九年级数学第23章旋转教案.docx
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九年级数学第23章旋转教案
第二十三章旋转
23.1图形的旋转
(1)
教学目标:
1、知识与技能:
了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念,了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题.
2、过程与方法:
通过复习平移、轴对称的有关概念及性质,从生活中的数学开始,经历观察,产生概念,应用概念解决一些实际问题.
3、情感态度与价值观:
让学生经历观察、操作等过程,了解图形旋转的概念,激发学习热情.
教学重点
旋转及对应点的有关概念及其应用.
教学难点
从活生生的数学中抽出概念.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们完成下面各题.
1.将如图所示的四边形ABCD平移,使点B的对应点为点D,作出平移后的图形.
第1题第2题
2.如图,已知△ABC和直线L,请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′.
3.圆是轴对称图形吗?
等腰三角形呢?
你还能指出其它的吗?
(口述)老师点评并总结:
(1)平移的有关概念及性质.
(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它既有的一些性质.
(3)什么叫轴对称图形?
二、探索新知
我们前面已经复习平移等有关内容,生活中是否还有其它运动变化呢?
回答是肯定的,下面我们就来研究.
1.请同学们看讲台上的大时钟,有什么在不停地转动?
旋绕什么点呢?
从现在到下课时钟转了多少度?
分针转了多少度?
秒针转了多少度?
(口答)老师点评:
时针、分针、秒针在不停地转动,它们都绕时针的中心.如果从现在到下课时针转了_______度,分针转了_______度,秒针转了______度.
2.再看我自制的好像风车风轮的玩具,它可以不停地转动.如何转到新的位置?
3.第1、2两题有什么共同特点呢?
共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形,那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度.
像这样,把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.
如果图形上的点P经过旋转变为点P′,那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
下面我们来运用这些概念来解决一些问题.
三、例题讲解
例1.如图,如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF,
在这个旋转过程中:
(1)旋转中心是什么?
旋转角是什么?
(2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置?
解:
(1)旋转中心是O,∠AOE、∠BOF等都是旋转角.
(2)经过旋转,点A和点B分别移动到点E和点F的位置.
例2.(学生活动)如图,四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1
的正方形.
(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的?
(2)请画出旋转中心和旋转角.
(3)指出,经过旋转,点A、B、C、D分别移到什么位置?
解:
(1)可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的.
(2)画图略.
(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.
四、巩固练习
教材P59-练习1、2、3.
五、归纳小结
本节课要掌握:
1.旋转及其旋转中心、旋转角的概念.
2.旋转的对应点及其它们的应用.
六、布置作业
教材P62-习题23.1第1、2、3题
23.1图形的旋转
(2)
教学目标:
1、知识与技能:
理解对应点到旋转中心的距离相等;理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;理解旋转前、后的图形全等.掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用.
2、过程与方法:
先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念,接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质.
3、情感态度与价值观:
从事图形旋转基本性质的探索活动,进一步发展空间观察,培养运动几何的观点,增强审美意识.
教学重点
图形的旋转的基本性质及其应用.
教学难点
运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)老师口问,学生口答.
1.什么叫旋转?
什么叫旋转中心?
什么叫旋转角?
2.什么叫旋转的对应点?
3.请独立完成下面的题目.
如图,O是六个正三角形的公共顶点,正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形?
分析:
能.看做是一条边(如线段AB)绕O点,按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的.
二、探索新知
上面的解题过程中,能否得出什么结论,请回答下面的问题:
1.A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等?
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等?
3.旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA全等吗?
答:
(1)距离相等,
(2)夹角相等,(3)前后图形全等,
那么这个是否有一般性?
下面请看这个实验.
请看我手里拿着的硬纸板,我在硬纸板上挖下一个三角形的洞,再挖一个点O作为旋转中心,把挖好的硬纸板放在黑板上,先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC),然后围绕旋转中心O转动硬纸板,在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′),移去硬纸板.
(分组讨论)根据图回答下面问题(一组推荐一人上台说明)
1.线段OA与OA′,OB与OB′,OC与OC′有什么关系?
2.∠AOA′,∠BOB′,∠COC′有什么关系?
3.△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系?
老师点评:
1.OA=OA′,OB=OB′,OC=OC′,也就是对应点到旋转中心相等.
2.∠AOA′=∠BOB′=∠COC′,我们把这三个相等的角,即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角.
3.△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等,即全等.
综合以上的实验操作和刚才作的(3),得出
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)旋转前、后的图形全等.
三、例题讲解
例1.如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B对应点的位置,以及旋转后的三角形.
解:
(1)连结CD
(2)以CB为一边作∠BCE,使得∠BCE=∠ACD
(3)在射线CE上截取CB′=CB
则B′即为所求的B的对应点.
(4)连结DB′
则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形.
例2.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=
,△ABF是△ADE的旋转图形.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)AF的长度是多少?
(4)如果连结EF,那么△AEF是怎样的三角形?
分析:
由△ABF是△ADE的旋转图形,可直接得出旋转中心和旋转角,要求AF的长度,根据旋转前后的对应线段相等,只要求AE的长度,由勾股定理很容易得到.△ABF与△ADE是完全重合的,所以它是直角三角形.
解:
(1)旋转中心是A点.
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的
∴B是D的对应点
∴∠DAB=90°就是旋转角
(3)∵AD=1,DE=
∴AE=
=
∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点
∴AF=
(4)∵∠EAF=90°(与旋转角相等)且AF=AE
∴△EAF是等腰直角三角形.
四、巩固练习
教材P61-练习1、2、3.
五、归纳小结
本节课应掌握:
1.对应点到旋转中心的距离相等;
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
3.旋转前、后的图形全等及其它们的应用.
六、布置作业
教材P62-习题23.1第4、5题
23.2.1中心对称
教学目标:
1、知识与技能:
了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题.
2、过程与方法:
复习运用旋转知识作图,旋转角度变化,设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念,并运用它解决一些实际问题.
3、情感态度与价值观:
让学生通过独立思考,自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵,获得知识,体验成功,享受学习乐趣.
教学重点
利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题.
教学难点
从一般旋转中导入中心对称.
教学过程
一、复习引入
请同学们独立完成下题.
如图,△ABC绕点O旋转,使点A旋转到点D处,画出旋转
后的三角形,并写出简要作法.
作法:
(1)连结OA、OB、OC、OD;
(2)分别以OB、OB为边作∠BOM=∠CON=∠AOD;
(3)分别截取OE=OB,OF=OC;
(4)依次连结DE、EF、FD;
即:
△DEF就是所求作的三角形,如图所示.
二、探索新知
问题:
作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案,并回答下列的问题:
1.以O为旋转中心,旋转180°后两个图形是否重合?
2.各对称点绕O旋转180°后,这三点是否在一条直线上?
可以发现,如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的,即甲图与乙图重合,
△
OAB与△COD重合.
像这样,把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心.
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
三、例题讲解
例1.如图,四边形ABCD绕D点旋转180°,请作出旋转后的图案,写出作法并回答.
(1)这两个图形是中心对称图形吗?
如果是对称中心是哪一点?
如果不是,请说明理由.
(2)如果是中心对称,那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点.
答:
(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形,对称中心是D点.
(2)A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′,这里的D′与D重合.
例2.如图,已知AD是△ABC的中线,画出以点D为对称中心,与△ABD成中心对称的三角形.
解:
(1)延长AD,且使AD=DA′,因为C点关于D的中心对称点是B(C′),B点关于中心D的对称点为C(B′)
(2)连结A′B′、A′C′.
则△A′B′C′为所求作的三角形,如图所示.
四、巩固练习
教材P66-练习1、2题
五、归纳小结
本节课应掌握:
1.中心对称及对称中心的概念;
2.关于中心的对称点的概念及其运用.
六、布置作业:
教材P69-习题23.2第1题
23.2.2中心对称
教学目标:
1、知识与技能:
理解关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分;理解关于中心对称的两个图形是全等图形;掌握这两个性质的运用.
2、过程与方法:
复习中心对称的基本概念(中心对称、对称中心,关于中心的对称点),提出问题,让学生分组讨论解决问题,老师引导总结中心对称的基本性质.
3、情感态度与价值观:
让学生通过独立思考,自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵,获得知识,体验成功,享受学习乐趣.
教学重点
中心对称的两条基本性质及其运用.
教学难点
让学生合作讨论,得出中心对称的两条基本性质.
教学过程
一、复习引入
1.什么叫中心对称?
什么叫对称中心?
2.什么叫关于中心的对称点?
3.请同学随便画一三角形,以三角形一顶点为对称中心,画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形,并分组讨论能得到什么结论.
二、探索新知
(老师)在黑板上画一个三角形ABC,分两种情况作两个图形
(1)作△ABC一顶点为对称中心的对称图形;
(2)作关于一定点O为对称中心的对称图形.
第一步,画出△ABC.
第二步,以△ABC的C点(或O点)为中心,旋转180°画出△A′B′和△A′B′C′,如图1和用2所示.
(1)
(2)
从图
(1)中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形;分别连接对称点AA′、BB′、CC′,点O在这些线段上且O平分这些线段.
下面,我们就以图2为例来证明这两个结论.
证明:
(1)在△ABC和△A′B′C′中,OA=OA′,OB=OB′,∠AOB=∠A′OB′
∴△AOB≌△A′OB′
∴AB=A′B′
同理可证:
AC=A′C′,BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′
(2)点A′是点A绕点O旋转180°后得到的,即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′,所以点O在线段AA′上,且OA=OA′,即点O是线段AA′的中点.
同样地,点O也在线段BB′和CC′上,且OB=OB′,OC=OC′,即点O是BB′和CC′的中点.因此,我们就得到
1.关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.
2.关于中心对称的两个图形是全等图形.
三、例题讲解
例1.如图,已知△ABC和点O,画出△DEF,使△DEF和△ABC关于
点O成中心对称.
分析:
中心对称就是旋转180°,关于点O成中心对称就是绕O旋转180°,因此,
我们连AO、BO、CO并延长,取与它们相等的线段即可得到.
解:
(1)连结AO并延长AO到D,使OD=OA,于是得到点A的对称点D,如图所示.
(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.
(3)顺次连结DE、EF、FD.
四、巩固练习
教材P67-练习1、2.
五、归纳小结
本节课应掌握:
中心对称的两条基本性质:
1.关于中心对称的两个图形,对应点所连线都经过对称中心,而且被对称中心所平分;
2.关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用.
六、布置作业:
教材P69-习题23.2-2
23.2.3关于原点对称的点的坐标
教学目标:
1、知识与技能:
理解P与点P′点关于原点对称时,它们的横纵坐标的关系,掌握P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y)的运用.
2、过程与方法:
复习轴对称、旋转,尤其是中心对称,知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用.
3、情感态度与价值观:
复习平面直角坐标系的有关概念,通过实例归纳出两个点关于原点对称时,坐标符号之间的关系,并运用它解决一些实际问题.享受成功的喜悦,激发学习热情.
教学重点
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点P′(-x,-y)及其运用.
教学难点
运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们完成下面三题.
1.已知点A和直线L,如图,请画出点A关于L对称的点A′.
2.如图,△ABC是正三角形,以点A为中心,把△ADC顺时
针旋转60°,画出旋转后的图形.
3.如图△ABO,绕点O旋转180°,画出旋转后的图形.
第1题第2题第3题
老师点评:
老师通过巡查,根据学生解答情况进行点评.
二、探索新知
(学生活动)如图23-74,在直角坐标系中,已知A(-3,1)、B(-4,0)、C(0,3)、
D(2,2)、E(3,-3)、F(-2,-2),作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点,并写出它们的坐标,并回答:
这些坐标与已知点的坐标有什么关系?
老师点评:
画法:
(1)连结AO并延长AO
(2)在射线AO上截取OA′=OA
(3)过A作AD′⊥x轴于D′点,过A′作A′D″⊥x轴于点D″.
∵△AD′O与△A′D″O全等
∴AD′=A′D″,OA=OA′
∴A′(3,-1)
同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标.
(学生活动)分组讨论(每四人一组):
讨论的内容:
关于原点作中心对称时,①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系?
纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系?
②坐标与坐标之间符号又有什么特点?
提问几个同学口述上面的问题.
老师点评:
(1)从上可知,横坐标与横坐标的绝对值相等,纵坐标与纵坐标的绝对值相等.
(2)坐标符号相反,即设P(x,y)关于原点O的对称点P′(-x,-y).
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,
即点P(x,y)关于原点O的对称点P′(-x,-y).
三、例题讲解
例1.如图,利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出与线段AB关于原点对称的图形.
分析:
要作出线段AB关于原点的对称线段,只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可.
解:
点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y),
因此,线段AB的两个端点A(0,-1),B(3,0)关于原点的对称点分别为A′(1,0),B′(-3,0).
连结A′B′.
则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′.
例2.已知△ABC,A(1,2),B(-1,3),C(-2,4)利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出△ABC关于原点对称的图形.
老师点评分析:
先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC,要作出△ABC关于原点O的对称三角形,只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点,依次连结,便可得到所求作的△A′B′C′.
四、巩固练习
教材P69-练习1、2、3.
五、归纳小结(学生总结,老师点评)
本节课应掌握:
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y),关于原点的对称点P′(-x,-y),及其利用这些特点解决一些实际问题.
六、布置作业
教材P69-习题23.2第3、4题
23.3课题学习图案设计
教学目标:
1、知识与技能:
利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计,设计出称心如意的图案.
2、过程与方法:
通过复习平移、轴对称、旋转的知识,然后利用这些知识让学生开动脑筋,敝开胸怀大胆联想,设计出一幅幅美丽的图案.
3、情感态度与价值观:
让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动,享受成功的喜悦,激发学习热情.
教学重点
设计图案
教学难点
如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们独立完成下面的各题.
1.如图,已知线段CD是线段AB平移后的图形,D是B点的对称点,作出线段AB,并回答,AB与CD有什么位置关系.
2.如图,已知线段CD,作出线段CD关于对称轴L的对称线段C′D′,并说明CD与对称线段C′D′之间有什么关系?
3.如图,已知线段CD,作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形,并说明这两条线段之间有什么关系?
老师点评:
1.AB与CD平行且相等;2.过D点作DE⊥L,垂足为E并延长,使ED′=ED,同理作出C′点,连结C′D′,则CD′就是所求的.CD的延长线与C′D′的延长线相交于一点,这一点在L上并且CD=C′D′.3.以D点为旋转中心,旋转后CD⊥C′D′,垂足为D,并且CD=C′D.
二、探索新知
请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或组合完成下面的图案设计.
例1.(学生活动)学生亲自动手操作题.
按下面的步骤,请每一位同学完成一个别致的图案.
(1)准备一张正三角形纸片(课前准备)(如图a)
(2)把纸片任意撕成两部分(如图b,如图c)
(3)将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称,得到新的图形.
(4)并将(3)得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转,得到如图(d)(如图c)保持不动)
(5)把如图(d)平移到如图(c)的右边,得到如图(e)
(6)对如图(e)进行适当的修饰,使得到一个别致美丽的如图(f)的图案.
老师必要时可以给予一定的指导.
三、巩固练习
教材P74-活动1.
四、应用拓展
例2.(学生活动)请利用线段、三角形、矩形、菱形、圆作为基本图形,绘制一幅反映你身边面貌的图案,并在班级里交流展示.
老师点评:
老师点到为止,让学生自由联想,老师也可在黑板上设计一、二图案.
五、归纳小结
本节课应掌握:
利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案
六、布置作业
教材P74-活动2
第二十三章《旋转》小结
一、旋转变换
1、旋转的定义
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。
点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角,如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2、旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
(3)旋转前、后的图形全等。
3、作旋转后的图形的一般步骤
(1)明确三个条件:
旋转中心,旋转方向,旋转角度;
(2)确定关键点,作出关键点旋转后的对应点;
(3)顺次连结。
4、欣赏较复杂旋转图形
图形是由什么基本图形,以哪个点为中心,按哪个方向(顺时针或逆时针)旋转多少度,连续旋转几次,便得到美丽的图案。
5、有关图形旋转的一些计算题和证明题
二、中心对称
1、中心对称的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
2、中心对称的性质
(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心平所平分。
(2)关于中心对称的两个图形是全等形。
3、作中心对称和图形的一般步骤
(1)确定“代表性的点”;
(2)作出每个代表性的点的对应点;
(3)顺次连结。
三、中心对称图形
1、中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心,过对称中心的直线,可以把图形分成完全重合的两部分。
2、中心对称图形的识别
常见的几何图形,如:
线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆,26个大写英文字母(7个),正多边等要会识别,并指出对称中心。
3、两个图形成中心对称和中心对称图形的区别与联系
区别:
(1)中心对称是指两个图形的位置关系,而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形。
(2)研究对象的个数不同,中心对称指两个图形,而中心对称图形只研究一个对象。
(3)中心对称图形的对称中心是图形自身或内部的点,而两个图形关于某点成中心对称,对称中心不定。
联系:
两者均是关于点的对称,它们之间无绝对界限,当把两个图形看作整体时,即为中心对称图形,若把中心对称图形看作两部分则两部就可以关于一点成中心对称。
4、中心对称图形和轴对称图形的关系
(1)对称轴条数为正偶数的轴对称图形是中心对称图形,对称中心是对称轴的交点;
(2)对称轴条数相互垂直的轴对称图形是中心对称图形。
(3)轴对称图形是翻转180°与自身重合,而中心对称图形是旋转180°与自身重合。
四、关于原点对称的点的坐标
1、关于原点对称的点的坐标特征:
点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y).
2、作关于原点成中心对称的图形的步骤:
(1)写出各点关于原点对称的点
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