浅谈三角函数.docx
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浅谈三角函数
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black;background-color: #ffff66'>浅谈三角函数【作者】白琴【关键词】三角函数? ? 起源? ? ? 证明? ? ? 公式【指导老师】姜杨【专业】数学与应用数学【正文】 1、引言 三角函数在数学学习中占有很重要的位置,无论是它的理论来源还是它的使用价值。 它的理论来源经历了数位数学工作者辛勤查寻、实践得来。 研究三角函数的部分数学工作者有尼西亚的喜帕恰斯(公元前180-125年)、埃及的托勒密(公元90-180年)、Aryabhata(公元476-550年),Varahamihira、婆罗摩笈多、花拉子密、Abūal-Wafā\’al-Būzjānī、欧玛尔? 海亚姆、婆什迦罗第二、Nasiral-Dinal-Tusi、Ghiyathal-Kashi(14世纪)、UlughBeg(14世纪)、约翰? 缪勒(1464)、Rheticus和Rheticus? 的学生ValentinOtho。 ? ? ? ? ? MadhavaofSangamagramma(约1400)以无穷级数的方式做了三角函数的分析的早期研究。 欧拉的《无穷微量解析入门》(IntroductioinAnalysinInfinitorum)(1748)对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献,他定义三角函数为无穷级数,并表述了欧拉公式,还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tan.、cot.、sec.? 和csc.? 不用多说,看一看三角学的发展历史就知道,这门学科的最初目的是要根据三角形的边、角大小来计算未知的边、角大小,使它能在测量,航海等实际问题中发挥作用,由于三角形是所有图形的基础所以彻底弄清楚三角形的各种定理,法则,以及种种公式,研究他们的使用方法,对于三角学的学习是基础。 它的运用也无其不在。 针对现在的初等教育制度,高中教材所列出来的三角函数的有关内容,在课本中是比较简单的,然而起实际运用起来是很复杂的。 高考制度让这些学生只看中利用三角函数做题,而没有更多的考虑它的运用。 而且三角函数的高考题目也是千变万化,让高考的学生摸不着头脑。 只能是抱着试一试的态度来做题,没有很大的把握。 因此针对这些,本文也会给出少许的建议。 以三角函数的运用为例,可以考察中学数学中的很多知识点,由特殊到一般,由简单到复杂,通过实践学习、数形结合、转化和化归的思想来提高学生的思维、创新、实践能力? 。 因此从这里足以体现出三角函数的重要性。 初步的三角函数是比较简单的,也很容易掌握。 然而,它的转变形式是比较困难的,而且也是复杂多变的,很容易搞混淆。 而刘祖望老师却有他自己的一套简单易记的学习方法,是经过他多年的学习积累而掌握。 借此借鉴使用一下刘老师对三角函数的学习成果,也期望通过对刘老师简单掌握三角函数的学习方法做一个简单的说明。 2、预备知识 三角函数的定义,分为在三角形中的定义和直角坐标系中的定义: 「1」 2.1三角形中的定义 ? 图1? 在直角三角形中定义三角函数的示意图 ? ? ? ? ? 在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数: 正弦函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 余弦函数? ? ? ? ? ? 正切函数? ? ? ? ? ? ? ? ? 余切函数 ? ? ? ? 正割函数? ? ? ? ? ? ? ? ? 余割函数 ? ? 2.2? 直角坐标系中的定义 三角函数最初的定义是运用直角坐标来描述的。 在平面坐标系中,从圆点出发,任意给出一条射线。 其与横坐标轴都构成一个角,大小为0°到360°。 我们规定在一个周期内角的大小为正值,并且角的顺序按顺时针方向旋转。 直角坐标分为四个区域,分别为第一象限,第二象限。 第三象限,第四象限,在每个象限的函数值有不同的符号,因而值的大小也不一样,下面我从几个简单的方向来谈谈三角函数的表现形式和反三角函数的表示: ? 图2? 在直角坐标系中定义三角函数示意图 ? ? ? ? ? 在直角坐标系中,如下定义四个三角函数: 正弦函数? ? ? ? ? ? ? ? ? 余弦函数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正切函数? ? ? ? ? ? ? ? ? 余切函数? ? ? ? ? ? ? ? 正割函数? ? ? ? ? ? ? ? 余割函数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 反三角函数的定义: 根据反函数的定义域是原函数的值域记忆。 正弦函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]上的反函数为y=arcsinx,x∈[-1,1] 余弦函数y=cosx,x∈[0,π]上的反函数为y=arccosx,x∈[-1,1] 正切函数y=tanx,x∈(-π/2,π/2)上的反函数为y=arctanx,x∈R. 3、正文 3.1、三角函数的内容 三角函数所涉及的内容是及其广泛的。 例如,三角函数的图形变化,我们可以由最简单的几个函数进行推导进而发现其他三角函数的图象。 三角函数的联系不紧体现在图形上面,而且还体现在其基本公式上。 我们同样可以由简单三角函数的一系列特征和性质、最简单的几个基本公式推倒出它的复杂的变形公式。 公式的形式多种多样,为解题提供服务。 正是基于三角函数的广泛使用价值,因此我们对其中的部分公式进行化简和证明,目的也可以给出一些题目的证明方法。 最后在来谈谈它的应用。 在如今的应试教育中,我们发现学生学习的目的好象就是为了高考,因此我分析了三角函数在高考中所占的分值。 对高考曾经出现过的题目进行解析,提供参考意见,方便学习这部分内容。 1、三角函数的图象以及简单的图象变形,由最基本的几个三角函数我们可以得出很多变化形式的三角函数,它的图形也是可以随之发生变化的,例如: 「2」 ? 2、三角函数图象在单位圆中的表示方法: 由以下图形可以得出基本三角函数的符号 正弦余弦 第一象限正正 第二象限正负 第三象限负负 第四象限负正 ? 3.2、? 同角三角函数间的基本关系? ? 「3」? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 基本公式 sin2a+cos2a=1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα? cosβ-sinα? sinβ? ? cos(α-β)=cosα? cosβ+sinα? sinβ sin(α±β)=sinα? cosβ±cosα? sinβ? ? tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα? tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα? tanβ) ? 倍角公式: sin(2α)=2sinα? cosα=2/(tanα+cotα)? ? cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)? tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] ? 三倍角公式: sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)? cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2? ? ? cos2(α)=(1+cos(2α))/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan(α/2)]? cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] ? 积化和差公式: sinα? cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]? ? ? cosα? sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα? cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]? sinα? sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ? 和差化积公式: ? sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]? ? ? sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]? cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 其他: sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0? ? 以及 sin2(α)+sin2(α-2π/3)+sin2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 3.3、三角函数的化简与证明: 「4」 1、化简基本方法: 用公式;异角化同角;异名化同名;化切割为弦;特殊值与特殊角的三角函数值互化。 2、证明及其基本方法 (1)化繁为简法 (2)左右归一法 (3)变更命题法 (4)条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系。 3、例题 例1: (1)已知? 为第四象限角,化简: ? (2)已知? ,化简? 解: (1)因为? 为第四象限角 ? ? ? ? ? ? ? ? 所以原式=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 变形的目的围绕着运用平方关系进行化简。 (2)? ,? 所以原式=? 整个式子都是在运用半角公式的基础上进行化简的。 例2: 在ΔABC中,设tanA+tanC=2tanB,求证cos(B+C-A)=? 。 「5」 ? ? ? 证明: ? ? ? ? ? ? 由条件得? ? ? ? 而? ,? 又? ? ,而? ? ? cos(B+C-A)=? 3.4、? 三角函数在高考中的运用以及解析的数学思想和方法「6」? ? ? 三角函数部分,公式比较多,应用也比较灵活,所以要掌握得好,就必须掌握其中的数学思想和方法。 1? 、数形结合思想 三角函数中可利用的图形有两类,即函数图象和三角函数线(单位圆)。 〔例1〕若? 记? ,对于函数? ? ,给出下列4个命题: ①该函数的值域是? ;②当且仅当? 时,该函数取得最大值1;③该函数是以? 为最小正周期的周期函数;④当且仅当? 时,? 。 上述命题中正确的的命题是 。 〔解析〕根据题意,可把已知函数转译为? ,将其简图画出(见图1),由此图象可知,该函数值域是? ;当? 或? 时,该函数取得最大值1;该函数是以2? 为最小正周期的周期函数,所以命题①、②、③都不正确,而命题④是正确的。 ? 2? 、函数与方程的思想: 方程(或不等式)与函数是互相联系的,利用函数与方程(或不等式)之间的对立统一关系,能进一步提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力。 〔例1〕试求方程? 的实根的个数以及所有实根的和。 〔解析〕解决这类问题宜从函数的角度来考虑。 由? 得? 。 ∴? ,即? 。 设? ,? ,方程? 的实根,即是以上两个函数图象交点的横坐标.由于? ,? 均为奇函数,其图象关于原点对称,因此只须画出? 内的图象。 由于? 和? 在区间「? 」单调性,可知在? 的任意两个相邻的对称轴之间,这两个函数最多只能有一个交点(见图2),而? 的对称轴方程为? ,当? 时,两个函数图象共有25个交点,又由于两个图象均过原点,所以当? 时,两个图象共有? 个交点,即方程? 共有51个实根.由于这些实根关于原点对称,可知这51个实根之和为0。 3? 、分类讨论思想「7」 分类讨论是一种重要的数学思想,它有三个重要的原则,即不越级、不重复、不遗漏。 〔例3〕已知函数? 的定义域为? ,值域为? ,求a和b的值。 〔解析〕因为a值与函数的单调性有关,所以对a要分a0与a0两种情况进行讨论。 ∵? ,∴? ,∴? 。
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