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巧解方阵问题
巧解方阵问题
日常生活中,往往需要把人或物摆成正方形的形式,如正方形的体操队列,正方形花坛周围摆花盆,插旗子,还有正方形棋盘上摆棋子等问题。
在数学上,人们通常称这类问题为方阵问题。
解方阵问题时,应注意观察方阵中行列的排列规律,找出巧妙的解法。
如果一个方阵是“实心”的叫中实方阵,如果一个方阵是“空心”的,叫做中空方阵。
[学习过程]
一.典型例题:
例1.军训的学生进行队列表演,排成了一个7行7列的正方形队列,如果去掉一行一列,要去掉多少人?
还剩下多少人?
分析与解:
如下图:
方法一:
去掉的一行一列的人数为:
(人)
剩下的人数为:
(人)
方法二:
去掉后剩下的是6行6列的正方形队列,即
(人)
去掉的人数为:
(人)
例2.光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演,由于服装不够,只好横竖各减少一排,这样共需去掉27人,问四年级原来准备多少人参加表演?
分析与解:
此题刚好是例1的逆向题,根据正方形队列的特点可知:
原每行人数=(去掉一行一列的人数+1)÷2
即:
原来每行人数是
(人)
原来准备参加表演的人数:
(人)
答:
四年级原准备196人参加表演。
例3.正方形舞厅四周均匀地装彩灯,如果四个角都装一盏,且每边12盏,那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏?
分析与解:
如下图:
方法一:
从图
(1)可以看出,角上的四盏灯各属于两行,所以彩灯总数应为:
(盏)
方法二:
按图
(2)把彩灯分成相等的四部分,因此彩灯总数为:
(盏)
答:
这个舞厅四周共装彩灯44盏。
例4.游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵。
最外层每边12人,问彩车周围的少先队员共有多少人?
分析与解:
方法一:
这是一个只有3层的中空方阵,最外层每边有12人,最外层一共有
(人),第二层每边少2人,即第二层每边10人,第二层共有
(人),比第一层总数少8人,同理,第三层总数是
(人)
三层共有队员的总数:
(人)
方法二:
如下图,可把队员分成人数相等的四部分,每一部分的人数:
(人)
三层共有队员数:
(人)
方法三:
从12行12列的中实方阵中减去中间的空心方阵,就是队员人数:
(人)
例5.小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵,共用了200个棋子,问最外边一层每边有多少个棋子?
分析与解:
方法一:
利用相邻两层之间,每层的总数相差8的特点。
可知最外层共有棋子数:
(个)
最外层每边的棋子数:
(个)
方法二:
如下图,把棋子分成相等的四部分,每一部分的棋子数为:
(个),每一部分每排的棋子数为:
(个)
最外层每边的棋子数为:
(个)
列综合算式:
(个)
答:
最外层每边有棋子15个。
二.模拟试题:
1.运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵,如果去掉2行2列,要减少多少运动员?
2.学校为庆祝“十一”,用盆花摆了一个中实方阵,最外一层有36盆花。
求这个方阵共有花多少盆?
3.一个由圆片摆成的中实方阵,最外一层有12个圆片,把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵,那么最外层应该有多少个圆片?
4.有一个用圆片摆成的两层中空方阵,外层每边有16个圆片,如果把内层的圆片取出来,在外层再摆一层,变成一个新的中空方阵,应再增加多少圆片?
5.解放军进行排队表演,组成一个外层有48人,内层有16人的多层中空方阵,这个方阵有几层?
一共有多少人?
【试题答案】
1.运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵,如果去掉2行2列,要减少多少运动员?
(人)
(人)
(人)
答:
要减少32名运动员。
2.学校为庆祝“十一”,用盆花摆了一个中实方阵,最外一层有36盆花。
求这个方阵共有花多少盆?
(盆)
(盆)
答:
这个方阵共有花100盆。
3.一个由圆片摆成的中实方阵,最外一层有12个圆片,把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵,那么最外层应该有多少个圆片?
(个)
答:
最外层应该有28个圆片。
4.有一个用圆片摆成的两层中空方阵,外层每边有16个圆片,如果把内层的圆片取出来,在外层再摆一层,变成一个新的中空方阵,应再增加多少圆片?
(个)
(个)
(个)
答:
应再增加16个圆片。
5.解放军进行排队表演,组成一个外层有48人,内层有16人的多层中空方阵,这个方阵有几层?
一共有多少人?
(层)
(人)
答:
这个方阵有5层,一共有160人。
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- 方阵 问题