第三章随机事件与概率.docx
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第三章随机事件与概率
第三章随机事件与概率
1.向上抛一颗制造均匀对称的股子,当它落地时,其向上的表面出现的点数是一个随机变量ξ,求Eξ,Dξ.
P{ξ=i}=1,i=1,2,6
解:
6
66
,
116(6+1)
Eξ=∑iP{ξ=i}=∑i
==3.5
6
i=1
i=1
662,
6
Dξ=∑(i-Eξ)2P(ξ=i)=
1∑(i-3.5)2=35
i=1
2.解:
P{ξ=k}=pqk,k=0,1,,
∞∞
6i=112
2
Eξ=
∑kpqk=pq∑kqk-1=pq(
1)=q
i=1
s(x)=
∞
∑
n=1
i=1
nxn-1⇒s(x)=
1
(1-x)
(1-q)p
2
∞∞
Eξ2=∑k2pqk=pq∑k2qk-1
i=1
∞
i=1
记h(x)=∑n2xn-1
n=1
∞∞
g(x)=
∑nxn=x∑nxn-1=x
2
n=1
n=1
(1-x)
∴h(x)=g'(x)=d⎛
x⎫=
1+x
⎝⎭
dxç(1-x)2⎪
Eξ2=pq1+q=q(1+q)
(1-x)3
(1-q)3p2
2
p
p
Dξ=Eξ2-E2ξ=q(1+q)-⎛q⎫=q
3.解:
p{ξ=n}=
∞
p2
1,n=1,2,
2n
ç⎪2
⎝⎭
=
n
2
Eξ=∑n1x=2
i=1
∞
2(1-x)
x=1
2
3
Eξ2=
∑n⋅1
=x⋅
1+x=6
n
i=1
2(1-x)
x=1
2
Dξ=Eξ2-E2ξ=6-4=2
4.解:
∞∞
p{ξ=k}=aqk-1,∑p{ξ=k}=∑aqk-1=a1
=1⇒a+q=1
i=1
∞
i=1
1-q
2
Eξ=
∑aqk-1k=a
1=10⇒a=10(1-q)2⇒1-q=1
i=1
∴q=0.9,a=0.1
10
(1-q)10
1-q10
P{ξ≤10}=∑0.1⋅0.9k-1=0.1⋅=(1-q)10=0.110
i=1
1-q
5.解:
设电台双方在建立联系前已拍发的呼唤信号的次数为ξ,据题意有
P{ξ=k}=0.2*0.8k-4,k=4,5,
∞∞
∑
Eξ=
∑k0.2*0.8k-4=
0.2
4
k0.8k
k=1
∞∞
0.8
k=4
4'45
而kxk=xkxk-1=x⎛x
⎫=4x
-3x
∑∑ç⎪2
k=4
k=4
⎝1-x⎭
(1-x)
0.24x4-3x5
4-3⨯0.8
Eξ===8
6.解:
0.84
(1-x)2
x=0.8
0.2
设ξ为试开次数,则
(1)
i-1
P{ξ=i}=⎛n-1⎫
1=1(1-1)i-1
çn⎪
nnn
⎝⎭
∴ξG(p),p=1,q=1-1=n-1
nnn
∴Eξ=1=n,Dξ=q
=n2n-1=n(n-1)
pp2n
(2)以η为试开次数,则
P{η=i}=n-1n-2n-i+|1⋅1=1
nn-1
n1n+1
n-i+2
n-i+1n
Eη=∑i⋅=
i=1
n
2
n2
211n(n+1)(2n+1)(n+1)(2n+1)
Eη=∑i
⋅==
i=1nn66
2
Dη=Eη2-E2η=n-1
12
7.解:
多项分布概率函数
kk
∑
f(x,x,,x)=
n!
pxpxpx,
p=1,
x=n
12n
x1!
x2!
12
xk!
k
12
ki
i=1
∑i
i=1
x2+x3++xk=n-x1=m,p2+p3++pk=1-p1
p'=
p2,p'=
p3,,p'=pk
1
21-p3
1-p1
1-p1
k
∴f(x1,x2,,xk)=
f(x1)g(x2,x3,,xk)
=⎛n!
px(1-p)n-x⎫⎛
m!
(p
')x(p
')x(p
')x⎫
1123k
ç11
⎝x1!
(n-x1)!
⎪ç23k⎪
⎭⎝x2!
x3!
xk!
⎭
f(x)=Cx1px1(1-p)n-x1B(n,p)
1n111
令:
∴Eξ1=rp1,Dξ1=rp1(1-p1),Eξ2=rp2,Dξ2=rp2(1-p2)
ξB(r,p1),ηB(r,p2)⇒ξ+ηB(r,p1+p2)
E(ξ+η)=r(p1+p2),D(ξ+η)=r(p1+p2)(1-p1-p2)
D(ξ+η)=Dξ+Dη+2cov(ξ,η)
∴cov(ξ,η)=-rp1p2
8.解:
当N=n时,ξB(n,0.1),E(ξ|N)=0.1N,由全期望公式,有
Eξ=E(E(ξ|N))=E(0.10N)=0.1EN=0.1*13.3=1.33
Eξ2=E(E(ξ2|N))=E(0.12N2)=0.01EN2
=0.01*178.9=1.789.
∴Dξ=Eξ2-E2ξ=1.789-1.332=0.0201
得二维联合分布表
9.解:
p{ξ=k}=
p{η=k}=
CC
k3-k
28
C
3
10
CC
k3-k
73
C
3
10
CC
k3-k
=28
120
CC
k3-k
=73
120
k=0,1,2
k=0,1,2,3
ξη
0123ξ
000
14
10
120
21
120
42
120
357
12015
7
0
15
1
2
120
71
00
12015
η1
120
7
40
2135
1
40120
2729
Eξ=∑kp{ξ=k}=+=
k=1
2
151515
72211
Eξ2=∑k2p{ξ=k}=+=
k=1
151515
Dξ=Eξ2-E2ξ=0.373,
Dξ=0.61
Eη=
7+21*2+35*3=2.1
4040120
22
Eη2=
7+21*2+35*3=4.9
4040120
Dη=Eη2-E2η=4.9-2.12=0.49,
Dη=0.7
Eξη=1*1*14
+1*2*42
+2*1*7
=0.933
120120120
∴cov(ξ,η)=Eξη-EξEη=-0.327
ρ=cov(ξ,η)=-0.327=-0.765
DξDη
0.61*0.7
10.解:
P333.
11.解:
Eξ=np,Dξ=npq,v
=Eξk,u
=E(ξ-Eξ)k∴
kk
nn
kmmn-m
k
J(n)=Eξk=
nk-1
∑
m=0
mCnpq=np
∑
m=1
k-1m-1m-1n-m
[m-1+1]Cpq
n-1
∑∑k-1
n-1
=npCi
m=1i=0
(m-1)iCm-1pm-1qn-m
k-1
∑
n
k-1∑
n-1
=npCi
i=0
k-1
m=1
n-1
(m-1)iCm-1pm-1q(n-1)-(m-1)
∑k-1∑
n-1pq
=npCi
i=0
k-1
m=0
miCmm
(n-1)-m
i
=np∑Ck-1Ji(n-1)
i=0
k-1
i
∴vk=Jk(n)=np∑Ck-1Ji(n-1)
i=0
v1=J1(n)=npJ0(n-1)=np
v2=J2(n)=np(J0(n-1)+J1(n-1))=np(1+(n-1)p)=np(q+pn)
2
i
v3=J3(n)=np∑C2Ji(n-1)=np(J0(n-1)+2J1(n-1)+J2(n-1))
i=0
=np[1+3(n-1)p+(n-1)(n-2)p2]
3
i
v4=J4(n)=np∑C3Ji(n-1)=np[J0(n-1)+3J1(n-1)+3J2(n-1)+J3(n-1)]
i=0
=np[1+3(n-1)p+6(n-1)(n-2)p2+(n-1)(n-2)(n-3)p3]
∴u=v
-3vv
+2v3=npq(q-p)
33211
u=v
-4vv
+6vv2-3v4
k432211
=npq[1+3(n-2)pq]
=npq(p3+q3)+3p2q2(n2-n)
kk
12.解:
p{ξ=k}=pq+pq
∞
k=1,2,
n
Eξ=∑p(ξ=k)k=q∑kpk+p∑kqk
kk=1
pqp2+q2
k=1
1-2pq
=q
1-p2
+p
1-q2
==
pqpq
∞n
Eξ2=∑p(ξ=k)k2=q∑k2pk+p∑k2qk
kk=1
k=1
=qp(1+p)+p
(1-p)3
p(1+p)=
(1-q)3
p4+p3+q4+q3
p2q2
Dξ=Eξ2-E2ξ=
py4+p3+q4+q3-p4-q4-2p2q2
p2q2
p3+q3-2p2q2
==
p2q2
q+p-2
p2q2
13解:
∞∞∞∞
P(η=l)=∑pkqlp+∑qkplq=ql∑pk+1+pl∑qk+1
k=1
22
k=1
k=1
k=1
=ql
p
1-p
+pl
q
1-q
=p2ql-1+q2pl-1,l=1,2,
∞∞22
Eη=p2
lql-1+q2
lpl-1=p+q=2
∑∑22
l=1
l=1
1-q
1-p
Eη2=p2
∞∞
l2ql-1+q2
l2pl-1=p2
1+q
+q2
1+p
=1+q+1+p
∑∑33
l=1
l=1
(1-q)(1-p)pq
2222
∴Dη=Eη2-E2η=1+p+q-4=1+p+q-4pqpqpq
p2+q2+(p+q)2-4pqp2+q2+p2+q2-2pqqp
===2(
+-1)
pqpqpq
14解(负二项分布)
∞∞
Eξ=∑k
k=0
Γ(v+k)
Γ(k+1)Γ(v)
pv(1-p)k=∑k
k=1
Γ(v+k)
Γ(k+1)Γ(v)
pv(1-p)k
∞∞
=∑Γ(v+k)pv(1-p)k=∑
Γ(v+m+1)pv(1-p)m+1
(m=k-1)
k=1Γ(k)Γ(v)
∞
m=0Γ(m+1)Γ(v)
=(1-p)∑(v+m)Γ(v+m)pv(1-p)m+1
m=0
Γ(m+1)Γ(v)
=(1-p)(v+Eξ)
⇒Eξ=v(1-p)
p
∞
Eξ2=∑k2
k=0
Γ(v+k)
Γ(k+1)Γ(v)
pv(1-p)k
∞
=∑k
k=1
∞
Γ(v+k)
Γ(k)Γ(v)
pv(1-p)k
=∑(m+1)
m=0
∞
Γ(v+m+1)
Γ(m+1)Γ(v)
pv(1-p)m+1
=(1-p)∑(m+1)(v+m)Γ(v+m)pv(1-p)m
m=0
Γ(m+1)Γ(v)
=(1-p)(vEξ+Eξ2+v+Eξ)
=(1-p)[(v+1)v(1-p)+Eξ2+v+Eξ)]
p
22
⇒Eξ2=(v+v)(1-p)+(1-p)v
p2p
22
∴Dξ=Eξ2-E2ξ=(v+v)(1-p)+(1-p)v-[(1-p)v]2
v(1-p)2
p2pp
(1-p)vv(1-p)
=+=
p2pp2
15.解:
η=eξ,ξB(n,p)
nn
kkn-kn
Eη=
∑
k=0
kkkn-k
eCpq=
n
∑
k=0
Cn(pe)q=(pe+q)
nn
k2kn-k2n
Eη2=
∑
k=0
2kkkn-k
eCpq=
n
∑
k=0
Cn(pe)q=(pe+q)
Dη=Eη2-E2η=(pe2+q)n-(pe+q)2n
16.
解:
由第一章习题65知,
P{η=0}=p{u取偶数}=1+(1-2p)
n1-(1-2p)n
⇒P{η=1}=1-P{u=0}=
22
nn
∴Eη=0⋅P{η=0}+1⋅P{η=1}=P{η=1}=1-(1-2p)
=1-(q-p)
22
17.解:
11
(1)Eξ=⎰xdx=
02
01
(2)Eξ=⎰xdx=-
(3)Eξ=⎰
-12
1
2xdx=1
0
18.解:
(Polya概型,参考第一章习题48P75)
⎧1,第n次取红球
n
ξ=⎨
n
,P{ξ=1}=
r,P{ξ=0}=b
⎩0,第n次取黑球
ξm
b+rn
b+r
01
ξn
b(b+c)
0
(b+r)(b+r+c)
br
(b+r)(b+r+c)
b
b+r
br
1
(b+r)(b+r+c)
b
b+r
r(r+c)(b+r)(b+r+c)
r
b+r
r
b+r
1
Eξ=Eξ=
r,Eξ2=Eξ2=r
mnb+r
mnb+r
Dξ=Dξ=
r-(r
)2=
rb,Dξ
Dξ=rb
mnb+rb+r
(b+r)2
mn(b+r)2
⎝⎭
2
cov(ξ,ξ)=Eξξ-EξEξ=
r(r+c)
-⎛r⎫=
crb
mnmnmn
(b+r)(b+r+c)
çb+r⎪
(b+r)2(b+r+c)
⇒ρ=
cov(ξm,ξn)
=c
ξm,ξn
DξDξ
b+r+c
mn
19.解:
Eξ=⎰
∞∞
xf(x)dx=⎰
∞
xbe-bxdx=-⎰
xde-bx
000
∞∞
=-[xe-bx]+⎰e-bxdx=
1∞1
e-bx=
00-b0b
∞-∞-
Eξ2=⎰
x2bebxdx=-⎰
x2debx
00
∞∞2∞2
=-[x2e-bx]+2⎰xe-bxdx=⎰xbe-bxdx=
00b0b2
Dξ=Eξ2-E2ξ=1
b2
20.解:
⎧0=F(-1-0)=F(-1)=a-πb=0
⎧a=1
⎪2∴⎪2
⎨⎨
⎪a+πb=F(1-0)=F
(1)=1
⎪b=1
⎩⎪2
⎩⎪π
∞1x
Eξ=⎰xdF(x)=⎰
1dx=0
-∞-1π
1-x2
∞11
Eξ2=⎰xdF(x)=⎰x2
1dx
-∞
-21
π-1
1-x2-1-2
1-x2
111
=⎰x2dx=
[⎰1-x2dx-⎰
dx]
π01-x2
π00
1-x2
-π-π
=2[⎰2cos2θdθ-arcsinθ1]=
2[1π-
]=1
π00
π2222
Dξ=1
2
21.解:
(β分布)ξ的密度函数为
⎧Axα-1(1-x)β-1,0 f(x)=⎨ ⎩0,其他 ∞ 1=⎰-∞ 1 ⎰ f(x)dx=Axα-1(1-x)β-1dx=AB(α,β),A= 0 1 B(α,β) ∞ Eξ=⎰-∞ xf(x)dx= 1 B(α,β) ⎰ 1 xα(1-x)β-1dx 0 =B(α+1,β)=α B(α,β) α+β Eξ2= 11B(α+2,β) ⎰xα+1(1-x)β-1dx= B(α,β)0 B(α,β) α+1 B(α+1,β) == α+β+11α+1α B(α,β) B(α,β) =α(α+1)(α+β)(α+β+1) B(α,β)α+β+1α+β ⎝⎭ 2 Dξ=Eξ2-E2ξ= α(α+1) -⎛α⎫=αβ (α+β)(α+β+1) 22.解(Rayleigh分布): ⎧0,x<0 ⎪ çα+β⎪ (α+β)2(α+β+1) f(x)= ⎨x- ⎪e x2 2a,x≥0 ⎩a ⎰ 2 2 ∞x-x∞-x ⎰0a e2adx=- 0 de2a ∞x2 Eξ=⎰ -x∞-x 2 2 dx=-⎰ e2a 0a x2 xde2a 0 x2x2 - =-[xe2a ∞ - ∞ 0⎰0 - e2adx]= ∞- ⎰ e2adx 0 ∞2 =2a⎰e-tdxdt= 2aπ= 2πa 022 3x2x2 ∞x Eξ2=⎰ -∞- e2adx=-⎰x2de2a 0a0 x2x2 - =-[x2e2a x2 ∞- - ⎰ ∞e2a2xdx] 00 x2 2a ∞- =2⎰0xe ∞x- 2a dx=2a⎰0ae dx=2a ∴Dξ=Eξ2-E2ξ=2a-πa=a(4-π) 22 23.解: f(x)=1e-|x|
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