湘教版高中数学选修11第1章112命题的四种形式Word下载.docx
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[自主解答] 逆命题:
若sinα=cosβ,则α+β=
.
否命题:
若α+β≠
,则sinα≠cosβ.
逆否命题:
若sinα≠cosβ,则α+β≠
(2)逆命题:
对任意非正数c,若有a≤b成立,则a≤b+c.
对任意非正数c,若有a>
b+c成立,则a>
b.
b成立,则a>
b+c.
四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题.
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题.
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题.
1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.
(1)负数的平方是正数;
(2)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面.
解:
(1)原命题改写成“若一个数是负数,则它的平方是正数”.
逆命题:
若一个数的平方是正数,则它是负数.
若一个数不是负数,则它的平方不是正数.
若一个数的平方不是正数,则它不是负数.
如果一条直线垂直于平面,那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线;
如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线不垂直于平面;
如果一条直线不垂直于平面,那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线.
四种命题真假的判断
判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;
(2)“正三角形都相似”的逆命题;
(3)“若m>
0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;
(4)“若x-
是有理数,则x是无理数”的逆否命题.
[自主解答]
(1)原命题的否命题为“若x2+y2=0,则x,y全为零”. 真命题
(2)原命题的逆命题为“若两个三角形相似,则这两个三角形是正三角形”. 假命题
(3)原命题的逆否命题为“若x2+x-m=0无实根,则m≤0”.
∵方程无实根,
∴判别式Δ=1+4m<
0.
∴m<
-
≤0. 真命题
(4)原命题的逆否命题为“若x不是无理数,则x-
不是有理数”.
∵x不是无理数,∴x是有理数.又
是无理数,
∴x-
是无理数,不是有理数. 真命题
若本例(3)改为判断“若m>
0,则mx2+x-1=0有实根”的逆否命题的真假,则结论如何?
原命题的逆否命题为“若mx2+x-1=0无实根,则m≤0”.因为方程mx2+x-1=0无实根,则m≠0,所以判别式Δ=1+4m<
0,则m<
,故m≤0,为真命题.
在判断一个命题的真假时,可以有两种方法:
一是分清原命题的条件和结论,直接对原命题的真假进行判断;
二是不直接写出命题,而是根据命题之间的等价关系进行判断,即原命题和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同真同假.
2.把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题和逆否命题,同时判断它们的真假.
“若p,则q”的形式:
若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线平行,是真命题;
若两条直线平行,则这两条直线平行于同一条直线,是真命题;
若两条直线不平行于同一条直线,则这两条直线不平行,是真命题;
若两条直线不平行,则这两条直线不平行于同一条直线,是真命题.
等价命题的应用
证明:
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.
[自主解答] 法一:
原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若a+b<
0,则f(a)+f(b)<
f(-a)+f(-b)”.
若a+b<
0,则a<
-b,b<
-a.
又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
∴f(a)<
f(-b),f(b)<
f(-a),
∴f(a)+f(b)<
f(-a)+f(-b).
即原命题的逆否命题为真命题.
∴原命题为真命题.
法二:
假设a+b<
f(-a).
这与已知条件f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾.
因此假设不成立,故a+b≥0.
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.
3.证明:
若m2+n2=2,则m+n≤2.
证明:
将“若m2+n2=2,则m+n≤2”视为原命题,则它的逆否命题为“若m+n>
2,则m2+n2≠2”.
由于m+n>
2,则m2+n2≥
(m+n)2>
×
22=2,
所以m2+n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.
解题高手多解题条条大路通罗马,换一个思路试一试
判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
[解] 法一:
已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为∅.判断如下:
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,
令x2+(2a+1)x+a2+2=0,
则Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
因为a<1,所以4a-7<0,
即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为∅.
故逆否命题为真命题.
利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.
因为关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0.即4a-7≥0,解得
a≥
≥1.所以原命题为真,故其逆否命题为真.
法三:
利用集合的包含关系求解.
命题p:
关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,命题q:
a≥1,
所以p:
A={a|(2a+1)2-4(a2+2)≥0}=
;
q:
B={a|a≥1}.
因为A⊆B,所以“若p,则q”为真命题.
所以原命题的逆否命题为真.
[点评] 因为互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,所以判断某个命题真假时,可以改为判断它的逆否命题的真假.当命题与不等式的解集有关时,也可以利用集合的包含关系.
1.设m∈R,命题“若m>
0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
解析:
根据逆否命题的定义,命题“若m>
0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.故选D.
答案:
D
2.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )
A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<
3
B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<
C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3
D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3
a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<
3.
A
3.命题“若a>
-3,则a>
-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数为( )
A.0 B.1
C.2D.4
“若a>
-6”为真命题,所以其逆否命题亦为真命题.又逆命题、否命题为假命题,所以真命题的个数为2.故选C.
C
4.命题“若a>
b,则2a>
2b-1”的否命题为________.
“a>
b”的否定是“a≤b”,“2a>
2b-1”的否定是“2a≤2b-1”.
若a≤b,则2a≤2b-1
5.有下列四个命题:
①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题;
③命题“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;
④命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
其中是真命题的是______________(填上你认为正确的命题的序号).
④中由A∩B=B,应该得出B⊆A,原命题为假命题,所以逆否命题为假命题.
①②③
6.写出下列原命题的其他三种命题,并分别判断真假.
(1)在△ABC中,若a>
b,则∠A>
∠B;
(2)若ab=0,则a=0;
(3)若x∈A,则x∈A∪B.
(1)逆命题:
在△ABC中,
若∠A>
∠B,则a>
b,真命题;
在△ABC中,若a≤b,则∠A≤∠B,真命题;
在△ABC中,若∠A≤∠B,则a≤b,真命题.
若a=0,则ab=0,真命题;
若ab≠0,则a≠0,真命题;
若a≠0,则ab≠0,假命题.
(3)逆命题:
若x∈A∪B,则x∈A,假命题;
若x∉A,则x∉A∪B,假命题;
若x∉A∪B,则x∉A,真命题.
一、选择题
1.命题“若a>
b,则a+1>
b”的逆否命题是( )
A.若a+1≤b,则a>
b B.若a+1<
b,则a>
b
C.若a+1≤b,则a≤bD.若a+1<
b,则a<
把条件与结论交换,再否定.
2.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( )
A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
否命题是既否定题设又否定结论.
因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数”.
B
3.下列说法中错误的是( )
A.命题“a,b,c中至少有一个等于0”的否命题是“a,b,c中没有一个等于0”
B.命题“若x>
1,则x-1>
0”的否命题是“若x<
1,则x-1<
0”
C.命题“0,-2,0.4都是偶数”的否命题是“0,-2,0.4不都是偶数”
D.命题“x=-4是方程x2+3x-4=0的根”的否命题是“x=-4不是方程x2+3x-4=0的根”
命题“若x>
0”的否命题应该是“若x≤1,则x-1≤0”.
4.命题“函数f(x)·
g(x)在定义R上,h(x)=f(x)·
g(x),若f(x),g(x)均为奇函数,则h(x)为偶函数”的逆命题,否命题,逆否命题中正确的命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
由f(x)·
g(x)均为奇函数可得h(x)=f(x)·
g(x)为偶函数,反之则不成立,如h(x)=x2是偶函数,但函数f(x)=
,g(x)=x2+1都不是奇函数,故逆命题不正确,故其否命题也不正确,即只有逆否命题正确.
二、填空题
5.命题“若A∪B=B,则A⊆B”的否命题是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________,
逆否命题是________________________________________________________.
命题“若A∪B=B,则A⊆B”的否命题是“若A∪B≠B,则A
B”,逆否命题是“若A
B,则A∪B≠B”.
若A∪B≠B,则A
B 若A
B,则A∪B≠B
6.给定下列命题:
①“若k>0,则方程x2+2x-k=0”有实根;
②“若a>b,则a+c>b+c”的否命题.
其中真命题的序号是________.
①Δ=4+4k>0,∴是真命题.
②否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”,是真命题.
①②
7.已知命题“若m-1<
x<
m+1,则1<
2”的逆命题为真命题,则m的取值范围是________.
由已知得,若1<
2成立,则m-1<
m+1也成立.∴
∴1≤m≤2.
[1,2]
8.下列命题中:
①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
②若一个四边形对角互补,则它内接于圆;
③正方形的四条边相等;
④圆内接四边形对角互补;
⑤对角不互补的四边形不内接于圆;
⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.
其中互为逆命题的有________;
互为否命题的有________;
互为逆否命题的有________.
命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”;
命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”;
命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”,再依据四种命题间的关系便不难判断.
③和⑥,②和④ ①和⑥,②和⑤ ①和③,④和⑤
三、解答题
9.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.
(1)若x≠1时,则x2-3x+2≠0;
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.
若x2-3x+2≠0,则x≠1,是真命题;
若x=1,则x2-3x+2=0,是真命题;
若x2-3x+2=0,则x=1,是假命题.
若一条直线平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线,是假命题;
若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不平分弦所对的弧,是假命题;
若一条直线不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线,是真命题.
10.已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<
0},若命题“A∩B=∅”是假命题,求实数m的取值范围.
因为A∩B=∅是假命题,
所以A∩B≠∅.
设全集U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0},
则U=
假设方程x2-4mx+2m+6=0的两根x1,x2都非负,则有
即
解得m≥
又集合
在全集U中的补集是{m|m≤-1},
所以实数m的取值范围是(-∞,-1].
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