届高考数学一轮复习教案理科第十章 圆锥曲线.docx
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届高考数学一轮复习教案理科第十章圆锥曲线
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第十章圆锥曲线
★知识网络★
第1讲椭圆
★知识梳理★
1.椭圆定义:
(1)第一定义:
平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.
当时,的轨迹为椭圆;;
当时,的轨迹不存在;
当时,的轨迹为以为端点的线段
(2)椭圆的第二定义:
平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆
(利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化).
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程
性
质
参数关系
焦点
焦距
范围
顶点
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
离心率
准线
3.点与椭圆的位置关系:
当时,点在椭圆外;当时,点在椭圆内;当时,点在椭圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离
★重难点突破★
重点:
掌握椭圆的定义标准方程,会用定义和求椭圆的标准方程,能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用
难点:
椭圆的几何元素与参数的转换
重难点:
运用数形结合,围绕“焦点三角形”,用代数方法研究椭圆的性质,把握几何元素转换成参数的关系
1.要有用定义的意识
问题1已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于A、B两点若,则=______________。
[解析]的周长为,=8
2.求标准方程要注意焦点的定位
问题2椭圆的离心率为,则
[解析]当焦点在轴上时,;
当焦点在轴上时,,
综上或3
★热点考点题型探析★
考点1椭圆定义及标准方程
题型1:
椭圆定义的运用
[例1](湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质:
从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是
A.4aB.2(a-c)C.2(a+c)D.以上答案均有可能
[解析]按小球的运行路径分三种情况:
(1),此时小球经过的路程为2(a-c);
(2),此时小球经过的路程为2(a+c);
(3)此时小球经过的路程为4a,故选D
【名师指引】考虑小球的运行路径要全面
【新题导练】
1.(2007·佛山南海)短轴长为,离心率的椭圆两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为()
A.3B.6C.12D.24
[解析]C.长半轴a=3,△ABF2的周长为4a=12
2.(广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)已知为椭圆上的一点,分别为圆和圆上的点,则的最小值为()
A.5B.7C.13D.15
[解析]B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点,,的最小值为10-1-2=7
题型2求椭圆的标准方程
[例2]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为-4,求此椭圆方程.
【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来
[解析]设椭圆的方程为或,
则,
解之得:
,b=c=4.则所求的椭圆的方程为或.
【名师指引】准确把握图形特征,正确转化出参数的数量关系.
[警示]易漏焦点在y轴上的情况.
【新题导练】
3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆,那么实数k的取值范围是____________.
[解析](0,1).椭圆方程化为+=1.焦点在y轴上,则>2,即k<1.
又k>0,∴0 4.已知方程 讨论方程表示的曲线的形状 [解析]当时,,方程表示焦点在y轴上的椭圆, 当时,,方程表示圆心在原点的圆, 当时,,方程表示焦点在x轴上的椭圆 5.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是,求这个椭圆方程. [解析],,所求方程为+=1或+=1. 考点2椭圆的几何性质 题型1: 求椭圆的离心率(或范围) [例3]在中, .若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率. 【解题思路】由条件知三角形可解,然后用定义即可求出离心率 [解析] , , 【名师指引】 (1)离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量,决定了椭圆的形状;反之,形状确定,离心率也随之确定 (2)只要列出的齐次关系式,就能求出离心率(或范围) (3)“焦点三角形”应给予足够关注 【新题导练】 6.(执信中学学年度第一学期高三期中考试)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 .... [解析]选 7.(江苏盐城市三星级高中2009届第一协作片联考)已知m,n,m+n成等差数列,m,n,mn成等比数列,则椭圆的离心率为 [解析]由,椭圆的离心率为 8.(山东济宁2007—2008学年度高三第一阶段质量检测) 我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星,并经四次变轨飞向月球。 嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。 若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m,远地点到地心的距离为n,第二次变轨后两距离分别为2m、2n(近地点是指卫星距离地面最近的点,远地点是距离地面最远的点),则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率() A.不变B.变小C.变大D.无法确定 [解析],,选A 题型2: 椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等) [例4]已知实数满足,求的最大值与最小值 【解题思路】把看作的函数 [解析]由得, 当时,取得最小值,当时,取得最大值6 【名师指引】注意曲线的范围,才能在求最值时不出差错 【新题导练】 9.已知点是椭圆(,)上两点,且,则= [解析]由知点共线,因椭圆关于原点对称, 10.如图,把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点,是椭圆的一个焦点 则 ________________ [解析]由椭圆的对称性知: . 考点3椭圆的最值问题 题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值 [例5]椭圆上的点到直线l: 的距离的最小值为___________. 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 [解析]在椭圆上任取一点P,设P().那么点P到直线l的距离为: 【名师指引】也可以直接设点,用表示后,把动点到直线的距离表示为的函数,关键是要具有“函数思想” 【新题导练】 11.椭圆的内接矩形的面积的最大值为 [解析]设内接矩形的一个顶点为, 矩形的面积 12.是椭圆上一点,、是椭圆的两个焦点,求的最大值与最小值 [解析] 当时,取得最大值, 当时,取得最小值 13.(2007·惠州)已知点是椭圆上的在第一象限内的点,又、, 是原点,则四边形的面积的最大值是_________. [解析]设,则 考点4椭圆的综合应用 题型: 椭圆与向量、解三角形的交汇问题 [例6]已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且. (1)求椭圆方程; (2)求m的取值范围. 【解题思路】通过,沟通A、B两点的坐标关系,再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式 [解析] (1)由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆,可设 由条件知且,又有,解得 故椭圆的离心率为,其标准方程为: (2)设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2) 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0 Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0(*) x1+x2= ,x1x2= ∵ =3 ∴-x1=3x2∴ 消去x2,得3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3( )2+4 =0 整理得4k2m2+2m2-k2-2=0 m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2= , 因λ=3∴k≠0∴k2= >0,∴-1 或 容易验证k2>2m2-2成立,所以(*)成立 即所求m的取值范围为(-1,- )∪( ,1) 【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一,应充分重视向量的功能 【新题导练】 14.(2007·广州四校联考)设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点,点与点关于轴对称,为坐标原点,若,且,则点的轨迹方程是() A.B. C.D. [解析] ,选A. 15.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=。 一曲线E过点C,动点P在曲线E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变,直线l经过A与曲线E交于M、N两点。 (1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程; (2)设直线l的斜率为k,若∠MBN为钝角,求k的取值范围。 解: (1)以AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0) 由题设可得 ∴动点P的轨迹方程为, 则 ∴曲线E方程为 (2)直线MN的方程为 由 ∴方程有两个不等的实数根 ∵∠MBN是钝角 即 解得: 又M、B、N三点不共线 综上所述,k的取值范围是 ★~~抢分频道★ 基础巩固训练 1.如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为() ABCD [解析]B. 2.(广东省四校联合体学年度联合考试)设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点,P在椭圆上,当△F1PF2面积为1时,的值为 A、0 B、1 C、2 D、3 [解析]A.,P的纵坐标为,从而P的坐标为,0, 3.(广东广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 A.B.C.D. [解析]D.,,两式相减得: ,, 4.在中,,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率. [解析] 5.已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若 则此椭圆的离心率为_________. [解析][三角形三边的比是] 6.(2008江苏)在平面直角坐标系中,椭圆1(0)的焦距为2,以O为圆心,为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率=. [解析] 综合提高训练 7、已知椭圆与过点A(2,0),B(0,1)的直线l有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率.求椭圆方程 [解析]直线l的方程为: 由已知 ① 由 得: ∴ ,即 ② 由①②得: 故椭圆E方程为 8.(广东省汕头市金山中学2008-2009学年高三第一次月考) 已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点,O为坐标原点,点P)在椭圆上,线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC,求的值。 [解析] (1)∵点是线段的中点 ∴是△的中位线 又∴ ∴ ∴椭圆的标准方程为=1 (2)∵点C在椭圆上,A、B是椭圆的两个焦点 ∴AC+BC=2a=,AB=2c=2 在△ABC中,由正弦定理, ∴= 9.(海珠区2009届高三综合测试二)已知长方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点? 若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由. [解析](Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为. 设椭圆的标准方程是. . 椭圆的标准方程是 (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为. 设M,N两点的坐标分别为 联立方程: 消去整理得, 有 若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以, 所以,, 即 所以, 即 得 所以直线的方程为,或. 所以存在过P(0,2)的直线: 使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. 参考例题: 1、(惠州市2009届高三第二次调研考试)从椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点,是椭圆的上顶点,且. ⑴、求该椭圆的离心率. ⑵、若该椭圆的准线方程是,求椭圆方程. [解析]⑴、,∥,△∽△, , 又 ,, 而. ⑵、为准线方程,, 由.所求椭圆方程为. 2、设是椭圆的两个焦点,是椭圆上一点,若,证明: 的面积只与椭圆的短轴长有关 [解析]由 得 , , ,命题得证 第2讲双曲线 ★知识梳理★ 1.双曲线的定义 (1)第一定义: 当时,的轨迹为双曲线; 当时,的轨迹不存在; 当时,的轨迹为以为端点的两条射线 (2)双曲线的第二义: ; (双曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化). 解析: 平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为双曲线 2.双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 性 质 焦点 , 焦距 范围 顶点 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 离心率 准线 渐近线 与双曲线共渐近线的双曲线系方程为: 与双曲线共轭的双曲线为 等轴双曲线的渐近线方程为,离心率为.; ★重难点突破★ 重点: 了解双曲线的定义、标准方程,会运用定义和会求双曲线的标准方程,能通过方程研究双曲线的几何性质 难点: 双曲线的几何元素与参数之间的转换 重难点: 运用数形结合,围绕“焦点三角形”,用代数方法研究双曲线的性质,把握几何元素转换成参数的关系 1.注意定义中“陷阱” 问题1: 已知,一曲线上的动点到距离之差为6,则双曲线的方程为 点拨: 一要注意是否满足,二要注意是一支还是两支 的轨迹是双曲线的右支.其方程为 2.注意焦点的位置 问题2: 双曲线的渐近线为,则离心率为 点拨: 当焦点在x轴上时,,;当焦点在y轴上时,, ★热点考点题型探析★ 考点1双曲线的定义及标准方程 题型1: 运用双曲线的定义 [例1](2004·广东)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告: 正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340ms: 相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的. [解析]如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020) 设P(x,y)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上, 依题意得a=680,c=1020, 用y=-x代入上式,得,∵|PB|>|PA|, 答: 巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.(吉林省长春市2008年高中毕业班第一次调研)设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|: |PF2|=3: 2,则△PF1F2的面积为() A.B.12C.D.24 解析: ① 又② 由①、②解得 直角三角形, 故选B。 2.(2008广州二模文)如图2所示,为双曲线的左 焦点,双曲线上的点与关于轴对称, 则 的值是() A.9B.16C.18D.27 [解析],选C 3.(广州市越秀区2009届高三摸底测试)P是双曲线左支上的一点,F1、F2分别是左、右焦点,且焦距为2c,则的内切圆的圆心的横坐标为() (A)(B)(C)(D) [解析]设的内切圆的圆心的横坐标为, 由圆的切线性质知, 题型2求双曲线的标准方程 [例2]已知双曲线C与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).求双曲线C的方程. 【解题思路】运用方程思想,列关于的方程组 [解析]解法一: 设双曲线方程为-=1.由题意易求c=2. 又双曲线过点(3,2),∴-=1. 又∵a2+b2= (2)2,∴a2=12,b2=8. 故所求双曲线的方程为-=1. 解法二: 设双曲线方程为-=1, 将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为-=1. 【名师指引】求双曲线的方程,关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用. 【新题导练】 4.(广州六中学年度高三期中考试)已知双曲线的渐近线方程是,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为; [解析]设双曲线方程为, 当时,化为,, 当时,化为,, 综上,双曲线方程为或 5.(2008年上海市高三十校联考)以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________. [解析]抛物线的焦点为,设双曲线方程为,,双曲线方程为 6.(2008中山市一中第一次统测)已知点,,,动圆与直线切于点,过、与圆相切的两直线相交于点,则点的轨迹方程为 A.B. C.(x>0)D. [解析],点的轨迹是以、为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,选B 考点2双曲线的几何性质 题型1求离心率或离心率的范围 [例3]已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为. 【解题思路】这是一个存在性问题,可转化为最值问题来解决 [解析](方法1)由定义知,又已知,解得,,在中,由余弦定理,得 ,要求的最大值,即求的最小值,当时,解得.即的最大值为. (方法2) , 双曲线上存在一点P使,等价于 (方法3)设,由焦半径公式得,∵,∴,∴,∵,∴,∴的最大值为. 【名师指引】 (1)解法1用余弦定理转化,解法2用定义转化,解法3用焦半径转化; (2)点P在变化过程中,的范围变化值得探究; (3)运用不等式知识转化为的齐次式是关键 【新题导练】 7.(山东省济南市2008年2月高三统一考试) 已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为. [解析]当时,,,当时,,,或 8.(2008届华南师范大学附属中学、广东省实验中学、广雅中学、深圳中学四校联考) 已知双曲线的右顶点为E,双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点,若∠AEB=60°,则该双曲线的离心率e是() A.B.2C.或2D.不存在 [解析]设双曲线的左准线与x轴交于点D,则,,, 题型2与渐近线有关的问题 [例4](2007·汕头)若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率为() A. B. C. D. 【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素,沟通的关系 [解析]焦点到渐近线的距离等于实轴长,故,,所以 【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程 【新题导练】 9.双曲线的渐近线方程是() A.B.C.D. [解析]选C 10.(湖南师大附中2009届第三次月考)焦点为(0,6),且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是() A.B.C.D. [解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选B ★~~抢分频道★ 基础巩固训练 1.以椭圆的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 (A)(B) (C)(D) [解析]椭圆与双曲线共焦点,焦点到渐近线的距离为b,选A 2.(2008深圳二模)已知双曲线的两个焦点为、,是此双曲线上的一点,且满足,,则该双曲线的方程是( ) A.B.C.D. [解析]由和得,选A 3.(2008揭阳一模)两个正数a、b的等差中项是,一个等比中项是,且则双曲线的离心率为() A.B.C.D. [解析],选B 4.(2008珠海一模)设,分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率,为两曲线的一个公共点,且满足,则的值为(C) A.B.1C.2D.不确定 [解析]C.设,,,, 5.(2008珠海质检)已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是() (A).(B).(C).(D). [解析] ,选B 6.(山东省滨州市2008年高三第一次复习质量检测) 曲线与曲线的() A.焦距相等B.焦点相同C.离心率相等D.以上都不对 [解析]方程的曲线为焦点在x轴的椭圆,方程的曲线为焦点在y轴的双曲线, ,故选A 综合提高训练 7.已知椭圆和双曲线有公共的焦点, (1)求双曲线的渐近线方程 (2)直线过焦点且垂直于x轴,若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为,求双曲线的方程 [解析] (1)依题意,有,即,即双曲线方程为,故双曲线的渐近线方程是,即,. (2)设渐近线与直线交于A、B,则,,解得即,又, 双曲线的方程为 8.(执信中学学年度第一学期高三期中考试节选)已知是双曲线的左,右焦点,点是双曲线右支上的一个动点,且的最小值为,双曲线的一条渐近线方程为.求双曲线的方程; [解析] ①.的一条渐进线方程为②,又③ 由①②③得 9.(湖南省湘潭市2009届高三第一次模拟考试)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为,右顶点为. (Ⅰ)求双曲线C的方程 (Ⅱ)若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且(其中为原点),求k的取值范围 解 (1)设双曲线方程为 由已知得,再由,得 故双曲线的方程为. (2)将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得 即且.①设,则 ,由得, 而 . 于是,即解此不等式得② 由①+②得 故的取值范围为 参考例题: 已知双曲线C: 的两个焦点为,点P是双曲线C上的一点,,且. (1)求双曲线的离心率; (2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于两点,若,,求双曲线C的方程. (1)设,则,∵,∴ , ∴ . (2)由 (1)知,故,从而双曲线的渐近线方程为, 依题意,可设 , 由 ,得.① 由,得,解得. ∵点在双曲线上,∴ , 又,上式化简得.② 由①②,得,从而得.故双曲线C的方程为.
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