初中数学动点问题专题讲解文档格式.docx
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36—x2,
117
MHOH36-x2.
22在Rt△MPH中,
MP=l‘PH2+MH2=Jx2+9_^x2=]』36+3x2.
V42.
y=GP=^MP=^V3^3x2(0<
x<
6).
33
(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况
1GP=PH寸,1.363x^x,解得x=.经检验,x=,?
6是原方程的根,且符合题意
3
2GP=GH寸,1...363x2=2,解得x=0.经检验,x=0是原方程的根,但不符合题意
3PH=GH寸,x=2.
综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为,6或2.
、应用比例式建立函数解析式
例2(20PP年•山东)如图2,在厶ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y.
(1)如果/BAC=30,/DAE=105,试确定y与x之间的函数解析式;
⑵如果/BAC的度数为:
-,ZDAE的度数为一:
,当:
-,-满足怎样的关系式时,
(1)中y与x之间的函
数解析式还成立?
试说明理由
⑴在厶ABC中,•/AB=AC,ZBAC=30
•••ZABC玄ACB=75,/-ZABDZACE=105
•ZDAB+ZCAE=75
vZBAC=30,ZDAE=105又ZDAB+ZADB=ZABC=75
•ZCAE玄ADB,
ADB^AEAC,
1
•/y.
x
(2)
由于ZDAB+ZCAE=0—ot,又ZDAB+ZADB玄ABC=9^—且2,
函数关系式成立
*°
OB«
•/90=:
-〉,整理得90.
22
当90时,函数解析式y成立.
2x
例3(20PP年•上海)如图3
(1),在厶ABC中,ZABC=90,AB=4,BC=3.
点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,
交线段OC于点E.作EP丄ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.
(1)求证:
△ADE^AAEP.
(2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域.
(3)当BF=1时,求线段AP的长.
(1)连结OD.
根据题意,得ODLAB,/ZODA=90,ZODAZDEP.
又由OD=OE得ZODEZOED./ZADE=ZAEP,ADE^A
A
3
(2)
ZABC=Z
AEP.
(2)•/ZABC=90°
AB=4,BC=3,•AC=5.
ADO=90,
•OD//BC,
.ODx
AD
/•OD=3x,AD=4x.•
35
4
5
AE=xx
8
=_x•
AE
AP
AD
84
xx
丄二_5_
y8
16
x(o沐岂25).
⑶当BF=1时,
①若EP交线段CB的延长线于点
F,如图3
(1),则CF=4.
•••/ADE玄AEP,•••/PDE=ZPEC.v/FBP=ZDEP=90,/FPB=ZDPE,
•••/F=/PDE,F=/FEC,•CF=CE.
85
•5-x=4,得x.可求得y=2,即AP=2.
58
②若EP交线段CB于点F,如图3
(2),贝UCF=2.类似①,可得CF=CE.
•5-8x=2,得
15
x=一.
可求得y=6,即AP=6.
综上所述,当BF=1时,线段AP的长为2或6.
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
(1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域
图8
例4(20PP年•上海)如图,在厶ABC中,/BAC=90,AB=AC=22,OA的半径为1.若点O在BC边上运动(与点BC不重合),设BO=x,△AOC的面积为y.
(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当OO与OA相切时,
△AOC勺面积.
(1)过点A作AFUBC,垂足为H.
V/BAC=90,AB=AC=2、、2,/.BC=4,AH=!
BC=2.•OC=4-x.
2
vSAOCOCAH,•y--x4(0:
:
x4).
(2)①当OO与OA外切时,
在Rt△AOH中,OA=x1,OH=2-X,•(x1)2=22(2-x)2.解得X=7.
6
717
此时,△AOC勺面积y=4—丄=工
66
②当OO与OA内切时,
在Rt△AOH中,OA=x-1,OH=x-2,•(x-1)2=22(x-2)2.解得x=~.
71
此时,△AOC勺面积y=4—丄=丄
171
综上所述,当OO与OA相切时,△AOC的面积为或丄.
62
专题二:
动态几何型压轴题
动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;
分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:
等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。
-、以动态几何为主线的压轴题
(一)点动问题.
1.(09年徐汇区)如图,ABC中,AB=AC=10,BC=12,点D在边BC上,且BD=4,以点D为顶点作.EDF=.B,分别交边AB于点E,交射线CA于点F•
(1)当AE=6时,求AF的长;
求BE的长;
当以边AC为直径的OO与线段DE相切时,求BE的长.
(2)当以点C为圆心CF长为半径的OC和以点A为圆心AE长为半径的OA相切时,
(3)
[题型背景和区分度测量点]
本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一
线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题当E点在AB边上运动时,渗透入圆与圆的位置关系(相切
问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题.区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用
方程思想来求解.
[区分度性小题处理手法]
d=r建立方程.
1•直线与圆的相切的存在性的处理方法:
利用
2.圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法:
利用d=R±
r(R.r)建立方程.
3•解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.
[略解]
CFCD
解:
(1)证明CDFsEBD,代入数据得CF=8,二AF=2
BDBE
32
(2)设BE=x,则d=AC-10,AE=10-x,利用
(1)的方法CF=32,
相切时分外切和内切两种情况考虑:
外切,10=10-x,x=4.2;
内切,10=10—x——
x=10_217.0:
x:
10
•••当OC和oA相切时,
BE的长为4.2或10-2•一17.
20
(3)当以边AC为直径的OO与线段DE相切时,BE=4.
类题⑴一个动点:
09杨浦25题(四月、五月)、09静安25题、
⑵两个动点:
09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题.
(二)线动问题
在矩形ABCD中,AB=3,点O在对角线AC上,直线l过点O,且与AC垂直交AD于点E.
(1)若直
线I过点B,把△ABE沿直线I翻折,点A与矩形ABCD的对称中心A
⑵若直线l与AB相交于点F,且AO=-AC,设AD的长为x,五边
形BCDEF的面积为S.①求S关于x的函数关系式,并指出x的取值范围;
②探索:
是否存在这样的x,以A为圆心,以x长为半径的圆与
直线I相切,若存在,请求出x的值;
若不存在,请说明理由.
重合,求BC的长;
E
O
本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到.一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容;
当直线AB边向上平移时,探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二.
1.找面积关系的函数解析式,规则图形套用公式或用割补法,
图形用割补法.
2•直线与圆的相切的存在性的处理方法:
利用d=r建立方程.
(1)TA'
是矩形ABCD勺对称中心二A'
B=AA=-AC
•AB=A'
B,A吐3二AO6BC=3.3
(2)①AC=.x29,AO=1..x29,AF1(x29),
412
(X9)
96x
X29
•••SaefJaEAF』d,s=3x—
A296x
_x4+270x2_81“厂厂、
S(.3:
x:
3.3)
②若圆A与直线I相切,则x-3=1x2•9
44
不存在这样的x,使圆A与直线I相切.
[类题]09虹口25题.
(三)面动问题
如图,在ABC中,AB二AC=5,BC=6,D、
Xi
AE=
4x
=0(舍去),
AB、AC上的两个动点重合),且保持DE//BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG.
(1)试求ABC的面积;
(2)当边FG与BC重合时,求正方形DEFG的边长;
(3)设AD=x,ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(4)当BDG是等腰三角形时,请直接写出AD的长.
本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度,在原
题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时,正方形DEFG整体动起来,
E分别是边
(D不与
GF边落在BC边上时,恰好和教材中的例题对应,可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比
大边,探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题,仍然属
于面积类习题来设置区分测量点一,用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二.
图3-5
1•找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键,如上图矩形包括两种情况.
2•正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类,如上图
3•解题的关键是用含X的代数式表示出相关的线段[略解]解:
(1)S'
abc=12.
3-1、3-2
重叠部分分别为正方形和
3-3、
3-4、3-5用方程思想解决.
(2)令此时正方形的边长为a,则-,解得
64
(6V
yx
525
(3)当0X乞2时,
36x2,
12
当2x5时,
642424
yx5「xxx
55525
7
[类题]改编自09奉贤3月考到第(3)题中.
(4)AD=空,生
7311
25题,将条件
(2)“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉,同时加
已知:
在△ABC中,AB=AC,
/B=30o,BC=6,点D在边BC
上,点E在线段DC上,DE=3,△DEF是等边三角形,边
DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N.
(1)求证:
△BDMCEN;
(2)设BD=X,△ABC与厶DEF重叠部分的面积为y,求y
关于X的函数解析式,并写出定义域.
(3)当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点D,使以
M为圆心,BM为半径的圆与直线
EF相切,如果存在,请求出
G的值;
如不存在,请说明理由.
例1:
已知OO的弦AB的长等于O大小•
分析:
点C的变化是否影响/ACB
O的半径,点C在OO上变化
(不与A、B)重合,求/ACB的
C改变一下,如何变化呢?
可能在当点C在优弧AB上变化时,连结AO、BO,为等边三角形,则/AOB=600,则由同弧所对的圆心角与圆周角的
的大小的变化呢?
我们不妨将点
优弧AB上,也可能在劣弧AB上变化,显然这两者的结果不一样。
那么,/ACB所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧AB的一半,因此很自然地想到它的圆心角,则由于AB=OA=OB,即三角形ABC
关系得出:
/ACB=2/AOB=300,
当点C在劣弧AB上变化时,/优弧AB的一半,由/AOB=600得,
ACB所对的弧是优弧AB,它的大小为
AC
AB的一半,即•C=60°
B
C
E°
同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出:
/ACB=1500,
因此,本题的答案有两个,分别为300或1500.
反思、:
本题通过点C在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。
从而需要分类讨论。
这样由点C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。
变式1:
已知△ABC是半径为2的圆内接三角形,若AB=2、..3,求/c的大
小.
本题与例1的区别只是AB与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上
1—AB,3I
sin1NAOB=—=—丄/AOB=60°
面一致,在三角形AOB中,2OB2,则2,即
NAOB=120。
从而当点C在优弧AB上变化时,/C所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧当点C在劣弧AB上变化时,/C所对的弧是优弧AB,它的大小为优
弧AB的一半,由/AOB=1200得,优弧AB的度数为3600-1200=2400,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出:
/C=1200,
因此NC=60°
或/C=1200.
变式2:
如图,半经为1的半圆O上有两个动点A、B,若AB=1,判断/AOB的大小是否会随点A、B的变化而变化,若变化,求出变化范围,若不变化,求出它的值。
四边形ABCD的面积的最大值。
(1)由于AB=OA=OB,所以三角形AOB为等边三角形,则/AOB=600,即/AOB的大小不会随点A、B的变化而变化。
(2)四边形ABCD的面积由三个三角形组成,其中三角形AOB的面积为4,而三角
111
—ODxAF十一OCxBG=一(AF十BG)
形AOD与三角形BOC的面积之和为222,又由梯形
—(AF+BG)=EH
的中位线定理得三角形
AOD与三角形BOC的面积之和2,要四边形
ABCD的面积最大,只需EH最大,显然EH<
OE=2,当AB//CD时,EH=OE,因此
、.333、3
四边形ABCD的面积最大值为4+2=4.
对于本题同学们还可以继续思考:
四边形ABCD的周长的变化范围.
变式3:
如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分
别为A、B,另一个顶点C在半圆上,问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大?
要求说明理由(广州市20PP年考题)
要使三角形ABC的面积最大,而三角形ABC的底边AB为圆的直径为常量,只需AB边上的高最大即可。
过点C作CD丄AB于点D,连结CO,
由于CD<
CO,当O与D重合,CD=CO,因此,当CO与AB垂直时,
即C为半圆弧
的中点时,其三角形ABC的面积最大。
本题也可以先猜想,点C为半圆弧的中点时,三角形ABC的面积最大,故只需另选一个位置C1(不与
C重合),,证明三角形ABC的面积大于三角形ABC1的面积即可。
如图
显然三角形ABC1的面积=2ABXC1D,而C1D<
C10=C0,贝U三角形ABC1的面积=2ABXC1D<
2AB
XC10=三角形ABC的面积,因此,对于除点C外的任意点C1,都有三角形ABC1的面积小于三角形三角形
ABC的面积,故点C为半圆中点时,三角形ABC面积最大.
本题还可研究三角形ABC的周长何时最大的问题。
提示:
利用周长与面积之间的关系。
要三角形ABC的周长最大,AB为常数,只需AC+BC最大,而(AC+BC)2=AC2+CB2+2ACXBC=AB2+4X△
ABC的面积,因此△ABC的面积最大时,AC+BC最大,从而△ABC的周长最大。
从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见
方法有:
一、特殊探路,一般推证
例2:
(20PP年广州市中考题第11题)如图,O01和O02内切于A,O01的半径为3,002的
半径为2,点P为O01上的任一点(与点A不重合),直线PA交O02于点C,PB切O02于点B,
BP
则PC的值为
3U
.—f-—
(A)'
-2(B)3(C)2(D)2
本题是一道选择题,给出四个答案有且只有一个是正确的,因此可以取一个特殊位置进行研究,当点PB=32-12=22
BCXAP=BPXAB,
_AB_BP_
BC=.AB2BP2
P满足PB丄AB时,可以通过计算得出
因此
82
168
82
2、6
在三角形BPC中,
所以,PC=3
JBP2-BC2
PC=
4、2
二6
选(B)
PC
BP,即可计算出结论。
当然,本题还可以根据三角形相似得
作为一道选择题,到此已经完成,但如果是一道解答题,我们得出的结论只是
一个特殊情况,还要进一步证明对一般情况也成立。
例3:
如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=4,0A-BC于0,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合,点E不与B、A重合。
判断厶0EF的形状,并加以证明。
判断四边形AE0F的面积是否随点E、F的变化而变化,若变化,求其变化范围,若不变化,求它的值•
AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化,若变化,求其变化范围,
若不变化,求它的值。
本题结论很难发现,先从特殊情况入手。
最特殊情况为E、F分别为AB、AC中点,显然有△EOF
为等腰直角三角形。
还可发现当点E与A无限接近时,点F与点C无限接
近,此时△EOF无限接近△AOC,而△AOC为等腰直角三角形,几种特殊情况都可以得出△EOF为等腰直角三角形。
一般情况下成立吗?
OE与OF
相等吗?
/EOF为直角吗?
能否证明。
如果它们成立,便可以推出三角形OFC与三角形OEA全等,一般情况下这两个三角形全等吗?
不难从题目的条件可得:
OA=OC,/OCF=/OAE,而AE=CF,贝U△OEA
AOFC,贝UOE=OF,且/FOC=/EOA,所以/EOF=ZEOA+/AOF=/
FOC+/FOA=9OO,则/EOF为直角,故AEOF为等腰直角三角形。
二、动手实践,操作确认
例4(20PP年广州市中考试题)在O
O中,C为弧AB的中点,D为弧AC上任一点(与A、C不重
(A)AC+CB=AD+DB
(B)AC+CB<
AD+DB
合),则
(C)AC+CB>
AD+DB(D)AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
本题可以通过动手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的长度,可以尝试换几个位置量一量,
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