二次型论文.doc
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绥化学院
本科毕业设计(论文)
二次型及应用
学生姓名:
学号:
年级:
指导教师:
SuihuaUniversityGraduationPaper
QuadraticFormandItsApplications
Studentname
Studentnumber
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Supervisingteacher
SuihuaUniversity
III
摘要
二次型是线性代数的重要内容之一,二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题.首先,介绍了二次型的基本理论,然后研究了二次型的应用,包括在多元函数极值、线性最小二乘法、证明不等式以及二次曲线中的应用.一些矩阵的问题可以转化为二次型,用二次型的方式去解决,方便而快速.
关键词:
二次型;标准型;矩阵;应用
Abstract
Quadraticformisoneoftheimportcontentsinlinearalgebra,whichoriginatedfromproblemofputquadraticcurveequationandquadricequationintostandardforminanalyticgeometry.Firstly,thepaperintroducesbasictheories.Secondly,thepaperstudiesapplicationsofquadraticform,includingextremumproblemsofmulti-variablefunctions,linearleastsquaremethod,provinginequalityandquadraticcurve.Someproblemcanbeconvertedintoquadraticformtosolve,whichisconvenientandfast.
Keywords:
quadraticform;standardform;matrix;applications
目录
摘要 I
ABSTRACT II
第1章二次型的基本理论 1
第1节二次型的概念及相关定义 2
第2节替换后的二次型与原二次型的关系 3
第3节写出二次型的方法 3
第4节二次型的标准型 4
第5节二次型在复数域下的规范型 8
第6节二次型的一般定理 10
第2章二次型的应用 12
第1节多元函数极值 12
第2节线性最小二乘法 15
第3节证明不等式 17
第4节二次曲线 19
结论 21
参考文献 22
致谢 23
绥化学院2013届本科生毕业论文
第1章二次型的基本理论
在这一节,我们首先回顾《高等代数》中关于二次型的一般理论.设是一个数域,,个文字的二次齐次多项式
称为数域上的一个元二次型,简称二次型.当为实数时,称为实二次型;当为复数时,称为复二次型.
设阶对称矩阵
则元二次型可表示为下列矩阵形式
.
其中.对称矩阵称为二次型的系数矩阵,简称为二次型的矩阵.
二次型与非零对称矩阵一一对应.即,给定一个二次型,则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵;反之,给定一个非零的对称矩阵,则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵.
如果二次型中只含有文字的平方项.即
称为标准型.在《高等代数》的教材中,还有以下关于二次型理论的结果.
第1节二次型的概念及相关定义
1.1二次型的表示
二次型可唯一的表示成:
,称为二次型的矩阵形式,其中,,为对称矩阵,称为二次型的矩阵(都是对称矩阵),称的秩为二次型的秩.
1.2线性替换
设是两组文字,系数在数域中的一组关系式
(1-1)
称为由到的一个线性替换,或简称线性替换.用矩阵形式可写为
其中,,.如果系数行列式,
那么线性替换(1-1)就称为非退化的(或可逆的,或满秩的).
数域上的矩阵称为合同的,如果有数域上的可逆的矩阵,使.
1.3二次型的正定、负定与不定
设是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数,如果都有,那么称为正定的;如果都有,那么称为负定的;如果都有,那么称为半正定的;如果都有,那么称为半负定的;如果它既不半正定又不半负定,那么就称为不定的.
第2节替换后的二次型与原二次型的关系
设,,是一个二次型,作非退化线性替换
,(1-2)
我们得到一个的二次型
,(1-3)
把(1-3)代入(1-2),有
,
容易看出,矩阵也是对称的.
事实上,,由此,即得这就是前后两个二次型的矩阵关系.
数域上矩阵,称为合同的,如果有数域上可逆的矩阵,使.
因此,经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.
第3节写出二次型的方法
正确写出二次型的矩阵是化简二次型的基础.对于含个变元的二次型,可以按下述方法得到二次型的矩阵,的主对角线上的元素依次为二次型的平方项的系数,而的第行第列元素是交叉项的系数的一半,在取即得到对称矩阵,于是这个二次型就可以用矩阵形式表示为,其中.
注 一个二次型的矩阵之所以要求是对称矩阵,原因之一是使得二次型矩阵是唯一确定的.
例1写出二次型的矩阵:
.
解 应注意由可知右端的二次型为4元二次型,虽然二次型右边表达式中没有含有的项,但其对应矩阵必须补零做成4阶对称矩阵为
.
第4节二次型的标准型
二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型
.
4.1二次矩阵变合同矩阵
数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式.
不难看出,上面二次型的矩阵是对角矩阵,则
.
反过来,矩阵为对角形的二次型就只含有平方项.所以经过非退化的线性替换,二次型的矩阵变到一个合同的矩阵.
4.2对称矩阵与对角矩阵
在数域上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.也就是说,对于任意一个对称矩阵都可以找到一个可逆矩阵使成对角矩阵.
4.3可逆的线性变换
二次型经过非退化线性替换所变成的平方和称为的一个标准型.
例1用可逆的线性变换化二次型为标准型.
方法1配方法
用配方法化二次型为标准型的关键是消去交叉项,其要点是利用两数和的平方公式与两数平方差公式逐步消去非平方项并构造新平方项.分两种情形来处理:
(1)二次型中含某个变量的平方项和交叉项
先集中含的交叉项,然后与配方,化成完全平方,令新变量代替各个平方项中的变量,即可做出可逆的线性变换,同时立即写出它的逆变换(即用新变量表示旧变量的变换),这样后面求总的线性变换就比较简单.每次只对一个变量配平方,余下的项中不应在出现这个变量,再对剩下的个变量同样进行,直到各项全化为平方项为止.
(2)二次型中没有平方项,只有交叉项
先利用平方差公式构造可逆线性变换,化二次型为含平方项的二次型,如当的系数时,进行可逆的线性变换代入二次型后出现平方项,在按情形
(1)来处理.
方法2初等变换法
用可逆的线性变换使化为二次型为标准型,相当于对于对称矩阵找到一个可逆矩阵使,其中,即合同于对角矩阵.由于可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵乘积,即,从而有
,.
根据初等矩阵的性质,由上式即可得到用初等变换法化二次型为标准型的步骤如下:
第一步 写出二次型的矩阵,并构造矩阵;
第二步 进行初等变换
,
当化为对角矩阵时,单位矩阵也相应地化为可逆矩阵;
第三步 可逆线性变换化二次型为标准型
.
例2化下列二次型为标准型,并写出所用的可逆线性变换
.
解 方法1(配方法)
令
即
得
.
令
即
则
的标准型为.
所用的可逆线性变换为
.
方法2初等变换法
二次型的矩阵为.由于
,
故可逆线性变化,化二次型为
.
用正交变换化二次型为标准型的步骤
将元实二次型用正交变换化为标准型的步骤是:
第一步 写出二次型的矩阵,则是是对称矩阵;
第二步 求阶正交矩阵,使得;
第三步 正交变换化二次型为
.
例3求一正交变换,化二次型
为标准型.
解 二次型的矩阵为.由
,
得的特征值为,.
可求得对应的特征向量为,将其正交化,得
,,
再单位化,得
,.
又对应的特征向量为,单位化得.故正交变换为
化二次型为..
第5节二次型在复数域下的规范型
设是一个复系数二次型.经过以适当的非退化线性替换后变成标准型.不妨假定它的标准型是
.(1-4)
易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平方,我们再作一非退化相性替换
(1-5)
(1-4)式就变成
.(1-6)
(1-6)式称为复二次型的规范形.显然,规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定.
5.1规范型
任意一个复系数的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形,且规范行是唯一的.
再来看实数域的情形.
设是以实系数的二次型.经过某一非退化线性替换,在适当排列文字的次序可使变成标准形
,(1-7)
其中,是的矩阵的秩.因为在实数域中,整实数总可以开平方所以再作一非退化线性替换
(1-7)式就变成
.(1-8)
(1-8)式称为实二次型的规范形.显然,规范形完全被,这两个数所决定.
5.2逆线性变换
任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以变为成规范形,且规范形是唯一的.
第6节二次型的一般定理
6.1惯性定理
在实二次型的规范形中,正平方形的个数称为的正惯性指数;负平方项的个数称为的负惯性指数;它们的差称为的符号差.
6.2矩阵的全部特征值
元实二次型(是实对称矩阵,可以经过变量的正交变换为正交阵),可化为,这里是矩阵的全部特征值.
6.3最大(小)特征值
设元实二次型,则在条件下的最大(小)值恰为矩阵的最大(小)特征值.
例1设为阶正定矩阵,与是实向量,为实数,则实函数当时,取得最小值.
证明 ,因正定,所以存在(对称).而
,
因此
其中,因正定,故当且仅当时,取最小值0,从而当且仅当,取得最小值.
第2章二次型的应用
第1节多元函数极值
在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题,对此可由二次型的正定性加以解决
1.1梯度
设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数.记,称为函数在点处的梯度.
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