初中数学 勾股定理专题训练.docx
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初中数学勾股定理专题训练
勾股定理综合试题
1.如图,在平面坐标系中,点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=OB,另有两点C(a,b)和D(b,﹣a)(a、b均大于0);
(1)连接OD、CD,求证:
∠ODC=45°;
(2)连接CO、CB、CA,若CB=1,C0=2,CA=3,求∠OCB的度数;
(3)若a=b,在线段OA上有一点E,且AE=3,CE=5,AC=7,求△OCA的面积.
2.如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,P、Q分别为AB、BC边上的动点,点P从点A开始沿A⇒B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始B→C方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发;设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求PQ的长;
(2)从出发几秒钟后,△PQB能形成等腰三角形?
(3)在运动过程中,直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分?
若能够,请求出运动时间;若不能够,请说明理由.
(4)当t在AC上运动时,求△BCQ成为等腰三角形的时间.
3.如图1,△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,D为AB的中点,M、N分别为AC、BC上一点,且DM⊥DN.
(1)求证:
CM+CN=
BD
(2)如图2,若M、N分别在AC、CB的延长线上,探究CM、CN、BD之间的数量关系式。
4.已知∠BCD=α,∠BAD=β,CB=CD.
(1)如图1,若α=β=90°,求证:
AB+AD=
AC;
(2)如图2,若α=β=90°,求证:
AB-AD=
AC;(3)如图3,若α=120°,β=60°,求证:
AB=AD=
AC;(4)如图3,若α=β=120°,求证:
AB-AD=
AC;
5.已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,AE=CF,连DE、EF.
(1)如图1,若E、F分别在AB、AC上,求证:
EF=
DE;
(2)如图2,若E、F分别在BA、AC的延长线上,则
(1)中的结论是否仍成立?
请说明理由.
6.已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=α,点P为△ABC内一点,将CP绕点C顺时针旋转α得到CD,连AD.
(1)如图1,当α=60°,PA=10,PB=6,PC=8时,求∠BPC的度数
(2)如图2,当α=90°,PA=3,PB=1,PC=2时,求∠BPC的度数
7.已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,∠EDF=90°,DE交射线AC于E,DF交射线CB于F.
(1)如图1,当AC=BC时,
、
、
之间的数量关系为__________(直接写出结果);
(2)如图2,当AC≠BC时,试确定
、
、
之间的数量关系,并加以证明;
(3)如图3,当AC≠BC时,
(2)中结论是否仍成立?
8.已知△OMN为等腰直角△,∠MON=90°,点B为NM延长线上一点,OC⊥OB,且OC=OB.
(1)如图1,连CN,求证:
CN=BM;
(2)如图2,作∠BOC的平分线交MN于A,求证:
(3)如图3,在
(2)的条件下,过A作AE⊥ON于E,过B作BF⊥OM于F,EA、BF的延长线交于P,请探究
、
、
之间的数量关系式.
9.已知点A的坐标为(1,-3),∠OAB=90°,OA=OB.
(1)如图1,求点B的坐标;
(2)如图2,AD⊥y轴于D,M为OB的中点,求DM的长;
10.已知点A、B分别在x轴、y轴上,OA=OB,点C为AB的中点,AB=12
.
(1)如图1,求点C的坐标
(2)如图2,E、F分别为OA上的动点,且∠ECF=45°,求证:
(3)在图2中,若点E的坐标为(3,0),求CF的长
11.如图,边长为8和4的矩形OABC的两边分别在平面直角坐标系的x轴和y轴上,若沿对角线AC折叠后,点B落在第四象限B1处,设B1C交x轴于点D.求:
(1)△ACD的面积;
(2)点B1的坐标.
12.已知∠ABC=90°,点P为射线BC上任意一点(与点B不重合),分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连接QE并延长交BP于点F.
(1)如图1,若AB=
,点A、E、P恰在一条直线上时,求此时EF的长;
(2)如图2,当点P为射线BC上任意一点时,猜想EF与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产生新的线段),并加以证明;
(3)若AB=
,设BP=4,求QF的长.
13.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,BC=
,点D在BC所在的直线上运动,作∠ADE=45°(A,D,E按逆时针方向).如图1,若点D在线段BC上运动,DE交AC于E.
(1)求证:
∠1=∠2.
(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
(3)如图2,若点D在BC的延长线上运动,DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′,是否存在点D,使△ADE′是等腰三角形?
若存在,写出所有点D的位置;若不存在,请简要说明理由.
14.如图,已知△ABC中,BC=AC=8厘米,∠C=90°,如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动,同时,点Q在线段BC上由C点向B点运动,运动速度与点P的运动速度相等,点M是AB的中点.
(1)在点P和点Q运动过程中,△APM与△CQM是否保持全等,请说明理由;
(2)在点P和点Q运动过程中,四边形PMQC的面积是否变化?
若变化说明理由;若不变,求出这个四边形的面积;
(3)线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系,写出这个关系,并加以证明.
15.已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如图1,若AB=AE,∠DAC=∠EAB=60°,则∠BFC=__________;
(2)如图2,若∠ABC=30°,△ACD是等边三角形,BC=4,AB=3.求BD的长;
(3)如图3,若∠ACD为锐角,作AH⊥BC于H,当BD2=4AH2+BC2时,判定∠DAC与∠ABC的数量关系,并证明你的结论.
16.某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出:
“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题.首先定义了一个新的概念:
如图
(1)△ABC中,M是BC的中点,P是射线MA上的点,设
=k,若∠BPC=90°,则称k为勾股比.
(1)如图
(1),过B、C分别作中线AM的垂线,垂足为E、D.求证:
CD=BE.
(2)①如图
(2),当k=1,且AB=AC时,AB2+AC2=____BC2(填一个恰当的数).
②如图
(1),当k=1,△ABC为锐角三角形,且AB≠AC时,①中的结论还成立吗?
若成立,请写出证明过程;若不成立,也请说明理由;
③对任意锐角或钝角三角形,如图
(1)、(3),请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可).
17在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,点E在DC的延长线上,AE交BC边于点F,且AE=AB.
(1)如图1,求证:
∠B=∠E:
(2)如图2,在
(1)的条件下,在BC上取一点M,使BM=CE,连接AM,过M作MH⊥AE于H,连接CH,若∠BAE=∠EHC=60°,CF=2,求线段AH的长.
18.如图,在直角坐标系中,点B坐标为(-4,0),点C与点B关于原点O对称,点A为y轴上一动点,其坐标为(0,k),BE,CD分别为△ABC中AC,AB边上的高,垂足分别为E,D.
(1)当k=-3时,求AB的长;
(2)试说明△DOE是等腰三角形;(3)k取何值时,△DOE是等边三角形?
(直接写出k的值即可)
19.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边BC上.
(1)如图1,如果AM=AN,求证:
BM=CN;
(2)如图2,如果M、N是边BC上任意两点,并满足∠MAN=45°,那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+CN2成立?
如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
20.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF、DC分别交于点G、H,∠ABE=∠CBE.
(1)求证:
BH=2CE;
(2)求证:
BG2-GE2=AE2.
21.如图,等边△ABC和等边△DEC,CE和AC重合,CE=
AB.
(1)求证:
AD=BE;
(2)若CE绕点C顺时针旋转30°,连BD交AC于点G,取AB的中点F,连接FG.求证:
BE=2FG.
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