《概率论与数理统计》习题三答案.docx
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《概率论与数理统计》习题三答案
《概率论与数理统计》习题及答案
习题三
1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表:
0
1
2
3
1
0
0
3
0
0
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表:
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
P(0黑,2红,2白)=
0
3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)=
求二维随机变量(X,Y)在长方形域内的概率.
【解】如图
题3图
说明:
也可先求出密度函数,再求概率。
4.设随机变量(X,Y)的分布密度
f(x,y)=
求:
(1)常数A;
(2)随机变量(X,Y)的分布函数;
(3)P{0≤X<1,0≤Y<2}.
【解】
(1)由
得A=12
(2)由定义,有
(3)
5.设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
(1)确定常数k;
(2)求P{X<1,Y<3};
(3)求P{X<1.5};
(4)求P{X+Y≤4}.
【解】
(1)由性质有
故
(2)
(3)
(4)
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的密度函数为
fY(y)=
求:
(1)X与Y的联合分布密度;
(2)P{Y≤X}.
题6图
【解】
(1)因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为
而
所以
(2)
7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)=
求(X,Y)的联合分布密度.
【解】
8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
求边缘概率密度.
【解】
题8图题9图
9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
求边缘概率密度.
【解】
题10图
10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
(1)试确定常数c;
(2)求边缘概率密度.
【解】
(1)
得.
(2)
11.设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).
题11图
【解】
所以
12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.
(1)求X与Y的联合概率分布;
(2)X与Y是否相互独立?
【解】
(1)X与Y的联合分布律如下表
3
4
5
1
2
0
3
0
0
(2)因
故X与Y不独立
13.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
258
0.4
0.8
0.150.300.35
0.050.120.03
(1)求关于X和关于Y的边缘分布;
(2)X与Y是否相互独立?
【解】
(1)X和Y的边缘分布如下表
2
5
8
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2
0.2
0.42
0.38
(2)因
故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为
fY(y)=
(1)求X和Y的联合概率密度;
(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.
【解】
(1)因
故
题14图
(2)方程有实根的条件是
故X2≥Y,
从而方程有实根的概率为:
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X和Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为
f(x)=
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数
(1)当z≤0时,
(2)当0 题15图 (3)当z≥1时,(这时当y=103时,x=103z)(如图b) 即 故 16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),则Xi~N(160,202), 从而 17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为 P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…, P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,…. 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 P{Z=i}=,i=0,1,2,…. 【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数, 所以 于是 18.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布. 【证明】方法一: X+Y可能取值为0,1,2,…,2n. 方法二: 设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…,μn′均服从两点分布(参数为p),则 X=μ1+μ2+…+μn,Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′, 所以,X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布. 19.设随机变量(X,Y)的分布律为 012345 0 1 2 3 00.010.030.050.070.09 0.010.020.040.050.060.08 0.010.030.050.050.050.06 0.010.020.040.060.060.05 (1)求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0}; (2)求V=max(X,Y)的分布律; (3)求U=min(X,Y)的分布律; (4)求W=X+Y的分布律. 【解】 (1) (2) 所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 (3) 于是 U=min(X,Y) 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)类似上述过程,有 W=X+Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 20.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点(X,Y)在屏幕上服从均匀分布. (1)求P{Y>0|Y>X}; (2)设M=max{X,Y},求P{M>0}. 题20图 【解】因(X,Y)的联合概率密度为 (1) (2) 21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,求(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少? 题21图 【解】区域D的面积为(X,Y)的联合密度函数为 (X,Y)关于X的边缘密度函数为 所以 22.设随机变量X和Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. X Y y1y2y3 P{X=xi}=pi x1 x2 1/8 1/8 P{Y=yj}=pj 1/6 1 【解】因, 故 从而 而X与Y独立,故, 从而 即: 又 即 从而 同理 又,故. 同理 从而 故 1 23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0 (1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率; (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布. 【解】 (1). (2) 24.设随机变量X和Y独立,其中X的概率分布为X~,而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】设F(y)是Y的分布函数,则由全概率公式,知U=X+Y的分布函数为 由于X和Y独立,可见 由此,得U的概率密度为 25.25.设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求P{max{X,Y}≤1}. 解: 因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有 因为X,Y相互独立,所以 推得. 26.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 101 1 0 1 a00.2 0.1b0.2 00.1c 其中a,b,c为常数,且X的数学期望E(X)=0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5,记Z=X+Y.求: (1)a,b,c的值; (2)Z的概率分布; (3)P{X=Z}. 解 (1)由概率分布的性质知, a+b+c+0.6=1即a+b+c=0.4. 由,可得 . 再由, 得. 解以上关于a,b,c的三个方程得 . (2)Z的可能取值为2,1,0,1,2, , , , , , 即Z的概率分布为 Z 21012 P 0.20.10.30.30.1 (3).
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