二次函数知识点总结大全.doc
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二次函数知识点总结大全.doc
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二次函数
1.二次函数的定义:
形如(a≠0,a,b,c为常数)的函数为二次函数.
2、二次函数的解析式三种形式
一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式
两根式
3、二次函数的性质:
y
x
O
对称轴:
顶点坐标:
与y轴交点坐标(0,c)
增减性:
当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大
当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小
(1)二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线,
其顶点是原点,对称轴是y轴;当a>0时,抛物线开口向上,顶点是最低点;当a<0时,抛物线开
口向下,顶点是最高点;
(2)二次函数
当a>0时,抛物线开口向上,图象有最低点,且x>-,y随x的增大而增大,x<-,
y随x的增大而减小;当a<0时,抛物线开口向下,图象有最高点
(3)当a>0时,当时,函数有最小值;当a<0时,当时,函数有最大值
.
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的各项系数a、b、c对其图象的影响
(1)a决定抛物线的开口方向和开口大小:
a>0,开口向上;a<0,开口向下.|a|的越大,开口越小.
(2)a与b决定抛物线对称轴的位置:
a、b同号,抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y轴左侧;
a、b异号,抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y轴右侧;(左同右异);
b=0时,抛物线的对称轴是y轴.
(3)c决定抛物线与y轴交点(0,c)的位置:
c>0,抛物线与y轴交于正半轴;c<0,抛物线与y轴交于负
半轴;c=0,抛物线与y轴交点是坐标原点.c相同的抛物线都过点(0,c).这些内容应该能够由数得
形、依形判数.
5.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根。
抛物线y=ax2+bx+c,当y=0时,抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0
>0时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数图像与x轴有两个交点;
=0时,一元二次方程有两个相等的实根,二次函数图像与x轴有一个交点;
<0时,一元二次方程有不等的实根,二次函数图像与x轴没有交点
6、图象的平移
(1)配方,确定顶点(h,k)
(2)对x轴左加右减;对y轴上加下减
7、二次函数图像画法:
勾画草图关键点:
开口方向对称轴顶点与x轴交点与y轴交点
【典型例题】
一、选择题(每题5分,共30分)
1.二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点()
A.(-1,-1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,1)
2.若直线y=ax+b(ab≠0)不过第三象限,则抛物线y=ax2+bx的顶点所在的象限是()
A.一B.二C.三D.四
3.函数y=ax2+bx+c中,若ac<0,则它的图象与x轴的位置关系为()
A.无交点B.有1个交点;C.有两个交点D.不确定
4.抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),它的关系式为()
A.y=2x2-2x-4;B.y=-2x2+2x-4;C.y=x2+x-2;D.y=2x2+2x-4
二次函数的概念
例1(基础).二次函数的图像的顶点坐标是()
A.(-1,8)B.(1,8)C(-1,2)D(1,-4)
例2.下列命题中正确的是
若b2-4ac>0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3
若b2-4ac=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点,且这个交点就是抛物线顶点。
当c=-5时,不论b为何值,抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点,则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B,与y轴交于c点,c=4,S△ABC=6,则抛物线解析式为y=x2-5x+4。
若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在x轴下方,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。
若a-b+c=2,则抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)必过一定点。
(提醒:
将x=1和x=-1代入)
若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。
若b=0,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边,一个在原点右边。
二次函数的性质
例3若二次函数的图像开口向上,与x轴的交点为(4,0),(-2,0)知,此抛物线的对称轴为直线x=1,此时时,对应的y1与y2的大小关系是()
A.y1
二次函数图像性质(共存问题、符号问题)
例5、函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是()
A.B.C.D.
例6已知=次函数y=ax+bx+c的图象如图.则下列5个代数式:
ac,a+b+c,4a-2b+c,中,其值大于0的个数为()
A.2 B3 C、0 D、1
填空题
1.若抛物线y=x2+(m-1)x+(m+3)顶点在y轴上,则m=_______.
2.把抛物线y=x2向左平移三个单位,再向下平移两个单位所得的关系式为________.
3.抛物线y=ax2+12x-19顶点横坐标是3,则a=____________.
4.若y=(a-1)是关于x的二次函数,则a=____________.
5.二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过点(-1,-1),则m=_________.
6.已知点(2,5),(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点,则这条抛物线的对称轴是______.
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