数值分析实验报告.docx
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数值分析实验报告
数值分析A实验报告
目录
第1章实验3.1(主元的选取与算法的稳定性)1
1.1问题提出1
1.2实验内容1
1.3实验要求1
1.4实验程序2
1.5实验结果3
第2章实验3.3(病态的线性方程组的求解)8
2.1问题提出8
2.2实验内容8
2.3实验要求8
2.4实验程序8
2.5实验结果11
第3章实验4.1(算法设计与比较)14
3.1问题提出14
3.2实验内容14
3.3实验要求14
3.4实验程序14
3.5实验结果16
第1章实验3.1(主元的选取与算法的稳定性)
1.1问题提出
Gauss消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。
但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的,如何才能确保Gauss消去法作为数值算法的稳定性呢?
Gauss消去法从理论算法到数值算法,其关键是主元的选择。
主元的选择从数学理论上看起来平凡,它却是数值分析中十分典型的问题。
1.2实验内容
考虑线性方程组:
,
,
编制一个能自动选取主元,又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss消去过程。
1.3实验要求
(1)取矩阵
,
,则方程有解
。
取
计算矩阵的条件数。
按顺序Gauss消元法求解,结果如何?
(2)现选择程序中手动选取主元的功能。
每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元,观察并记录计算结果。
若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元,结果又如何?
分析实验的结果。
(3)取矩阵阶数n=20或者更大,重复上述实验过程,观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异,说明主元素的选取在消去过程中的作用。
(4)选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵,计算其条件数。
重复上述实验,观察记录并分析实验结果。
1.4实验程序
formatlong;
n=input('矩阵的阶数:
n=');
sp_M=input('矩阵的种类(1:
Hilbert;2:
随机矩阵;3:
本题给出的矩阵;4:
幻方矩阵):
sp_M=');
switchsp_M
case
(1);
A=hilb(n);
case
(2);
A=round(8*rand(n));
case(3);
A=6*diag(ones(1,n),0)+8*diag(ones(1,n-1),-1)+diag(ones(1,n-1),1);
case(4);
A=magic(n);
end;
b=A*ones(n,1);
p=input('计算条件数的p-范数,p=');
cond_A=cond(A,p)
Any1=zeros(1,n);
Any20=zeros(n,1);
Any21=zeros(n,1);
Any12=eye(n);
[m,n]=size(A);
Ab=[Ab];
Pro=input('计算方法(1:
顺序高斯消元法;2,:
列主元高斯消元法;3:
完全主元高斯消元法;4:
手动选主元法,Pro=');
Ab
fori=1:
n-1
switchPro
case
(1);
case
(2);
[aii,ip]=max(abs(Ab(i:
n,i)));
ip=ip+i-1;
Any1=Ab(ip,:
);
Ab(ip,:
)=Ab(i,:
);
Ab(i,:
)=Any1;
case(3);
[Y,I]=max(max(abs(Ab(i:
n,i:
n))));
I=I+i-1;
[x1,r]=max(max(abs(Ab(i:
n,i:
n)')));
r=r+i-1;
Any2=Ab(:
I);
Ab(:
I)=Ab(:
i);
Ab(:
i)=Any2;
Any1=Ab(r,:
);
Ab(r,:
)=Ab(i,:
);
Ab(i,:
)=Any1;
Any21=Any12(:
I);
Any12(:
I)=Any12(:
i);
Any12(:
i)=Any21;
case(4);
ip=input(['第',num2str(i),'步消元,请输入第',num2str(i),'列所选元素所处行数:
']);
Any1=Ab(ip,:
);
Ab(ip,:
)=Ab(i,:
);
Ab(i,:
)=Any1;
end;
aii=Ab(i,i);
fork=i+1:
n
if(aii~=0)
Ab(k,i:
n+1)=Ab(k,i:
n+1)-(Ab(k,i)/aii)*Ab(i,i:
n+1);
else
break;
end;
end;
Ab
end;
x=zeros(n,1);
x(n)=Ab(n,n+1)/Ab(n,n);
fori=n-1:
-1:
1
if(Pro==3)
x(i)=(Ab(i,n+1)-Ab(i,i+1:
n)*x(i+1:
n))/Ab(i,i);
x=Any12^-1*x;
else
x(i)=(Ab(i,n+1)-Ab(i,i+1:
n)*x(i+1:
n))/Ab(i,i);
end;
end
x
1.5实验结果
(1)取
计算矩阵的条件数:
按顺序Gauss消元法求解:
(结果保留15位小数)
顺序高斯消元法
X
(1)
1.000000000000000
X
(2)
1.000000000000000
X(3)
1.000000000000000
X(4)
1.000000000000001
X(5)
0.999999999999998
X(6)
1.000000000000004
X(7)
0.999999999999993
X(8)
1.000000000000012
X(9)
0.999999999999979
X(10)
1.000000000000028
(2)手动选取主元,每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元,观察并记录计算结果。
每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元,观察并记录计算结果。
模最小
模最大
X
(1)
1.000000000000000
1
X
(2)
1.000000000000000
1
X(3)
1.000000000000000
1
X(4)
1.000000000000001
1
X(5)
0.999999999999998
1
X(6)
1.000000000000004
1
X(7)
0.999999999999993
1
X(8)
1.000000000000012
1
X(9)
0.999999999999979
1
X(10)
1.000000000000028
1
主元选取模最大的结果比模最小的要好,但差距很小,最大主元和最小主元都没有过于小。
使用过小的数时计算结果的误差会被放大。
(3)取
计算矩阵的条件数:
按顺序Gauss消元法求解:
(结果保留15位小数)
顺序高斯消元法
手动选取主元
模最小
手动选取主元
模最大
X
(1)
1.000000000000000
1.000000000000000
1
X
(2)
1.000000000000000
1.000000000000000
1
X(3)
1.000000000000000
1.000000000000000
1
X(4)
1.000000000000001
1.000000000000001
1
X(5)
0.999999999999998
0.999999999999998
1
X(6)
1.000000000000004
1.000000000000004
1
X(7)
0.999999999999993
0.999999999999993
1
X(8)
1.000000000000014
1.000000000000014
1
X(9)
0.999999999999972
0.999999999999972
1
X(10)
1.000000000000057
1.000000000000057
1
X(11)
0.999999999999886
0.999999999999886
1
X(12)
1.000000000000227
1.000000000000227
1
X(13)
0.999999999999547
0.999999999999547
1
X(14)
1.000000000000902
1.000000000000902
1
X(15)
0.999999999998209
0.999999999998209
1
X(16)
1.000000000003524
1.000000000003524
1
X(17)
0.999999999993179
0.999999999993179
1
X(18)
1.000000000012732
1.000000000012732
1
X(19)
0.999999999978173
0.999999999978173
1
X(20)
1.000000000029102
1.000000000029102
1
取
计算矩阵的条件数:
按顺序Gauss消元法求解:
(结果保留15位小数)
顺序高斯消元法
X
(1)
1.000000000000000
X(11)
0.999999999999886
X(21)
0.999999999883592
X(31)
0.999999880797986
X(41)
0.999877937138081
X(51)
0.875007629394532
X(61)
-126.9921874998831
X(71)
-131062.9998779366
X(81)
-134209407.0078120
X(91)
-137********6.9995
可以看出,随着矩阵维数的增加条件数显著增大,计算结果的误差也不断增大。
选取模最小元素作为主元时条件数越大误差越大。
(4)10阶Hilbert矩阵中各种方法解的情况
模最小
模最大
X
(1)
0.999999998461155
0.999999998758705
X
(2)
1.000000131188530
1.000000106500618
X(3)
0.999997234296156
0.999997743217252
X(4)
1.000024938838782
1.000020435292621
X(5)
0.999881835285317
0.999902835789981
X(6)
1.000323037974566
1.000266409823714
X(7)
0.999472478897913
0.999563856087119
X(8)
1.000507732300032
1.000420698156409
X(9)
0.999734379772479
0.999779492550673
X(10)
1.000058233952260
1.000048424648847
10阶随机矩阵中各种方法解的情况
模最小
模最大
X
(1)
0.999999999999986
0.999999999999998
X
(2)
1.000000000000038
1.000000000000005
X(3)
0.999999999999962
0.999999999999996
X(4)
1.000000000000028
1.000000000000007
X(5)
0.999999999999972
0.999999999999999
X(6)
1.000000000000007
1.000000000000000
X(7)
1.000000000000014
0.999999999999993
X(8)
1.000000000000006
0.999999999999998
X(9)
0.999999999999968
1.000000000000002
X(10)
1.000000000000030
1.000000000000003
10阶幻方矩阵中各种方法解的情况
模最小
模最大
X
(1)
1.000000012280200
1
X
(2)
0.999999955096428
1
X(3)
1.000000096294698
1
X(4)
0.999999992722872
1
X(5)
1.000000123934105
1
X(6)
0.999999922918538
1
X(7)
1.000000030950047
1
X(8)
0.999999992722872
1
X(9)
1.000000000763118
1
X(10)
1.000000012280200
1
一般来说,模最大元素作为主元比模最小的元素作为主元时的计算结果更精确。
但一些方阵,如幻方矩阵,则是选择模最小的元素作为主元时计算结果最精确(选模最小的元素只是一个表象,这种选主元方法优于其他选主元方法的本质是这种选择方法能使消去过程不产生浮点数,而全是整数运算,只有在回代过程中才有可能会产生浮点数)。
一般来说,需按模最大元素作为主元精度比较高。
第2章实验3.3(病态的线性方程组的求解)
2.1问题提出
理论的分析表明,求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此,会出现怎样的现象呢?
2.2实验内容
考虑方程组
的求解,其中系数矩阵H为Hilbert矩阵,
这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解(例如取为各个分量均为1)再计算出右端b的办法给出确定的问题。
2.3实验要求
(1)选择问题的维数为6,分别用Gauss消去法(即LU分解),J迭代方法,GS迭代法和SOR迭代法求解方程组,其各自的结果如何?
将计算结果与问题的解比较,结论如何。
(2)逐步增大问题的维数,仍然用上述的方法来解它们,计算的结果如何?
计算的结果说明了什么?
(3)讨论病态问题求解的算法
2.4实验程序
formatlong;
n=input('矩阵的阶数:
n=');
Hibert_n=ones(n,n);
forr=1:
1:
n
forc=1:
1:
n
Hibert_n(r,c)=1/(r+c-1);
end;
end;
b=Hibert_n*ones(n,1);
Hibert_nb=[Hibert_nb];
D=zeros(n,n);
L=zeros(n,n);
U=zeros(n,n);
fori=2:
1:
n
L(i,1:
i-1)=-1.*Hibert_n(i,1:
i-1);
end;
fori=1:
1:
n-1
U(i,i+1:
n)=-1.*Hibert_n(i,i+1:
n);
end;
fori=1:
1:
n
D(i,i)=Hibert_n(i,i);
end;
x=zeros(n,1);
Medthod_number=input('计算方法(1:
高斯消去法;2:
Jacobi迭代;3:
GS迭代;4:
SOR迭代,Medthod_number=');
Hibert_nb
switchMedthod_number
case
(1);
fori=1:
n-1
Hibert_nbii=Hibert_nb(i,i);
fork=i+1:
n
if(Hibert_nbii~=0)
Hibert_nb(k,i:
n+1)=Hibert_nb(k,i:
n+1)-(Hibert_nb(k,i)/Hibert_nbii)*Hibert_nb(i,i:
n+1);
else
break;
end;
end;
end;
x=zeros(n,1);
x(n)=Hibert_nb(n,n+1)/Hibert_nb(n,n);
fori=n-1:
-1:
1
x(i)=(Hibert_nb(i,n+1)-Hibert_nb(i,i+1:
n)*x(i+1:
n))/Hibert_nb(i,i);
end;
x
case
(2);
num_of_iter=0;
norm_errorv=2;
whilenorm_errorv>=10^-6
xtemp=x;
num_of_iter_temp=num_of_iter;
x=D^-1*(L+U)*xtemp+D^-1*b;
error_vector=x-xtemp;
norm_errorv=norm(error_vector);
num_of_iter=num_of_iter_temp+1;
end;
num_of_iter
x
case(3);
num_of_iter=0;
norm_errorv=2;
whilenorm_errorv>=10^-6
xtemp=x;
num_of_iter_temp=num_of_iter;
x=(D-L)^-1*U*xtemp+(D-L)^-1*b;
error_vector=x-xtemp;
norm_errorv=norm(error_vector);
num_of_iter=num_of_iter_temp+1;
end;
num_of_iter
x
case(4);
I=eye(n);
B=I-D^-1*Hibert_n;
spe_rB=max(abs(eig(B)))
Wopt=1.5;
num_of_iter=0;
norm_errorv=2;
Lw=(D-Wopt*L)^-1*((1-Wopt)*D+Wopt*U)
whilenorm_errorv>=10^-6
xtemp=x;
num_of_iter_temp=num_of_iter;
x=(D-Wopt*L)^-1*((1-Wopt)*D+Wopt*U)*xtemp+Wopt*(D-Wopt*L)^-1*b;
error_vector=x-xtemp;
norm_errorv=norm(error_vector);
num_of_iter=num_of_iter_temp+1;
end;
Wopt
num_of_iter
x
end;
2.5实验结果
(1)取
计算矩阵的条件数:
顺序Gauss消元法
Jacobi迭代法
Gauss-Seidel迭代法
SOR迭代法
谱半径
/
4.308531034793305
0.999998299252624
0.999999700289813
X
(1)
0.999999999999228
NaN
1.000011185896935
0.999994483146487
X
(2)
1.000000000021937
NaN
0.999687269026395
1.000069892883311
X(3)
0.999999999851792
NaN
1.002085949418242
0.999897759693245
X(4)
1.000000000385370
NaN
0.994630472386810
0.999600934576750
X(5)
0.999999999574584
NaN
1.005879678056455
1.000979076939565
X(6)
1.000000000167680
NaN
0.997697856568874
0.999451604865028
可以看出,顺序Gauss消去法所得结果的有效数字位数较多;而Jacobi方法由于迭代矩阵的谱半径过大,计算是不收敛的;GS法和SOR法在取定的收敛精度下,能保证的有效数位数很小。
因此此时用Gauss消去法得到的结果最精确。
(2)逐步增大问题的维数,分别取10,15,20。
取
计算矩阵的条件数:
顺序Gauss消元法
Jacobi迭代法
Gauss-Seidel迭代法
SOR迭代法
谱半径
/
7.779815131929982
0.999999999997045
0.999999999999479
X
(1)
0.999999998755035
NaN
0.999989519309267
1.000004152173424
X
(2)
1.000000106766916
NaN
1.000302332550534
0.999978599759769
X(3)
0.999997738258521
NaN
0.998027634597364
0.999685357129448
X(4)
1.000020475713773
NaN
1.004212751026365
1.001431334506625
X(5)
0.999902659904138
NaN
0.998532191979946
0.999177491052994
X(6)
1.000266856463449
NaN
0.996771823004196
0.998264959727445
X(7)
0.999563172706880
NaN
0.999598600412258
0.999838237119280
X(8)
1.000421318651402
NaN
1.002730839351261
1.001933119834946
X(9)
0.999779184622329
NaN
1.002564891265505
1.001918541306780
X(10)
1.000048488983762
NaN
0.997261728358327
0.997755686310021
取
计算矩阵的条件数:
顺序Gauss消元法
Jacobi迭代法
Gauss-Seidel迭代法
SOR迭代法
谱半径
/
12.132********3352
1.000000000000000
1.000000000000000
X
(1)
0.999999968950990
NaN
1.000005346273703
0.999986152513905
X
(2)
1.000002390424801
NaN
0.999768226865061
1.000274978899559
X(3)
0.999995616559208
NaN
1.002022983508116
0.998935771953792
X(4)
0.998634482317961
Na
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- 关 键 词:
- 数值 分析 实验 报告