河南省豫南九校学年高二下学期第一次联考数学理试题 Word版含答案.docx
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河南省豫南九校学年高二下学期第一次联考数学理试题Word版含答案
豫南九校2016—2017学年下期第一次联考
高二理数
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.
1.“”是“方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.函数,若,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
3.在中,,且,则
A.B.C.3D.-3
4.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
A.B.C.3D.
5.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载:
“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里.”意思是:
现有一匹马行走的速度逐渐减慢,每天走的里程数是前一天的一半,连续行走7日,共走了700里.若该匹马连续按此规律行走,则它在第8天到第14天这7天时间所走的总里程为
A.350里B.1050里C.里D..里
6.曲线和曲线围成的图形面积时
A.B.C.1D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线与椭圆交于A,B两点,若是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为
A.B.C.D.
8.已知数列满足,且,设的前项和为,则
A.-17B.-15C.-6D.0
9.已知实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分,则实数的值为
A.B.3C.-3D.
10.函数在R上是单调函数,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
11.已知函数,若对任意,恒成立,则的最小值为
A.3B.2C.1D.0
12.设函数满足,则时,
A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值
C.既无极大值也无极小值D.既有极大值也有极小值
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若点P在曲线上移动,设点P处的切线的倾斜角为,则的取值范围是.
14.已知直线与曲线相切,则的值为.
15.已知数列是等差数列,是其前项和,且,则使成立的的最小值为.
16.如图,是椭圆的左\右两焦点,点P在椭圆C上,线段与圆相切于点Q,且点Q是线段的中点,则(为椭圆的离心率)的最小值为.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.(本题满分12分)
数列的前项和为,
(1)求的通项公式;
(2)等差数列的各项均为正数,其前项和为,且,又成等比数列,求.
18.(本题满分12分)
在中,角的对边分别为,且满足.
(1)求角A;
(2)D为边BC上一点,,求.
19.(本题满分12分)
已知函数
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)在区间内存在实数,使得成立,求实数的取值范围.
20.(本题满分12分)
棱柱中,侧棱与底面垂直,分别是的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求证:
平面;
(3)求二面角的余弦值.
21.(本题满分12分)
已知焦点在轴上的椭圆,且离心率为,若的顶点A,B在椭圆E上,C在直线上,且.
(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及的面积;
(2)当,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.
22.(本题满分12分)
已知函数
(1)函数的图象与的图象无公共点,求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,使得对任意的,都有函数的图象在的图象的下方?
若存在,求出整数的最大值;若不存在,请说明理由.()
豫南九校2016—2017学年下期第一次联考
高二理数参考答案
1.C
【解析】依题意,椭圆的焦点在Y轴上,所以解得,两者相等,故为充要条件.
2.B
3.B
4.D
5.C
6.A
【解析】解方程组和,得曲线的交点(0,0)和(1,1),在x取区间(0,1)内范围内的图象始终在函数的上方,故曲线围成的图形面积
7.A
【解析】设|F1F2|=2c,|AF1|=m,若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则|AB|=|AF1|=m,|BF1|=m。
由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a,即有4a=2m+m,即m=(4-2)a,
则|AF2|=2a-m=(2-2)a,在Rt△AF1F2中,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2,即4c2=4(2-)2a2+4(-1)2a2,即有c2=(9-6)a2,即c=(-)a,即e==-.
8.B
9.A
10.C
11.A
解:
由题意可得即
所以
(b=c=4a时等号成立),故答案为A
12.C
【解析】令F(x)=x2f(x),则F′(x)=x2f′(x)+2xf(x)=,F
(2)=4·f
(2)=.由x2f′(x)+2xf(x)=,
得x2f′(x)=-2xf(x)=,∴f′(x)=.令φ(x)=ex-2F(x),
则φ′(x)=ex-2F′(x)=ex-=.
∴φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
∴φ(x)的最小值为φ
(2)=e2-2F
(2)=0.
∴φ(x)≥0.又x>0,
∴f′(x)≥0.
∴f(x)在(0,+∞)单调递增.
∴f(x)既无极大值也无极小值.
二、填空题
13.
【解析】∵,∴.当时,;
当时,.∴
14.2
15.7
【解析】由于是等差数列,所以,,
即又所以
所以因此使的最小值为7.
16.
【解析】连接F1P,OQ,因为点Q为线段PF2的中点,所以|F1P|=2|OQ|=2b,
由椭圆的定义得|PF2|=2a-2b,由F1P⊥F2P,得(2b)2+(2a-2b)2=(2c)2,解得2a=3b,e=,
所以==(a+)≥·2=(当且仅当a=时等号成立).
三、解答题
17.解:
(1)因为,即an+1=2Sn+1,…①
所以an=2Sn﹣1+1(n≥2),…②
所以①②两式相减得an+1﹣an=2an,即an+1=3an(n≥2)……………3分
又因为a2=2S1+1=3,所以a2=3a1,(无此步不给分)……………4分
故{an}是首项为1,公比为3的等比数列
∴an=3n﹣1.…………………………5分
(2)设{bn}的公差为d,由T3=15得,可得b1+b2+b3=15,可得b2=5,
故可设b1=5﹣d,b3=5+d,…………………………6分
又因为a1=1,a2=3,a3=9,并且a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,
所以可得(5﹣d+1)(5+d+9)=(5+3)2,
解得d1=2,d2=﹣10
∵等差数列{bn}的各项为正,
∴d>0,∴d=2,…………………………8分
∴.…………………………10分
18.解:
(Ⅰ)因为2accosB=a2+c2﹣b2,所以2(a2﹣b2)=a2+c2﹣b2+bc.……2分
整理得a2=b2+c2+bc,所以cosA=﹣,即A=.………………4分
(Ⅱ)因为∠DAC=,所以AD=CD•sinC,∠DAB=.………………6分
在△ABD中,有,又因为CD=3BD,
所以3sinC=2sinB,……………………………9分
由C=—B得cosB—sinB=2sinB,………………11分
整理得tanB=.………………12分
19.【解析】
(1)当时,,,
曲线在点处的切线斜率,
所以曲线在点处的切线方程为,即.(6分)
(2)由已知得,设(),,
∵,∴,∴在上是减函数,,
∴,即实数的取值范围是.(12分)
20.【解析】
(1)连接,在中,∵是中点,∴,
又∵平面,∴平面.(3分)
(2)第一种方法:
∵BB1⊥BC
BB1=BC
∴BB1C1C为正方形
∴BC1⊥B1C①
又∵∠ABC=90°=∠A1B1C1
即A1B1⊥B1C1
同时,BB1⊥面
∴BB1⊥A1B1
∴A1B1⊥面BB1C1C
∴A1B1⊥BC1②
∴由①②知
BC1⊥面B1A1C
由1)知MN∥BC1
∴MN⊥面A1B1C
第二种方法:
如图,以为原点建立空间直角坐标系.
则,,,,,,,
设平面的法向量,
,
令z=1,则x=0,y=-1,∴,∴,
∴平面.(7分)
(3)设平面的法向量为,,
,
令,则,,,∴,
∴,所求二面角的余弦值为.(12分)
21.解:
(Ⅰ)因为离心率,所以,则
所以椭圆E的方程为…………………………2分
因为AB∥l,且AB边通过点(0,0),所以AB所在直线的方程为y=x.
设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
由得x=±1.
所以|AB|=.…………………………4分
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离.
所以h=,S△ABC=|•h=2.…………………………6分
(Ⅱ)设AB所在直线的方程为y=x+m,
由得4x2+6mx+3m2﹣4=0.
因为A,B在椭圆上,
所以△=﹣12m2+64>0.
设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,…………………………8分
所以|AB|=.
又因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距离,即|BC|=…………10分
所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=﹣m2﹣2m+10=﹣(m+1)2+11.
所以当m=﹣1时,AC边最长,(这时△=﹣12+64>0)
此时AB所在直线的方程为y=x﹣1.…………………………12分
22.解:
(Ⅰ)函数与无公共点,
等价于方程在无解.............2分
令,则令得
+
0
-
增
极大值
减
因为是唯一的极大值点,故……………4分
故要使方程在无解,
当且仅当故实数的取值范围为….......…5分
(Ⅱ)假设存在实数满足题意,则不等式对恒成立.
即对恒成立.………………6分
令,则,
令,则,………………7分
∵在上单调递增,,,
且的图象在上连续,
∴存在,使得,即,则,………9分
∴当时,单调递减;
当时,单调递增,
则取到最小值,
∴,即在区间内单调递增.…………11分
,
∴存在实数满足题意,且最大整数的值为.………12分
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