等差数列数学总复习.docx
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等差数列数学总复习
等差数列数学总复习
等差数列数学总复习汇总
高三特长班数学总复习——等差数列
一、知识梳理
1.数列:
如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即.如,则______,=______,1是该数列中的项么?
如果是,是第几项?
8是不是该数列的项?
2、数列中,,求则等于多少?
3.等差数列的概念:
如果一个数列从第二项起,_______________等于同一个常数,这个数列叫做等差数列,常数称为等差数列的_____.
4.通项公式与前项和公式
⑴通项公式____________________⑵前项和公式________________或._________________
5.等差中项:
是与的等差中项,,成等差数列.
6.等差数列的判定方法
⑴定义法:
(,是常数)是等差数列;
⑵中项法:
()是等差数列.
7.等差数列的常用性质
(1)
(2)若,则_______________;
二、高考链接
1、.在等差数列中,,则
2、设是等差数列的前n项和,已知,,则等于( )
A.13B.35C.49D.63
2、已知是等差数列,,其前10项和,则其公差( )
A.B.C.D.
已知等差数列的前3项和为6,前8项和为-4。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
三、抢分演练
1、若等差数列{}的前三项和且,则等于()
A.3B.4C.5D.6
2、等差数列的前项和为若( )
A.12B.10C.8D.6
3、等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=( )
A.9B.10C.11D.12
4、已知等差数列的前项和为,若,则
5、已知是等差数列,,,则该数列前10项和等于()
A.64B.100C.110D.120
6、若等差数列的前5项和,且,则()
A.12B.13C.14D.15
7、设等差数列的前n项和为,若,则..
8、如果等差数列中,++=12,那么++…+=
(A)14(B)21(C)28(D)35
9、设数列的前n项和,则的值为
(A)15(B)16(C)49(D)64
10、等差数列{an}的前n项和为Sn,若()
A.12B.18C.24D.42
11、设等差数列的前项和为,若,,则( )
A.63B.45C.36D.27
12、已知数列{}的前项和,则其通项;若它的第项满足,则.
2020届高考数学难点突破复习导数的概念
音美班案1导数的概念(理)
一、基础过关
1.导数的概念:
函数y=的导数,就是当Δ0时,函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的,即==.
2.导函数:
函数y=在区间(a,b)内的导数都存在,就说在区间(a,b)内,其导数也是(a,b)内的函数,叫做的,记作或,函数的导函数在时的函数值,就是在处的导数.
3.导数的几何意义:
设函数y=在点处可导,那么它在该点的导数值等于函数所表示曲线在相应点处的.
4.求导数的方法
(1)=;=;(n∈Q)=,=
(2)===,=
(3)复合函数的导数:
二、典型例题
例1、一质点运动的方程为。
(1)求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度;
(2)求质点在t=1时的瞬时速度
例2求下列函数的导数
(1)
(2)
变式训练1:
求y=tanx的导数.
例3、已知曲线y=
(1)求曲线在x=2处的切线方程;
(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.
变式训练2、例3中求斜率为4的曲线的切线方程。
三、课后练习
1、(全国Ⅰ新卷理3)曲线在点(-1,-1)处的切线方程为()
(A)y=2x+1(B)y=2x-1(C)y=-2x-3(D)y=-2x-2
2、(2009?
全国Ⅰ理,9)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )A.1B.2C.-1D.-2
3.(2020?
聊城模拟)曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e2B.2e2C.e2D.e22
4、若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( )A.1B.2C.22D.3
四、小结归纳
理解平均变化率的实际意义,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,熟记求导公式,对于复合函数的导数要层层求导.
音美班案2导数的应用1(理)
一、基础过关
1、函数单调性:
函数单调性的判定方法:
设函数在某个区间内可导,如果>0,则为增函数;如果<0,则为减函数.
如果函数在区间内恒有=0,则为常数.
2.极值的判别方法:
当函数在点处连续时,
①如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么是极大值;
②如果在附近的左侧<0,右侧>0,那么是极小值.
注:
若点是可导函数的极值点,则=0.反之不一定成立.对于可导函数,其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零.
例:
①函数,使=0,但不是极值点.
②函数,在点处不可导,但点是函数的极小值点.
3.极值与最值的区别:
极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.
二、例题分析
例.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:
3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值.
(1)求a,b,c的值;?
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
变式训练1.设x=1与x=2是函数的两个极值点。
(1)试确定常数a和b的值;
(2)试判断x=1,x=2是函数的极大值点还是极小值点,并求相应极值。
三、课后练习
1、(2020?
聊城模拟)函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是( )A.(0,3)B.0,32C.(0,+∞)D.(-∞,3)
2、若f(x)=-12x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的范围是
A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1]D.(-∞,-1)
3、若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为()?
?
A.a≥3?
B.a=3C.a≤3D.04、设为实数,函数的极值为
5、已知函数f(x)的导函数为,且满足f(x)=3x2+2x,则=
四、归纳小结
研究可导函数的单调性、极值(最值)时,应先求出函数的导函数,再找出=0的x取值或>0(<0)的x的取值范围.
音美班教学案3导数的应用2(理)
例1.已知f(x)=ex-ax-1.?
(1)求f(x)的单调增区间;?
(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;?
(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?
若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
变式训练1.已知函数f(x)=x3-ax-1.?
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;?
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?
若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由;?
(3)证明:
f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.?
例3.已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.
2020届高考数学函数复习教案
2020高中数学精讲精练第二函数
【知识导读】
【方法点拨】
函数是中学数学中最重要,最基础的内容之一,是学习高等数学的基础.高中函数以具体的幂函数,指数函数,对数函数和三角函数的概念,性质和图像为主要研究对象,适当研究分段函数,含绝对值的函数和抽象函数;同时要对初中所学二次函数作深入理解.
1.活用“定义法”解题.定义是一切法则与性质的基础,是解题的基本出发点.利用定义,可直接判断所给的对应是否满足函数的条,证明或判断函数的单调性和奇偶性等.
2.重视“数形结合思想”渗透.“数缺形时少直观,形缺数时难入微”.当你所研究的问题较为抽象时,当你的思维陷入困境时,当你对杂乱无的条感到头绪混乱时,一个很好的建议:
画个图像!
利用图形的直观性,可迅速地破解问题,乃至最终解决问题.
3.强化“分类讨论思想”应用.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:
分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”.
4.掌握“函数与方程思想”.函数与方程思想是最重要,最基本的数学思想方法之一,它在整个高中数学中的地位与作用很高.函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题,转化问题和解决问题.
第1函数的概念
【考点导读】
1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上,通过集合与对应的语言刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.
2.准确理解函数的概念,能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数.
【基础练习】
1.设有函数组:
①,;②,;③,;④,;⑤,.其中表示同一个函数的有___②④⑤___.
2.设集合,,从到有四种对应如图所示:
其中能表示为到的函数关系的有_____②③____.
3.写出下列函数定义域:
(1)的定义域为______________;
(2)的定义域为______________;
(3)的定义域为______________;(4)的定义域为_________________.
4.已知三个函数:
(1);
(2);(3).写出使各函数式有意义时,,的约束条:
(1)______________________;
(2)______________________;(3)______________________________.
5.写出下列函数值域:
(1),;值域是.
(2);值域是.
(3),.值域是.
【范例解析】
例1.设有函数组:
①,;②,;
③,;④,.其中表示同一个函数的有③④.
分析:
判断两个函数是否为同一函数,关键看函数的三要素是否相同.
解:
在①中,的定义域为,的定义域为,故不是同一函数;在②中,的定义域为,的定义域为,故不是同一函数;③④是同一函数.
点评:
两个函数当它们的三要素完全相同时,才能表示同一函数.而当一个函数定义域和对应法则确定时,它的值域也就确定,故判断两个函数是否为同一函数,只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可.
例2.求下列函数的定义域:
①;②;
解:
(1)①由题意得:
解得且或且,
故定义域为.
②由题意得:
,解得,故定义域为.
例3.求下列函数的值域:
(1),;
(2);
(3).
分析:
运用配方法,逆求法,换元法等方法求函数值域.
(1)解:
,,函数的值域为;
(2)解法一:
由,,则,,故函数值域为.
解法二:
由,则,,,,故函数值域为.
(3)解:
令,则,,
当时,,故函数值域为.
点评:
二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法;逆求法利用函数有界性求函数的值域;用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围.
【反馈演练】
1.函数f(x)=的定义域是___________.
2.函数的定义域为_________________.
3.函数的值域为________________.
4.函数的值域为_____________.
5.函数的定义域为_____________________.
6.记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.
(1)求A;
(2)若BA,求实数a的取值范围.
解:
(1)由2-≥0,得≥0,x<-1或x≥1,即A=(-∞,-1)∪[1,+∞).
(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).
∵BA,∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥或a≤-2,而a<1,
∴≤a<1或a≤-2,故当BA时,实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[,1).
第2函数的表示方法
【考点导读】
1.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.
2.求解析式一般有四种情况:
(1)根据某个实际问题须建立一种函数关系式;
(2)给出函数特征,利用待定系数法求解析式;(3)换元法求解析式;(4)解方程组法求解析式.
【基础练习】
1.设函数,,则_________;__________.
2.设函数,,则_____3_______;;.
3.已知函数是一次函数,且,,则__15___.
4.设f(x)=,则f[f()]=_____________.
5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________.
【范例解析】
例1.已知二次函数的最小值等于4,且,求的解析式.
分析:
给出函数特征,可用待定系数法求解.
解法一:
设,则解得
故所求的解析式为.
解法二:
,抛物线有对称轴.故可设.
将点代入解得.故所求的解析式为.
解法三:
设,由,知有两个根0,2,
可设,,
将点代入解得.故所求的解析式为.
点评:
三种解法均是待定系数法,也是求二次函数解析式常用的三种形式:
一般式,顶点式,零点式.
例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km,甲10时出发前往乙家.如图,表示甲从出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系.试写出的函数解析式.
分析:
理解题意,根据图像待定系数法求解析式.
解:
当时,直线方程为,当时,直线方程为,
点评:
建立函数的解析式是解决实际问题的关键,把题中字语言描述的数学关系用数学符号语言表达.要注意求出解析式后,一定要写出其定义域.
【反馈演练】
1.若,,则(D)
A. B. C. D.
2.已知,且,则m等于________.
3.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.求函数g(x)的解析式.
解:
设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为,
则
∵点在函数的图象上
第3函数的单调性
【考点导读】
1.理解函数单调性,最大(小)值及其几何意义;
2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性.
【基础练习】
1.下列函数中:
其中,在区间(0,2)上是递增函数的序号有___②___.
2.函数的递增区间是___R___.
3.函数的递减区间是__________.
4.已知函数在定义域R上是单调减函数,且,则实数a的取值范围__________.
5.已知下列命题:
①定义在上的函数满足,则函数是上的增函数;
②定义在上的函数满足,则函数在上不是减函数;
③定义在上的函数在区间上是增函数,在区间上也是增函数,则函数在上是增函数;
④定义在上的函数在区间上是增函数,在区间上也是增函数,则函数在上是增函数.
其中正确命题的序号有_____②______.
【范例解析】
例.求证:
(1)函数在区间上是单调递增函数;
(2)函数在区间和上都是单调递增函数.
分析:
利用单调性的定义证明函数的单调性,注意符号的确定.
证明:
(1)对于区间内的任意两个值,,且,
因为
又,则,,得,
故,即,即.
所以,函数在区间上是单调增函数.
(2)对于区间内的任意两个值,,且,
因为,
又,则,,得,
故,即,即.
所以,函数在区间上是单调增函数.
同理,对于区间,函数是单调增函数;
所以,函数在区间和上都是单调增函数.
点评:
利用单调性定义证明函数的单调性,一般分三步骤:
(1)在给定区间内任意取两值,;
(2)作差,化成因式的乘积并判断符号;(3)给出结论.
例2.确定函数的单调性.
分析:
作差后,符号的确定是关键.
解:
由,得定义域为.对于区间内的任意两个值,,且,
则
又,,
,即.
所以,在区间上是增函数.
点评:
运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定.
【反馈演练】
1.已知函数,则该函数在上单调递__减__,(填“增”“减”)值域为_________.
2.已知函数在上是减函数,在上是增函数,则__25___.
3.函数的单调递增区间为.
4.函数的单调递减区间为.
5.已知函数在区间上是增函数,求实数a的取值范围.
解:
设对于区间内的任意两个值,,且,
则,
,,得,,,即.
第4函数的奇偶性
【考点导读】
1.了解函数奇偶性的含义,能利用定义判断一些简单函数的奇偶性;
2.定义域对奇偶性的影响:
定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条;不具备上述对称性的,既不是奇函数,也不是偶函数.
【基础练习】
1.给出4个函数:
①;②;③;④.
其中奇函数的有___①④___;偶函数的有____②____;既不是奇函数也不是偶函数的有____③____.
2.设函数为奇函数,则实数-1.
3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(A)
A.B.C.D.
【范例解析】
例1.判断下列函数的奇偶性:
(1);
(2);
(3);(4);
(5);(6)
分析:
判断函数的奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,再利用定义判断.
解:
(1)定义域为,关于原点对称;,
所以为偶函数.
(2)定义域为,关于原点对称;,
,故为奇函数.
(3)定义域为,关于原点对称;,且,
所以既为奇函数又为偶函数.
(4)定义域为,不关于原点对称;故既不是奇函数也不是偶函数.
(5)定义域为,关于原点对称;,,则且,故既不是奇函数也不是偶函数.
(6)定义域为,关于原点对称;
,又,
,故为奇函数.
点评:
判断函数的奇偶性,应首先注意其定义域是否关于原点对称;其次,利用定义即或判断,注意定义的等价形式或.
例2.已知定义在上的函数是奇函数,且当时,,求函数的解析式,并指出它的单调区间.
分析:
奇函数若在原点有定义,则.
解:
设,则,.
又是奇函数,,.
当时,.
综上,的解析式为.
作出的图像,可得增区间为,,减区间为,.
点评:
(1)求解析式时的情况不能漏;
(2)两个单调区间之间一般不用“”连接;(3)利用奇偶性求解析式一般是通过“”实现转化;(4)根据图像写单调区间.
【反馈演练】
1.已知定义域为R的函数在区间上为减函数,且函数为偶函数,则(D)
A.B.C.D.
2.在上定义的函数是偶函数,且,若在区间是减函数,则函数(B)
A.在区间上是增函数,区间上是增函数
B.在区间上是增函数,区间上是减函数
C.在区间上是减函数,区间上是增函数
D.在区间上是减函数,区间上是减函数
3.设,则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为____1,3___.
4.设函数为奇函数,则________.
5.若函数是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且,则使得的x的取
值范围是(-2,2).
6.已知函数是奇函数.又,,求a,b,c的值;
解:
由,得,得.又,得,
而,得,解得.又,或1.
若,则,应舍去;若,则.
所以,.
综上,可知的值域为.
第5 函数的图像
【考点导读】
1.掌握基本初等函数的图像特征,学会运用函数的图像理解和研究函数的性质;
2.掌握画图像的基本方法:
描点法和图像变换法.
【基础练习】
1.根据下列各函数式的变换,在箭头上填写对应函数图像的变换:
(1);
(2).
2.作出下列各个函数图像的示意图:
(1);
(2);(3).
解:
(1)将的图像向下平移1个单位,可得的图像.图略;
(2)将的图像向右平移2个单位,可得的图像.图略;
(3)由,将的图像先向右平移1个单位,得的图像,再向下平移1个单位,可得的图像.如下图所示:
3.作出下列各个函数图像的示意图:
(1);
(2);(3);(4).
解:
(1)作的图像关于y轴的对称图像,如图1所示;
(2)作的图像关于x轴的对称图像,如图2所示;
(3)作的图像及它关于y轴的对称图像,如图3所示;
(4)作的图像,并将x轴下方的部分翻折到x轴上方,如图4所示.
4.函数的图象是(B)
【范例解析】
例1.作出函数及,,,,的图像.
分析:
根据图像变换得到相应函数的图像
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