相似三角形培优练习.docx
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相似三角形培优练习
相似三角形培优练习
1.如图OA=OB,∠ACB=90°,AE⊥DC交DC的延长线于点E,AC平分∠EAB。
(1)求证:
OC⊥ED;
(2)若AB=6,AE,求BD和BC的长。
2.如图,已知ABCD是正方形,点F在BC的延长线上,点E在AF上,OC=OB=OE,OE⊥AF,CF=4。
求:
(1)AD的长;
(2)CE的长。
3.如图,Rt中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,分别以AC、BC为边向形外作等边。
求证:
DE⊥DF
4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点G,E为AD的中点,连接BE交AC于点F,连接FD,若∠BFA=90°,判断下列四对三角形是否相似,若相似,给予证明。
①;②;③;④
5.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6cm,BC=14cm,∠B=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连接AP,过点P作PE交DC于点E,使得∠APE=∠B。
问:
在底边BC上是否存在一点P,使得DE:
EC=5:
3?
如果存在,求BP的长;如果不存在,说明理由。
6.如图,在正方形ABCD中,AD=8,点E是边CD上(不包括端点)的动点,AE的中垂线FG交AD、AE、BC于F、H、K,交AB的延长线于点G.
(1)设DE=m,,用含m的代数式表示t。
(2)当t=时,求BG的长。
7.如图,在中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高;E是BC边上的一个动点(不与B、C重合),EF⊥AB,EG⊥AC。
(1)求证:
;
(2)FD与DG是否垂直;若垂直,给予证明;若不垂直,说明理由;
(3)当AB=AC时,为等腰直角三角形吗?
并说明理由。
8.如图,是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是,点Q运动的速度是,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s)。
(1)当t=2时,判断的形状,并说明理由;
(2)设的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)作QR∥BA交AC于点R,连接PR,当t为何值时,∽?
9.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么:
⑴当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
⑵求四边形QAPC的面积;提出一个与计算结果有关的结论;
⑶当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
10.已知:
如图,在直角三角形ABC中,
∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连结DG并延长交AE于F,若∠FGE=45°,
(1)求证:
BD·BC=BG·BE;
(2)求证:
AG⊥BE;
(3)若E为AC的中点,求EF∶FD的值。
11.如图1,在正方形ABCD中,点P是对角线AC上一动点,PM⊥PN,PM交BC于Q,PN交CD于R.
(1)求证;PQ=PR
(2)求证:
PA·PN=PC·PM
(3)如图2,(若正方形变矩形),
(2)中的结论是否成立,如果,试探求:
12.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F,OE⊥BO交BC边于点E.
(1)求证:
△ABF∽△COE;
(2)当O为AC边中点,时,如图2,求的值;
(3)当O为AC边中点,时,请直接写出的值.
分析:
(1)要求证:
△ABF∽△COE,只要证明∠BAF=∠C,∠ABF=COE即可.
(2)作OG⊥AC,交AD的延长线于G,易证△ABF≌△COE,进而证明△ABF∽△GOF,根据相似三角形的对应边的比相等,即可得出所求的值.同理可得(3)OFOE=n.
解:
(1)∵AD⊥BC,∴∠DAC+∠C=90度.
∵∠BAC=90°,∴∠BAF=∠C.
∵OE⊥OB,∴∠BOA+∠COE=90°,
∵∠BOA+∠ABF=90°,∴∠ABF=COE.
∴△ABF∽△COE.
(2)解法一:
作OG⊥AC,交AD的延长线于G.
∵AC=2AB,O是AC边的中点,∴AB=OC=OA.
由
(1)有△ABF∽△COE,∴△ABF≌△COE,
∴BF=OE.
∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAB+∠ABD=90°,∴∠DAC=∠ABD,
又∠BAC=∠AOG=90°,AB=OA.
∴△ABC≌△OAG,∴OG=AC=2AB.
∵OG⊥OA,∴AB∥OG,∴△ABF∽△GOF,
∴OFBF=OGAB,OFOE=OFBF=OGAB=2.
解法二:
∵∠BAC=90°,AC=2AB,AD⊥BC于D,
∴Rt△BAD∽Rt△BCA.∴ADBD=ACAB=2.
设AB=1,则AC=2,BC=5,BO=2,
∴AD=255,BD=12AD=155.
∵∠BDF=∠BOE=90°,∴BDF∽△BOE,
∴BDDF=BOOE.
由
(1)知BF=OE,设OE=BF=x,∴155DF=2x,∴x=10DF.
在△DFB中x2=15+110x2,∴x=23.
∴OF=OB-BF=2-232=432.∴OFOE=432232=2.
(3)OFOE=n.
13.如图2-78所示.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.
即可,为此若能设法利用长度分别为AB,BC,CA及l=AB+AC这4条线段,构造一对相似三角形,问题可能解决.
注意到,原△ABC中,已含上述4条线段中的三条,因此,不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线,构造一个三角形,使它与△ABC相似,期望能解决问题.
证延长AB至D,使BD=AC(此时,AD=AB+AC),又延长BC至E,使AE=AC,连结ED.下面证明,△ADE∽△ABC.
设∠A=α,∠B=2α,∠C=4α,则
∠A+∠B+∠C=7α=180°.
由作图知,∠ACB是等腰三角形ACE的外角,所以
∠ACE=180°-4α=3α,
所以∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α.
从而
∠EAB=2α=∠EBA,AE=BE.
又由作图
AE=AC,AE=BD,
所以BE=BD,
△BDE是等腰三角形,所以
∠D=∠BED=α=∠CAB,
所以△ABC∽△DAE,
所以
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