高三数学一轮复习 23三角函数的图像与性质学案 新人教A版Word文档下载推荐.docx
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的对称轴为,对称中心为;
对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。
7.求三角函数的单调区间:
一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;
8.求三角函数的周期的常用方法:
经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法
9.五点法作y=Asin(ωx+)的简图:
五点取法是设x=ωx+,由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。
四.【典例解析】
题型1:
三角函数的图象
例1.(xx浙江理)已知是实数,则函数的图象不可能是()
解析对于振幅大于1时,三角函数的周期为
,而D不符合要求,它的振幅大于1,但周期反而大于了.
答案:
D
例2.(xx辽宁理,8)已知函数=Acos()的图象如图所示,,则=()
A.B.C.-D.
答案C
题型2:
三角函数图象的变换
例3.试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象
解析:
y=sin(2x+)
另法答案:
(1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,得y=sin2x的图象;
(2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=sinx的图象;
(3)再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y=sinx的图象。
例4.(xx山东卷理)将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是().
A.B.C.D.
解析将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.
答案:
B
【命题立意】:
本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.
7.(xx山东卷文)将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是().
A.B.C.D.
解析将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选A.
A
本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.
题型3:
三角函数图象的应用
例5.已知电流I与时间t的关系式为。
(1)右图是(ω>0,)
在一个周期内的图象,根据图中数据求
的解析式;
(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?
解析:
本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.
(1)由图可知A=300。
设t1=-,t2=,
则周期T=2(t2-t1)=2(+)=。
∴ω==150π。
又当t=时,I=0,即sin(150π·
+)=0,
而,∴=。
故所求的解析式为。
(2)依题意,周期T≤,即≤,(ω>
0)
∴ω≥300π>942,又ω∈N*,
故最小正整数ω=943。
点评:
本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中,读图、识图、用图是形数结合的有效途径
例6.
(1)(xx辽宁卷理)已知函数=Acos()的图象如图所示,,则=()
A.B.C.-D.
解析由图象可得最小正周期为
于是f(0)=f(
),注意到
与
关于
对称
所以f(
)=-f(
)=
答案B
(2)(xx宁夏海南卷理)已知函数y=sin(x+)(>
0,-<
)的图像如图所示,则=________________
由图可知,
题型4:
三角函数的定义域、值域
例7.
(1)已知f(x)的定义域为[0,1],求f(cosx)的定义域;
(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域;
分析:
求函数的定义域:
(1)要使0≤cosx≤1,
(2)要使sin(cosx)>0,这里的cosx以它的值充当角。
(1)0≤cosx<12kπ-≤x≤2kπ+,且x≠2kπ(k∈Z)。
∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ-,2kπ+]且x≠2kπ,k∈Z}。
(2)由sin(cosx)>02kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z)。
又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1。
故所求定义域为{x|x∈(2kπ-,2kπ+),k∈Z}。
点评:
求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:
一是图象,二是三角函数线
例8.已知函数f(x)=,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域
由cos2x≠0得2x≠kπ+,解得x≠,k∈Z,所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠,k∈Z},
因为f(x)的定义域关于原点对称,
且f(-x)=
=f(x)。
所以f(x)是偶函数。
又当x≠(k∈Z)时,
f(x)=
。
所以f(x)的值域为{y|-1≤y<
或<
y≤2}。
本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
题型5:
三角函数的单调性
例9.求下列函数的单调区间:
(1)y=sin(-);
(2)y=-|sin(x+)|。
(1)要将原函数化为y=-sin(x-)再求之。
(2)可画出y=-|sin(x+)|的图象
解:
(1)y=sin(-)=-sin(-)。
故由2kπ-≤-≤2kπ+。
3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调减区间;
由2kπ+≤-≤2kπ+。
3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调增区间。
∴递减区间为[3kπ-,3kπ+],
递增区间为[3kπ+,3kπ+](k∈Z)。
(2)y=-|sin(x+)|的图象的增区间为[kπ+,kπ+],减区间为[kπ-,kπ+]。
例10.(xx京皖春文,9)函数y=2sinx的单调增区间是()
A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
B.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)
C.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
D.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
A;
函数y=2x为增函数,因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间
题型6:
三角函数的奇偶性
例11.判断下面函数的奇偶性:
f(x)=lg(sinx+)。
判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称,然后再看f(x)与f(-x)的关系。
定义域为R,又f(x)+f(-x)=lg1=0,
即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数。
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要(但不充分)条件。
例12.(xx上海春)关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题:
①对任意的,f(x)都是非奇非偶函数;
②不存在,使f(x)既是奇函数,又是偶函数;
③存在,使f(x)是奇函数;
④对任意的,f(x)都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时,该命题的结论不成立
①,kπ(k∈Z);
或者①,+kπ(k∈Z);
或者④,+kπ(k∈Z)
当=2kπ,k∈Z时,f(x)=sinx是奇函数。
当=2(k+1)π,k∈Z时f(x)=-sinx仍是奇函数。
当=2kπ+,k∈Z时,f(x)=cosx,或当=2kπ-,k∈Z时,f(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.所以②和③都是正确的。
无论为何值都不能使f(x)恒等于零。
所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数。
①和④都是假命题。
本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意k∈Z不能不写,否则不给分,本题的答案不惟一,两个空全答对才能得分
题型7:
三角函数的周期性
例13.求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期,并求x为何值时,y有最大值。
将原函数化成y=Asin(ωx+)+B的形式,即可求解
y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)
=1-3sin2xcos2x=1-sin22x=cos4x+。
∴T=。
当cos4x=1,即x=(k∈Z)时,ymax=1。
例14.设
的周期,最大值,
(1)求、、的值;
(2)
(1)
,,,
又的最大值。
,①,且②,
由①、②解出a=2,b=3.
(2)
,,
,
,或
即(共线,故舍去),或,
。
方程组的思想是解题时常用的基本思想方法;
在解题时不要忘记三角函数的周期性。
题型8:
三角函数的最值
例15.(xx安徽卷文)设函数
,其中,则导数的取值范围是
A.B.C.D.
解析
,选D
例16.(xx江西卷理)若函数
,,则的最大值为
A.1B.C.D.
解析因为
==
当是,函数取得最大值为2.故选B
五.【思维总结】
1.数形结合是数学中重要的思想方法,在中学阶段,对各类函数的研究都离不开图象,很多函数的性质都是通过观察图象而得到的
2.作函数的图象时,首先要确定函数的定义域
3.对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象。
4.求定义域时,若需先把式子化简,一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。
5.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数,且三角函数的次数为1的形式,否则很容易出现错误。
6.函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的,要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。
7.判断y=-Asin(ωx+)(ω>0)的单调区间,只需求y=Asin(ωx+)的相反区间即可,一般常用数形结合而求y=Asin(-ωx+)(-ω<0=单调区间时,则需要先将x的系数变为正的,再设法求之
2019-2020年高三数学一轮复习《导数的概念及运算》教案人教大纲版
1.用定义求函数的导数的步骤.
(1)求函数的改变量Δy;
(2)求平均变化率.(3)取极限,得导数(x0)=.
2.导数的几何意义和物理意义
几何意义:
曲线f(x)在某一点(x0,y0)处的导数是过点(x0,y0)的切线的
物理意义:
若物体运动方程是s=s(t),在点P(i0,s(t0))处导数的意义是t=t0处
的
3.几种常见函数的导数
(为常数);
();
;
;
.
4.运算法则
求导数的四则运算法则:
.
考点1:
导数概念
题型1.求函数在某一点的导函数值
[例1]设函数在处可导,则等于
A.B.C.D.
考点2.求曲线的切线方程
[例2]如图,函数的图象在点P处的切线方程是,则=.
[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下,10s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位:
m,时间单位:
s),求小球在t=5时的速度.
1.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.
题型1:
求导运算
[例4]求下列函数的导数:
(1)
(2)
导数在研究函数中的应用
★知识梳理★
1.函数的单调性与导数的关系
一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:
在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内;
如果,那么函数在这个区间内.
判别f(x0)是极大、极小值的方法
若满足,且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的,是极大值;
如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是
3.解题规律技巧妙法总结:
求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间,求导数f′(x).
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查
f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;
如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;
如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.
4.求函数最值的步骤:
(1)求出在上的极值.
(2)求出端点函数值.
(3)比较极值和端点值,确定最大值或最小值.
题型1.讨论函数的单调性
例5.求下列函数单调区间
(1)
(2)
(3)(4)
题型2.由单调性求参数的值或取值范围
例6:
若在区间[-1,1]上单调递增,求的取值范围.
题型3.借助单调性处理不等关系
例7.求证下列不等式
(1)当,求证
题型4导数与函数的极值和最大(小)值.
例8.函数在[0,3]上的最大值、最小值分别是
例9.已知函数在与时都取得极值
(1)求的值与函数的单调区间
强化训练
一、选择题:
1.若函数在区间内可导,且则的值为()A.B.C.D.
2.已知圆C的圆心与点关于直线对称.直线与圆C相交于两点,且,则圆C的方程为_______________________.
3.下列求导运算正确的是()
A.(x+B.(log2x=
C.(3x=3xlog3eD.(x2cosx=-2xsinx
4.函数的递增区间是()
A.B.C.D.
5.已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是()
6.函数在区间上的最小值为()
7.函数
有()
A.极大值,极小值B.极大值,极小值
C.极大值,无极小值D.极小值,无极大值
8.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()
9.曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为()
A.B.C.和D.和
10.函数的最大值为()A.B.C.D.
11.以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确的序号是
A.①、②B.①、③C.③、④D.①、④
12.设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是()
二、填空题:
13.曲线在点处的切线倾斜角为__________;
14.函数的单调递增区间是____.
15.函数的图像在处的切线在x轴上的截距为________________。
16.函数
在时有极值,那么的值分别为________。
17.若函数在处有极大值,则常数的值为_________;
18.函数的单调增区间为。
19.在曲线的切线中斜率最小的切线方程是___________.
20.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.
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