=|F2|,由向量加法的平行四边形法则,理的平衡原理以及直角三角形的指示,可以得到
|F1|=«
通过上面的式子我们发现,当«
逐渐变大时,«
逐渐变大,«
的值由大逐渐变小,因此,|F1|有小逐渐变大,即F1、F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.
请同学们结合刚才这个问题,思考下面的问题:
⑴«
为何值时,|F1|最小,最小值是多少?
⑵|F1|能等于|G|吗?
为什么?
例4如图,一条河的两岸平行,河的宽度«
m,一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用的时间是多少(精确到0.1min)?
如果水是静止的,则船只要取垂直于对岸的方向行驶,就能使行驶航程最短,所用时间最短.考虑到水的流速,要使船的行驶航程最短,那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸.(用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响)
(km/h),
所以,«
(min).
答:
行驶航程最短时,所用的时间是3.1min.
本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释,即“分析”中给出的穿必须垂直于河岸行驶,这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸,分析清楚这种关系侯,本例就容易解决了。
两个粒子A、B从同一源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为«
,
(1)写出此时粒子B相对粒子A的位移s;
(2)计算s在«
方向上的投影。
九、板书设计
§
2.5平面向量应用举例
例⒈ 用向量法解平面几何例2变式训练
问题的“三步曲”
例3.例4
变式训练
十、教学反思
本小节主要是例题教学,要让学生体会思路的形成过程,体会数学思想方法的应用。
教学中,教师创设问题情境,引导学生发现解题方法,展示思路的形成过程,总结解题规律。
指导学生搞好解题后的反思,从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力.
十一、学案设计(见下页)
2.5平面向量应用举例
课前预习学案
一、预习目标
预习《平面向量应用举例》,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,建立实际问题与向量的联系。
二、预习内容
阅读课本内容,整理例题,结合向量的运算,解决实际的几何问题、物理问题。
另外,在思考一下几个问题:
1.例1如果不用向量的方法,还有其他证明方法吗?
2.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么?
3.例3中,⑴«
三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习内容
1.运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何和解析
几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.
2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.
二、学习过程
(2)举出几个具有线性运算的几何实例.
试用几何方法解决这个问题
利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”?
(1)建立平面几何与向量的联系,
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,
(3)把运算结果“翻译”成几何关系。
例2,如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的
中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?
两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.这些力的问题是怎么回事?
两个粒子A、B从同一源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为
(2)计算s在«
三、反思总结
结合图形特点,选定正交基底,用坐标表示向量进行运算解决几何问题,体现几何问题
代数化的特点,数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。
向量作为桥梁工具使得运算简练标致,又体现了数学的美。
有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。
本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题;
掌握向量法和坐标法,以及用向量解决实际问题的步骤。
四、当堂检测
1.已知«
,求边长c。
2.在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长。
3.在平面上的三个力«
作用于一点且处于平衡状态,«
的夹角为«
,求:
(1)«
的大小;
(2)«
夹角的大小。
课后练习与提高
一、选择题
1.给出下面四个结论:
1若线段AC=AB+BC,则向量«
;
2若向量«
,则线段AC=AB+BC;
3若向量«
共线,则线段AC=AB+BC;
4若向量«
反向共线,则«
.
其中正确的结论有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.河水的流速为2«
,一艘小船想以垂直于河岸方向10«
的速度驶向对岸,则小
船的静止速度大小为()
A.10«
B.«
C.«
D.12«
3.在«
中,若«
=0,则«
为()
A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定
二、填空题
4.已知«
两边的向量«
,则BC边上的中线向量«
用«
、«
表示为
5.已知«
,则«
两两夹角是
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