高三数学 33函数的和差积商的导数第二课时大纲人教版选修.docx
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高三数学33函数的和差积商的导数第二课时大纲人教版选修
2019-2020年高三数学3.3函数的和、差、积、商的导数(第二课时)大纲人教版选修
教学目标
一、教学知识点
商的导数法则.
二、能力训练要求
1.理解商的导数法则,并能运用.
2.能够综合运用各种法则求函导数.
三、德育渗透目标
1.提高学生的运算速度,培养学生的运算能力.
2.培养学生思维的严密性、科学性.
教学重点
商的导数法则.
教学难点
商的导数法则的理解与记忆,以及它的证明过程,证明过程要讲究严密性,在用极限的四则运算法则时,要使每个函数都有极限.
教学方法
讲授法
教学过程
Ⅰ.课题导入
[师]我们先来看一下下面几个函数的导数.
[板书](x5)′=5x4,(x3)′=3x2.
∴.
而()′=(x2)′=2x,
∴(′≠.
[师]所以,商的导数不等于导数的商,那么商的导数有什么法则呢?
可以直接根据法则进行求导,而不需要用定义来求.上节课我们学习了和(或差)的导数法则,以及积的导数法则,这节课再来学习商的导数法则.
Ⅱ.讲授新课
[师]先复习一下和、差、积的导数法则,以及n个函数的和、积的导数.(学生回答,老师板书)
1.和(或差)的导数
法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即(u±v)′=u′±v′.
2.积的导数
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,
即(uv)′=u′v+uv′.
特例(Cu)′=Cu′.
3.(f1+f2+…+fn)′=f1′+f2′+…+fn′.
4.(f1f2…fn)′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1…fn-2fn-1′fn+f1…fn-1fn′.
5.商的导数
法则3:
两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,
即(v≠0).
证明:
=
=
=
.
∵v(x)在点x处可导,所以v(x)在点x处连续,
∴当Δx→0时,v(x+Δx)→v(x).
∴
即.
[师]用商的导数法则时,要注意分母v不能等于0.到现在我们已经学习了和、差、积、商的导数法则,并会用几种常见函数的导数公式,在求一些函数的导数时,就可以很方便地运用这些公式、法则去求,而不必从导数的定义出发了.
6.课本例题
[例5]求的导数.
[分析]该题可以直接利用商的导数法则.
解:
[例6]求在点x=3处的导数.
[分析]该题既要用到商的导数法则,还要用到和的导数法则.
解:
=
=
.
∴y′|x=3=
.
7.精选例题
[例1]求·Cosx的导数.
[师生共析]这道题可以看作两个函数的乘积,也可以看作两个函数的商,所以不同的看法有不同的做法.这道题可以用两种方法来求.
解法一:
y′=(·Cosx)′
=()′Cosx+(Cosx)′
=()′Cosx-sinx
=
=
=.
解法二:
y′=(·Cosx)′=()′
=
=
=
=
.
[例2]求y=Cotx的导数.
解:
y′=(Cotx)′=()′
=
=
=
[例3](xx年南通市高考模拟题第16题)设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-xx),则f′(xx)=_________.
[师生共析]共有xx个一次因式相乘,若直接用积的求导法则运算量太大,要去括号又困难重重.考虑到它只求x=1处的导数,不妨把这xx个因式划分成两部分求导.
[学生板演]f′(x)={(x-1)[(x-2)(x-3)…(x-xx)]}′
=(x-1)′[(x-2)…(x-xx)]+(x-1)[(x-2)…(x-xx)]′
=(x-2)(x-3)…(x-xx)+(x-1)[(x-2)…(x-xx)]′
=…
=(x-2)(x-3)(x-xx)+(x-1)(x-3)…(x-xx)+…+(x-1)(x-2)…(x-xx).
令x=xx,得f′(xx)
=(xx-2)(xx-3)…(xx)+(xx-1)(xx-2)…(xx)+…+(xx-1)(xx-2)…(xx)
=0+0+…+0+xx×xx×…×1=xx!
.
[生]也可以这样解:
把(x-1)(x-2)…(x-xx)写成[(x-1)(x-2)…(x-xx)]与(x-xx)的积.
∴f′(x)=[(x-1)(x-2)…(x-xx)]′(x-xx)+(x-1)(x-2)…(x-xx)·(x-xx)′
=[(x-1)(x-2)…(x-xx)]′(x-xx)+(x-1)(x-2)…(x-xx).
∴f′(xx)=0+(xx-1)(xx-2)…(xx)
=xx×xx×xx×…×1=xx!
.
Ⅲ.课堂练习
1.
(1)
;
(2)
.
解:
(1)
(2)
=
=
=
.
2.求过曲线上的点P(4,)且与该曲线相切的直线方程.
解:
∵.∴
∴
.
∴过点P的切线斜率为k=y′|x=4=
.
∴切线方程为(x-4),即有5x+16y+8=0.
∴所求直线方程是5x+16y+8=0.
Ⅳ.课时小结
这节课主要学习了商的导数法则(v≠0),如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则,来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P120~121习题3.3 1(3)(4)(5)(6),2(3)(4),3,4,5,6.
(二)1.预习内容:
P121~123复合函数的导数.
2.预习提纲:
求复合函数的导数法则,预习例1,如何运用法则来求导,要注意什么,或步骤是什么.
板书设计
§3.3.2 函数的和、差、积、商的导数
(二)
举例说明.
1.和(或差)的导数(u±v)′=u′±v′.
2.积的导数(uv)′=u′v+uv′,(Cu)′=Cu′.
3.(f1+f2+…fn)′=f1′+f2′…+fn′.
4.(f1f2…fn)′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+…+f1…fn-2fn-1′fn+f1…fn-1fn′.
5.商的导数(v≠0).
商的导数的证明.
课本例题
例5.求的导数.
例6.求在点x=3处的导数.
精选例题
例1.求·Cosx的导数.
例2.求y=Cotx的导数.
例3.(xx年南通模拟题)
课堂练习
1.
(1)
;
(2)
.
2.
课后作业
2019-2020年高三数学3.4复合函数的导数(第一课时)大纲人教版选修
课时安排
2课时
从容说课
本节讲述复合函数的微分法,先通过实例,引出复合函数的求导法则,接下来对法则进行了证明,然后通过三个例题说明法则的使用.
对于复合函数,以前学生只是见过,但教科书没有专门介绍过它的概念,教学时,可以先由引入求导法则的实例,让学生对复合函数的概念有一个初步的认识,再结合后面的例题、习题,逐步了解.也可以将xx年高考(江苏卷)试题中y=(x-a)n的导数,从复合函数的角度来求导,让学生认识到其作用,大大缩短了解题链.
在进行复合函数的求导法则教学时,首先通过课本的实例,让学生对求导法则有一个直观的了解,如求y=(3x-2)2的导数y′时,分两组求解,一是先展开后求导再合并,二是把3x-2看成整体u,先对u2求导,再求u的导数(关于x),比较2u·u′x与y′的关系.再举几个实例,让学生发现规律,由学生提出法则:
y=f[u(x)],则y′=f′u·u′x,然后让学生探索证明过程.要把握好教学的尺度.
在处理“当Δx→0时Δu→0”的时候,可以指出,其依据是“可导函数的连续性”.又如,推导时,要求Δu≠0.
复合函数求导法则的应用是本节的教学重点,在教学时应注意:
①选定中间变量要适当;②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导,不要混淆;③复合函数的求导法则还可以应用于已知一个方程来确定变量间的函数关系的情况.例如,已知y2=2px,求y′x.
第八课时
课 题
3.4.1 复合函数的导数
(一)
教学目标
一,教学知识点
复合函数的求导法则.
二,能力训练要求
1.理解掌握复合函数的求导法则.
2.能够利用上述公式,并结合已学过的法则、公式,进行一些复合函数的求导.
三,德育渗透目标
1.培养学生善于观察事物,善于发现规律,认识规律,掌握规律,利用规律.
2.培养学生归纳、猜想的数学方法.
3.加深学生对一般和特殊的理解,培养学生用联系的观点看问题.
4.培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.
教学重点
复合函数的求导法则的概念与应用,复合函数的导数是导数的重点,也是导数的难点.
教学难点
复合函数的求导法则的导入与理解.要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导,求导时对哪个变量求导要写明.可以通过具体的例子,让学生对求导法则有一个直观的了解.
教学方法
建构主义式
由几个具体的实例,通过学生自己动手计算,比较结果,进行观察、总结,能够自己发现规律,得到结论.让学生主动地进行学习,而不是被动地接受知识.培养学生的创新意识.
教具准备
实物投影仪
先由几个例子,引出复合函数的求导法则.几个例子可以先写在纸上,用表格的形式写出,分别让学生求y′x,y′u,u′x和y′u·u′x,答案写入表格中,让学生将y′x与y′u·u′x的结果进行比较.
教学过程
Ⅰ.课题导入
[师]我们已经学习了一些基本初等函数的导数.基本初等函数一共有六种:
①常量函数y=C(C是常数),②幂函数y=xa(a∈R),③指数函数y=ax(a>0,a≠1),④对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0),⑤三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,⑥反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx.其中常量函数、幂函数、三角函数的导数已经学过了,指数函数和对数函数的导数下几节课学.这节课我们来学习由基本初等函数复合而成的函数的导数.
Ⅱ.讲授新课
(一)复合函数的导数
[师]我们来看几个函数.(由实物投影仪投影出来)
y
(3x-2)2
(sinx)2
(x+1)3
(x-1)3
sin2x
u
3x-2
sinx
x+1
x-1
2x
y(u)
u2
u2
u3
u3
sinu
y′x
18x-12
2sinxcosx
3(x+1)2
3(x-1)2
2cos2x
y′u
2u
2u
3u2
3u2
cosu
u′x
3
cosx
1
1
2
y′u·u′x
18x-12
2sinxcosx
3(x+1)2
3(x-1)2
2cos2x
[师]这五个函数都是由一些一次函数、二次函数、三次函数和三角函数复合而成的.像这种形式的函数,即由几个函数复合而成的函数,就叫做复合函数,下面来求一下y′x,y′u,u′x和y′u·u′x,并且y′u·u′x用x表示.
(给学生时间做题,做好了,让学生回答,说出答案,老师用笔写在纸上,让投影仪投影出来,再让学生观察表格中的数据有什么关系.虚框内的是后来填上去的)
[生]这几个函数y′x与yx′·u′x的值是相同的.
[师]我们把u称为中间变量,那对于一般的复合函数是不是有相同的结论呢?
要求y′x,只要求y′u与u′x的乘积,也就是说y′x=y′u·u′x.我们来证明一下下面的一个命题.
[板书]
1.设函数u=φ(x)在点x处有导数u′x=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f[φ(x)]在点x处也有导数,且y′x=y′u·u′x或f′x[φ(x)]=f′(u)φ′(x).
证明:
设x有增量Δx,则对应的u,y分别有增量Δu,Δy,因为u=φ(x)在点x处可导,所以u=φ(x)在点x处连续.因此当Δx→0时,Δu→0.
(为了证明起来比较方便,而且在不影响结论的情况下,我们只考虑)当Δu≠0时,由,且,
∴
=
=,
即y′x=y′u·u′x.
[师]所以对于一般的复合函数,结论也成立,以后我们求y′x时,就可以转化为求yu′和u′x的乘积,关键是找中间变量,随着中间变量的不同,难易程度也不同.上述证明的命题就是复合函数的求导法则.
2.复合函数的求导法则
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
(二)课本例题
[例1]求y=(2x+1)5的导数.(让学生设中间变量)
解:
设y=u5,u=2x+1,
∴y′x=y′u·u′x=(u5)′u·(2x+1)′x
=5u4·2=5(2x+1)4·2=10(2x+1)4.
注意:
在利用复合函数的求导法则求导数后,要把中间变量换成自变量的函数.
[师]有时复合函数可以由几个基本初等函数组成,所以在求复合函数的导数时,先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的,特别要注意将哪一部分看作一个整体,然后按照复合次序从外向内逐层求导.
(三)精选例题
[例1][xx年江苏高考21
(1)]已知a>0,n为正整数,设y=(x-a)n.
证明:
y′=n(x-a)n-1.
分析:
设y=un,u=x-a.
∴y′x=y′u·u′x=nun-1·(x-a)′
=n·(x-a)n-1·1=n(x-a)n-1.
解:
∵y=(x-a)n,可以设y=un,u(x)=x-a,
∴y′x=y′u·u′x=(un)′·(x-a)′
=n·un-1(x′-a′)=n(x-a)n-1·1
=n(x-a)n-1.
[例2](xx年江西省高考模拟题)设y=f(sinx)是可导函数,则y′x等于( )
A.f′(sinx)
B.f′(sinx)cosx
C.f(sinx)cosx
D.f′(cosx)·cosx
分析:
该函数分两层,中间变量u=sinx,外层f(u)对u求导为f′(u),而不是f′(u′),内层函数u=sinx对x求导为cosx.
解:
令u=sinx,∴y′x=f′(u)·u′x=f′(sinx)·(sinx)′=f′(sinx)·cosx.
故选B.
[例3]求f(x)=sinx2的导数.(让学生设中间变量)
解:
令y=f(x)=sinu,u=x2.
∴y′x=y′u·u′x=(sinu)′u·(x2)x′
=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2.
∴f′(x)=2xcosx2.
[例4]求y=sin2(2x+)的导数.
分析:
设u=sin(2x+)时,求u′x,但此时u仍是复合函数,所以可再设v=2x+.
解:
令y=u2,u=sin(2x+),
再令u=sinv,v=2x+.
∴y′x=y′u·u′x=y′u·(u′v·v′x).
∴y′x=y′u·u′v·v′x
=(u2)′u·(sinv)′v·(2x+)′x
=2u·cosv·2
=2sin(2x+)cos(2x+)·2
=4sin(2x+)cos(2x+)
=2sin(4x+),
即y′x=2sin(4x+).
[例5]求y=的导数.
[学生板演]
解:
令y=,u=ax2+bx+c.
∴y′x=y′u·u′x=()′u·(ax2+bx+c)′x
=u·(2ax+b)
=(ax2+bx+c)·(2ax+b)
=,
即y′x=.
[例6]求函数y=(2x2-3)的导数.
分析:
y可看成两个函数的乘积,2x2-3可求导,是复合函数,可以先算出对x的导数.
解:
令y=uv,u=2x2-3,v=.
令v=,ω=1+x2.
v′x=v′ω·ω′x=()′ω·(1+x2)′x
=ω(2x)==.
∴y′x=(uv)′x=u′xv+uv′x
=(2x2-3)′x·+(2x2-3)·
=4x+
=,
即y′x=.
Ⅲ.课堂练习
1.求下列函数的导数.(先设中间变量,再求导)
(1)y=(5x-3)4;
(2)y=(2+3x)5;
(3)y=(2-x2)3;(4)y=(2x3+x)2.
解:
(1)令y=u4,u=5x-3.
∴y′x=y′u·u′x=(u4)′u·(5x-3)′x
=4u3·5=4(5x-3)3·5=20(5x-3)3.
(2)令y=u5,u=2+3x.
∴y′x=y′u·u′x=(u5)′u·(2+3x)′x
=5u4·3=5(2+3x)4·3=15(2+3x)4.
(3)令y=u3,u=2-x2.
∴y′x=y′u·u′x=(u3)′u·(2-x2)′x
=3u2·(-2x)=3(2-x2)2(-2x)
=-6x(2-x2)2.
(4)令y=u2,u=2x3+x.
∴y′x=y′u·u′x
=(u2)′u·(2x3+x)′x
=2u·(2·3x2+1)
=2(2x3+x)(6x2+1)
=24x5+16x3+2x.
2.
(1)函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:
∵y′=2(x+1)(x-1)+(x+1)2,
∴y′|x=1=4,故选D.
(2)(xx年湖北高考题)已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=(x-1)3+3(x-1)
B.f(x)=2(x-1)+3
C.f(x)=2(x-1)2+3
D.f(x)=x-1
解析:
检验每个选项,看哪一个函数在x=1处的导数为3.
当f(x)=2(x-1)+3时,f′(x)=2;当f(x)=2(x-1)2+3时,f′(x)=4(x-1);当f(x)=x-1时,f′(x)=1.故只有A合适,所以选A.
Ⅳ.课时小结
这节课主要学习了复合函数的求导法则.复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即y′x=y′u·u′x,并且在利用复数的求导法则求导数后,最后结果要把中间变量换成自变量的函数.复合函数,可以是一个中间变量,也可以是两个或多个中间变量,应该按照复合次序从外向内逐层求导.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P123习题3.4 1
(1)
(2),2
(1)
(2),3
(2).
(二)1.预习内容:
课本P122~123例2、例3.
2.预习提纲:
预习例2、例3的解题过程,复习巩固复合函数的求导法则.
板书设计
3.4.1 复合函数的导数
(一)
1.设函数u=φ(x)在点x处有导数u′x=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f[φ(x)]在点x处也有导数,且y′x=y′u·u′x或f′x[φ(x)]=f′(u)φ′(x).
2.复合函数的求导法则.
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
课本例题
例1.求y=(2x+1)5的导数.
精选例题
求下列函数的导数.
例1.(xx年江苏高考题)
例2.(xx年江西省高考模拟题)
例3.f(x)=sinx2.
例4.y=sin2(2x+).
例5.y=.
例6.y=(2x2-3).
课堂练习
1.求下列函数的导数.
(1)y=(5x-3)4;
(2)y=(2+3x)5;
(3)y=(2-x2)3;
(4)y=(2x3+x)2.
2.
课时小结
课后作业
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- 关 键 词:
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