知识点整合与训练第三章 导数及其应用第3节 定积分与微积分基本定理.docx
- 文档编号:24460030
- 上传时间:2023-05-27
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:69.98KB
知识点整合与训练第三章 导数及其应用第3节 定积分与微积分基本定理.docx
《知识点整合与训练第三章 导数及其应用第3节 定积分与微积分基本定理.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《知识点整合与训练第三章 导数及其应用第3节 定积分与微积分基本定理.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
知识点整合与训练第三章导数及其应用第3节定积分与微积分基本定理
第3节 定积分与微积分基本定理
最新考纲 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念,几何意义;2.了解微积分基本定理的含义.
知识梳理
1.定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式f(ξi)Δx=f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dx=
在f(x)dx中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.
(2)定积分的几何意义
f(x)
f(x)dx的几何意义
f(x)≥0
表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积
f(x)<0
表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
f(x)在[a,b]上有正有负
表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积
2.定积分的性质
(1)kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数).
(2)[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx.
(3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b).
3.微积分基本定理
一般地,如果f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)-F(a)记为F(x),即f(x)dx=F(x))=F(b)-F(a).
[微点提醒]
函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有
(1)若f(x)为偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx.
(2)若f(x)为奇函数,则f(x)dx=0.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)dx=f(t)dt.( )
(2)曲线y=x2与y=x所围成的面积是(x2-x)dx.( )
(3)若f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.( )
(4)定积分f(x)dx一定等于由x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.( )
(5)加速度对时间的积分是路程.( )
解析
(2)y=x2与y=x所围成的面积是(x-x2)dx.
(3)若f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形在x轴下方的面积比在x轴上方的面积大.
(4)定积分f(x)dx等于由x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成图形的面积的代数和.
(5)加速度对时间的积分是速度,速度对时间的积分才是路程.
答案
(1)√
(2)× (3)× (4)× (5)×
2.(选修2-2P50A5改编)定积分|x|dx=( )
A.1B.2C.3D.4
解析 |x|dx=(-x)dx+xdx=2xdx=x2=1.
答案 A
3.(选修2-2P60A6改编)已知质点的速度v=10t,则从t=0到t=t0质点所经过的路程是( )
A.10tB.5tC.tD.t
解析 S=vdt==5t.
答案 B
4.(2018·青岛月考)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积S,正确的是( )
A.S=(4x-x3)dxB.S=(x3-4x)dx
C.S=dyD.S=dy
解析 两函数图象的交点坐标是(0,0),(2,8),故对x积分时,积分上限是2、下限是0,由于在[0,2]上,4x≥x3,故直线y=4x与曲线y=x3所围成的封闭图形的面积S=(4x-x3)dx.
答案 A
5.(2019·安阳模拟)若a=x2dx,b=x3dx,c=sinxdx,则a,b,c的大小关系是( )
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 知识点整合与训练第三章 导数及其应用第3节 定积分与微积分基本定理 知识点 整合 训练 第三 导数 及其 应用 积分 微积分 基本 定理