辅助角公式的推导.docx
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辅助角公式的推导
辅助角公式asinbcos\a2b2sin()的推导
在三角函数中,有一种常见而重要的题型,即化asinbcos为一个角
的一个三角函数的形式,进而求原函数的周期、值域、单调区间等•为了帮助学
生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式
asinbcos=•a2b2sin()或asinbcosa2b2•
cos(),让
一.教学中常见的的推导方法
教学中常见的推导过程与方法如下
1.引例
例1求证:
、、3sin+cos=2sin(+—)=2cos(——).
63
其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:
可见,\3sin+cos可以化为一个角的三角函数形式.
一般地,asin+bcos是否可以化为一个角的三角函数形式呢
2.辅助角公式的推导
例2化asinbcos为一个角的一个三角函数的形式.
-),(其中tan=b)
b
出.或由tan=—和(a,b)所在的象限来确定.
a
推导之后,是配套的例题和大量的练习.
但是这种推导方法有两个问题:
一是为什么要令
a—
=cos,=sin?
让学生费解.二是这种“规定”式的推
a2b2、a2b2
导,学生难记易忘、易错!
二.让辅助角公式asinbcos’a2b2sin()来得更自然
能否让让辅助角公式来得更自然些?
这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.
首先要说明,若a=0或b=0时,asin函数的形式,无需化简.故有abM0.
1.在平面直角坐标系中,以a为横坐标,—为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角,它的终边经过点P.设
bcos已经是一个角的一个三角
OP=r,r=\a2b2,由三角函数的定义知
b
sin=—
r
b
Ja2b2
a
cos=—
r
a
a2b2
所以asin
+bcos==ia2b2cos
sin
b2sin
cos
=、,a2b2sin(
).(其中tan
2.若在平面直角坐标系中,以b横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r=a2b2.由三
的终边
角函数的定义知
sin
a=aria2b2
asin+bcos=sa2b2sinsinb2coscos
\a2b2cos().(其中tan=弓)
b
例3化\3sincos为一个角的一个三角函数的形式.
b
我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asin+bcos凑成'、一a2b2(?
sin+bcos)的道理,以
Va2b2Ja2b2
及为什么只有两种形式的结果•
例4化sin\3cos为一个角的一个三角函数的形式.
2k,k
2k
sin
2』sin
2
s
co
2
S
co
2
cos
2
2(sin
sin
cos
cos)
2k
5一6
S
co
2
三.关于辅助角的范围问题
由asinbcos\a2b2sin()中,点P(a,b)的位置可知,终
边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).
中1(0,2),tan1
一,[的具体位置由sin1与cos1决定,[的大a
由tan2确定.b
求的辅助角.
四.关于辅助角公式的灵活应用
引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式.在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析,还有一个重要问题是,并不是每次都要化为
asin
bcos
a2
b2
sin(
i)的形式或
asin
bcos
\a2
b2
cos(
2)的形式.可以利用两角和与差的正、
余弦公式灵活处理.
2(sincoscossin)2sin(
666
—sin(y)
—
-cos(-
-)
63
6
3
妊1.“
—Hsin(:
)
cos(-
)]
323
2
3
—[sin(—
)cos
—
cos(—
)sin—]
33
3
3
3
csin(
)
33
小题中,aJ3,
b
1
,我们并没有取点P(J3,-
(灵,1).也就是说,
当a
、b中至少有一个是负值时.我
b),或者p(i
儿W
3)
.这样确定的角
[(或2)是锐角,
1),而取的是点P
们可以取卩(a,
在本例第
(1)
就更加万便.
r
例6已知向量a
(Xs(oc
1
X«(_.soc
的值.
解:
h(x)cos2(x-)
sin(x
3)C0S(x3)2
1cos(2x2)
3
-sin(2x-)
23
1…
cos(2x
2
[cos(2x22
&-cos(2x
2
din^x
2
2)
J)-2sin(2x2
2)]2
h(x)max2
11)
12
血
这时2x
2k,xk
11
.kZ.
1224
此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题
与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见范围内求三角函数的最值往往是个难点•
例7如图3,记扇OAB的中心角为
而且涉及辅角的范围,在相应
45,半径为1,矩形PQMh内接于这个扇
形,求矩形的对角线I的最小值.
解:
连结0M,设/AOM=.则
MQsin,oq=cos,OP=PN=sin
pq=oq-ofcos
sin
图3
I2MQ2
PQ2
=sin2
(cossin)2
1
(sin2cos2)
2
寻in
(2)其中tan
1
(0,—),1arctan—•
22
Q0
1
arctan—2
2
1arctan—•
2
I2
min
V5|
lmin
2
所以当
11‘51
arctan—时,矩形的对角线I的最小值为•
222
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