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初中数学竞赛辅导资料(70)
正整数简单性质的复习
甲.连续正整数
一.n位数的个数:
一位正整数从1到9,共9个,两位数从10到99,共90个,三位数从100到999共9×102个,那么n位数的个数共__________.(n是正整数)
练习:
1.一本书共1989页,用0到9的数码,给每一页编号,总共要用数码___个.
2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数;
100110021003……19881989是_______位数.
3.除以3余1的两位数有____个,三位数有____个,n位数有_______个.
4.从1到100的正整数中,共有偶数____个,含3的倍数____个;
从50到1000的正整数中,共有偶数____个,含3的倍数____个.
二.连续正整数的和:
1+2+3+……+n=(1+n)×.
把它推广到连续偶数,连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.
练习:
5.计算2+4+6+……+100=__________.
6.1+3+5+……+99=____________.
7.5+10+15+……+100=_________.
8.1+4+7+……+100=____________.
9.1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数?
答______
10.和等于100的连续正整数共有______组,它们是______________________.
11.和等于100的连续整数共有_____组,它们是__________________________.
三.由连续正整数连写的整数,各位上的数字和
整数123456789各位上的数字和是:
(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45;
1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.
练习:
12.整数1234……9991000各位上的数字和是_____________.
13.把由1开始的正整数依次写下去,直到第198位为止:
这个数用9除的余数是__________.
(1987年全国初中数学联赛题)
14.由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中:
①它是一个________位数;
②它的各位上的数字和等于________;
③从这一数中划去100个数字,使剩下的数尽可能大,那么剩下的数的前十位是___________________________.
四.连续正整数的积:
①1×2×3×…×n记作n!
读作n的阶乘.
②n个连续正整数的积能被n!
整除.
如:
2!
|a(a+1),3!
|a(a+1)(a+2),n!
|a(a+1)(a+2)…(a+n-1).a为整数.
③n!
中含有质因数m的个数是++…+.
[x]表示不大于x的最大正整数,i=1,2,3…mi≤n
如:
1×2×3×…×10的积中,含质因数3的个数是:
=3+1=4
练习:
15.在100!
的积中,含质因数5的个数是:
____
16.一串数1,4,7,10,……,697,700相乘的积中,末尾共有零_______个 (1988年全国初中数学联赛题)
17.求证:
10494|1989!
18.求证:
4!
|a(a2-1)(a+2)a为整数
五.两个连续正整数必互质
练习:
19.如果n+1个正整数都小于2n,那么必有两个是互质数,试证之.
乙.正整数十进制的表示法
一.n+1位的正整数记作:
an×10n+an-1×10n-1+……+a1×10+a0
其中n是正整数,且0≤ai≤9(i=1,2,3,…n)的整数,最高位an≠0.
例如:
54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.
例题:
从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233.试证:
A能被99整除.
证明:
A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33
=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.
∵100的任何次幂除以9的余数都是1,即100n=(99+1)n≡1(mod9)
∴A=99k+12+13+14+……+31+32+33(k为正整数)
=99k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)
=99k+45×11
=99k+99×5.
∴A能被99整除.
练习:
20.把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除
二.常见的一些特例
=10n-1,=(10n-1),(10n-1).
例题:
试证明12,1122,111222,11112222,……这些数中的任何一个,都是两个相邻的正整数的积.
证明:
第n个数是=×10n+
=(10n+2)
=
=
=×.证毕.
练习:
21.化简×+1=_______________________________.
22.化简=____________________________________________.
23.求证是合数.
24.已知:
存在正整数n,能使数被1987整除.
求证:
数p=和
数q=都能被1987整除.
(1987年全国初中数学联赛题)
25.证明:
把一个大于1000的正整数分为末三位一组,其余部分一组,若这两组数的差,能被7(或13)整除,则这个正整数就能被7(或13)整除.
26.求证:
×15+1是完全平方数.
丙.末位数的性质
.一.用N(a)表示自然数的个位数.例如a=124时,N(a)=4; a=-3时,N(a)=3.
1.N(a4k+r)=N(ar)a和k都是整数,r=1,2,3,4.
特别的:
个位数为0,1,5,6的整数,它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4,9的正偶数次幂的个位数也是它本身.
2.N(a)=N(b)N(a-b)=010|(a-b).
3.若N(a)=a0,N(b)=b0.则N(an)=N(a0n);N(ab)=N(a0b0).
例题1:
求①53100;和②7的个位数.
解:
①N(53100)=N(34×24+4)=N(34)=1
②先把幂的指数77化为4k+r形式,设法出现4的因数.
77=77-7+7=7(76-1)+4+3
=7(72-1)(74+72+1)+4+3
=7×4×12×(74+72+1)+4+3
=4k+3
∴N(7)=N(74k+3)=N(73)=3.
练习:
27.19891989的个位数是______,9的个位数是_______.
28.求证:
10|(19871989-19931991).
29.2210×3315×7720×5525的个位数是______.
二.自然数平方的末位数只有0,1,4,5,6,9;
连续整数平方的个位数的和,有如下规律:
12,22,32,……,102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.
1.用这一性质计算连续整数平方的个位数的和
例题1.填空:
12,22,32,……,1234567892的和的个位数的数字是_______.
(1991年全国初中数学联赛题)
解:
∵12,22,32,……,102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.
11到20;21到30;31到40;………123456781到123456789,的平方的个位数的和也都是45.所以所求的个位数字是:
(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.
2.为判断不是完全平方数提供了一种方法
例题2.求证:
任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.
证明:
(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数,那么可记作:
(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2(n,k都是整数)
5(n2+2)=k2.
∵k2是5的倍数,k也是5的倍数.
设k=5m,则5(n2+2)=25m2.
n2+2=5m2.
n2+2是5的倍数,其个位数只能是0或5,那么n2的倍数是8或3.
但任何自然数平方的末位数,都不可能是8或3.
∴假设不能成立
∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.
3.判断不是完全平方数的其他方法
例题3.已知:
a是正整数.
求证:
a(a+1)+1不是完全平方数
证明:
∵a(a+1)+1=a2+a+1,且a是正整数
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