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导数综合讲义教师版
导数综合讲义
第1讲导数的计算与几何意义3
第2讲函数图像4
第3讲三次函数7
第4讲导数与单调性8
第5讲导数与极最值9
第6讲导数与零点10
第7讲导数中的恒成立与存在性问题11
第8讲原函数导函数混合还原(构造函数解不等式)13
第9讲导数中的距离问题17
第10讲导数解答题18
10.1导数基础练习题21
10.2分离参数类24
10.3构造新函数类26
10.4导数中的函数不等式放缩29
10.5导数中的卡根思想30
10.6洛必达法则应用32
10.7先构造,再赋值,证明和式或积式不等式33
10.8极值点偏移问题35
10.9多元变量消元思想37
10.10导数解决含有lnx与ex的证明题(凹凸反转)39
10.11导数解决含三角函数式的证明40
10.12隐零点问题42
10.13端点效应44
10.14其它省市高考导数真题研究45
导数
【高考命题规律】
2014年理科高考考查了导数的几何意义,利用导数判断函数的单调性,利用导数求函数的最值,文科考查了求曲线的切线方程,导数在研究函数性质中的运用;2015年文理试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题;2016文科考查了导数的几何意义,理科涉及到不等式的证明,含参数的函数性质的研究,极值点偏移;2017年高考考查了导数判断函数的单调性,含参零点的分类讨论。
近四年的高考试题基本形成了一个模式,第一问求解函数的解析式,以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程从而确定解析式,或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题,较为简单;第二问均为不等式相联系,考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题,难度较大。
预测
2018年高考导数大题以对数函数、指数函数、反比例函数以及一次函数、二次函数中的两个或三个为背景,组合成一个函数,考查利用导数研究函数的单调性与极值及切线,不等式结合考查恒成立问题,另外2016年全国卷1理考查了极值点偏移问题,这一变化趋势应引起考生注意。
【基础知识整合】
1、导数的定义:
f'(x)=lim
f(x0+∆x)-f(x0),f'(x)=lim
f(x+∆x)-f(x)
0∆x→0∆x∆x→0∆x
000
2、导数的几何意义:
导数值f'(x)是曲线y=f(x)上点(x,f(x))处切线的斜率
3、常见函数的导数:
C'=0;(xn)'=nxn-1;(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx;
a
(lnx)'=1;(log
x
x)'=
1
xlna
;(ex)'=ex;(ax)'=axlna
'''
'''
u'u'v-v'u
4、导数的四则运算:
(u±v)=u±v;;(u⋅v)=uv+vu;()=
vv2
x
5、复合函数的单调性:
f'(g(x))=f'(u)g'(x)
6、导函数与单调性:
求增区间,解f'(x)>0;求减区间,解f'(x)<0
若函数在f(x)在区间(a,b)上是增函数⇒f'(x)≥0在(a,b)上恒成立;
若函数在f(x)在区间(a,b)上是减函数⇒f'(x)≤0在(a,b)上恒成立;
若函数在f(x)在区间(a,b)上存在增区间⇒f'(x)>0在(a,b)上恒成立;
若函数在f(x)在区间(a,b)上存在减区间⇒f'(x)<0在(a,b)上恒成立;
7、导函数与极值、最值:
确定定义域,求导,解单调区间,列表,下结论
8、导数压轴题:
强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多练记题型,总结方法
第1讲导数的计算与几何意义
(2016全国卷1理16)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)
的切线,则b=1-ln2
(2015全国卷1理21
(1))已知函数f(x)=x3+ax+1,当a为何值时,x轴为曲线
4
y=f(x)的切线
a=-3
4
n
(2015安徽卷理18
(1))设n∈N*,x是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交
点的横坐标,求数列{xn}的通项公式.
xn=
nn+1
(2015重庆卷理20
(1))设函数f(x)=
3ax2+axex
(a∈R),若f(x)在x=0处取得极值,
确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程a=0,3x-ey=0
2π11π
1、函数f(x)=cosx在点(,)处的切线方程为x+y--=0
4224
2、过f(x)=x3-3x2+2x+5图像上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围是
π3π
_[0,)[,π)
24
3、若一直线与曲线y=lnx和曲线x2=ay(a>0)相切于同一点P,则a=2e
4、两曲线y=x2-1和y=alnx-1存在公切线,则正实数a的取值范围是(0,2e)
5、已知a,b为正实数,直线y=x-a与曲线y=ln(x+b)相切,则
1
a2
2-b
的取值范围是(C)
(A)(0,+∞)
(B)(0,1)(C)(0,)
2
(D)[1,+∞)
6、若曲线y=
(C)
1x2与曲线y=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公切线,则实数a=
2e
1
(A)-2
(B)
2
(C)1(D)2
2f(x)+xf'(x)
7、函数f(x)是定义在(0,+∞)的可导函数,当x>0且x≠1时,
曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为-3,则f
(1)=(C)
4
x-1
>0,若
(A)0(B)1(C)3
8
1
(D)
5
第2讲图像问题
1、己知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的极大值
是(D)
(A)a+b+c
(C)3a+2b
(B)8a+4b+c
(D)c
2、设函数y=
f(x)可导,y=
f(x)的图象如图所示,则导函数y=
f'(x)的图像可能为(A)
y
y
O
x
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
ABCD
3、(2017全国卷Ⅰ文8)函数y=
sin2x1-cosx
的部分图像大致为(C)
4、函数f(x)=xln|x|的图像可能是(B)
|x|
y
O
-1
1x
y
O
-1
1x
y
-1O
1x
y
-1O
1x
ABCD
5、函数f(x)=(x-1)cosx(-π≤x≤π,x≠0)
x
的图像可能为(D)
6、已知f(x)=1x2+sin(π+x),f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的图像是(A)
42
7、下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像,其中一.定.不.正.确.的序号是(B)
(A)①②(B)③④(C)①③(D)①④
8、已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f'(x)>0的解集为(D)
(A)(-∞,-2)(1,+∞)
(C)(-∞,-1)(-1,0)(2,+∞)
(B)(-∞,-2)(1,2)
(D)(-∞,-1)(-1,1)(3,+∞)
12
9、函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示,则x2+x2等于(C)
8
(A)
9
10
(B)
9
16
(C)
9
4
(D)
5
10、(2015安徽)函数f(x)=
ax+b
(x+c)2
的图像如图所示,则下列结论成立的是(C)
(A)a>0,b>0,c<0(B)a<0,b>0,c>0
(C)
a<0,b>0,c<0
(D)
a<0,b<0,c<0
11、(2016全国卷)函数y=2x2-ex在[-2,2]的图像大致为(D)
(A)(B)
(B)(D)
第3讲三次函数
1、函数f(x)=1x3-1(m+1)x2+2(m-1)x在(0,4)上无极值,则m=3
32
2、已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b=_-7_
3、设函数
f(x)=x3+(a+1)x2+ax
有两个不同的极值点
x1,x2,且对不等式
f(x)+f(x)≤0恒成立,则实数a的取值范围是_(-∞,-1][1,2]
122
00
4、函数f(x)=-x3+3x2-ax-2a,若存在唯一正整数x,使得f(x)>0,则实数a的
2
取值范围是[,1)
3
5、已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是
(A)
(A)[-
3,3]
(B)(-
3,,3)
(C)(-∞,-
3)(3,+∞)
(D)(-∞,-
3][3,+∞)
x3a
6、若函数f(x)=-
x2+x+1在区间(,3)上有极值点,则实数a的取值范围是(C)
1
322
551010
(A)(2,,)
2
(B)[2,,)
2
(C)(2,,)
3
(D)[2,,)3
x3a
7、若函数f(x)=-
x2+x+1在区间(,3)上单调递减,则实数a的取值范围是(C)
1
322
151016
(A)[,+∞)3
(B)[,+∞)3
x322
(C)[,+∞)3
(D)[,+∞)3
8、若函数f(x)=+x-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是(C)
(A)[-5,0)
33
(B)(-5,0)
(C)[-3,0)
(D)(-3,0)
9、若函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则b的值为(C)
a
(A)-3或-1
(B)
-3或1
(C)
-3
(D)
-1
222222
第4讲导数与单调性
21
1、已知函数f(x)=x
-5x+2lnx,则函数f(x)的单调递增区间是_(0,)(2,+∞)
2
2、已知函数f(x)=exlnx-aex(a∈R),若f(x)在(0,+∞)上单调,则a的取值范围是
_a≤1
3、设函数f(x)=
a≥-9
2
3x2+axex
(a∈R),若f(x)在[3,+∞)上为减函数,则a的取值范围是
4、若函数f(x)在定义域D内的某个区间I上是增函数,且F(x)=
f(x)
在I上也是增函
x
数,则称y=f(x)是I上的“完美函数”,已知g(x)=ex+x-lnx+1,若函数g(x)是区间
m
[,+∞)上的“完美函数”,则整数m的最小值为3
2
5、设函数f(x)=e2x+ax在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(C)
(A)[1,+∞)
(B)(-1,+∞)
(C)[-2,+∞)
(D)(-2,+∞)
6、函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不单调,则k的取值范围是(B)
(A)[1,+∞)
3
(B)[1,)
2
3
(C)[1,2)(D)[,2)
2
7、若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间(1,2)内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是
2
(D)
(A)(-∞,-2]
(B)(-2,+∞)
1
(C)(-2,-)
8
(D)[-,+∞)
1
8
lnxlnx2lnx2
8、设1 x,(x),x2 的大小关系是(A) lnx2 lnxlnx2 lnx lnx2 lnx2 (A)()<<(B)<()< xxx2xxx2 lnx2 lnx2lnx lnx2 lnx2 lnx (C)() <<(D) <()< xx2xx2xx 9、下列命题为真命题的个数是(D) 2 ①ee>2 ②ln2>2③ lnπ <1④ ln2 3πe2π (A)1(B)2(C)3(D)4 1、已知x=0是函数 第5讲导数与极最值 f(x)=(x-2a)(x2+a2x+2a2) 的极小值点,则a的范围是 _(-∞,0)(2,+∞) 2、已知x=1是函数f(x)=(x-2)ex-kx2+kx(k>0)的极小值点,则k的范围是_(0,e)_ 2 3、已知函数f(x)=x2-2x+1+alnx有两个极值点x,x,且x 1212 (A)f(x)<-1+2ln2(B)f(x)<1-2ln2 2424 (C)f(x)>1+2ln2(D)f(x)>1-2ln2 2424 4、若函数f(x)=aex+3x在R上有小于零的极值点,则实数a的取值范围是(B) (A)(-3,+∞) (B)(-∞,-3) (C)(-1,+∞) 3 (D)(-∞,-1) 3 5、已知函数f(x)=x(ln-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是(B) 1 (A)(-∞,0) (B)(0,) 2 (C)(0,1)(D)(0,+∞) ax21 6、若函数f(x)=-(1+2a)x+2lnx(a>0)在区间(,1)内有极值,则a的取值范围 1 是(C) (A)(,+∞) e 2 (B)(1,+∞) 2 (C)(1,2)(D)(2,+∞) 7、若函数f(x)在区间A上,对∀a,b,c∈A,f(a),f(b),f(c)为一个三角形的三条边,则 称函数f(x)为“三角形函数”.已知函数f(x)=xlnx+m在区间[1,e]上是“三角形函数”, e2 则实数m的取值范围为(D) 1e2+221e2+2 (A)(,) ee (B)(,+∞) e (C)(,+∞) e (D)(,+∞) e 第6讲导数与零点 1、设函数f(x)=x2-2ex-lnx+a,若函数f(x)至少存在一个零点,则实数a的取值范 x 围是(D) (A)(0,,e2-1] e (B)(0,e2+1] e (C)[e2-1,+∞) e (D)(-∞,e2+1] e mex 2、已知函数f(x)=与函数g(x)=-2x2 2 的取值范围为(D) -x+1的图像有两个不相同的交点,则实数m 2} (A)[0,1)(B)[0,2){-18 e (C)(0,2){-18 2} e (D)[0,2 e){-18 2} e 3、定义: 如果函数 f(x) 在区间[a,b] 上存在 x1,x2(a f'(x)= f(b)-f(a),f'(x)= f(b)-f(a) ,则称f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知 1b-a2b-a 函数f(x)=2x3-x2+m是[0,2a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是(A) 1111111 (A)(,) (B)( ,)(C)(,) (D)(,1) 841241288 4、若存在正实数m,使得关于x的方程x+a(2x+4m-4ex)[ln(x+m)-lnx]=0有两个不同的根,则实数a的取值范围是(C) (A)(-∞,0) (B)(0, 1)(C)(-∞0)(1,+∞)(D)(1,+∞) 2e2e2e 5、(2017.12成都一诊)若关于x的方程 xex ++m=0有三个不相等的实数解 exx-ex x1,x2,x3,且x1<0 (x1ex1 -1)2(x2 ex2 -1)(x3-1)的值为(D) ex3 (A)e(B)1-m (C) 1+m (D)1 6、已知函数f(x)=(3x+1)ex+1+mx,若有且仅有两个整数使得f(x)≤0,则实数m的取值范围为(B) 5 (A)(,2) (B)[- 5,-8) (C)[- 1,-8) (D)[-4e,-5) e2e 3e2 23e22e 第7讲导数中的恒成立与存在性问题 1、(2015全国卷1理12)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的 整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是(D) (A)[- 3,1)(B)[-3,3)(C)3,3)(D)[3,1) [ 2e2e42e42e 00 2、设函数f(x)=ex(3x-1)-ax+a,其中a<1,若有且只有一个整数x使得f(x)≤0,则a的取值范围是(C) 23 (A)(,) 23 (B)[,) 2 (C)(,1) 2 (D)[,1) e4e4ee 3、已知函数f(x)=x(a- 1),曲线y=f(x)上存在两个不同点,使得曲线在这两点处的 ex 切线都与y轴垂直,则实数a的取值范围是(D) (A)(-e2,+∞) (B)(-e2,0) (e2-a)22 (C)(-1,+∞) e2 (D)(-1,0) e2 1 4、设函数f(x)=+(x-a)(a∈R),若关于x的不等式f(x)≤有解,则实数a 的值为(A) 1 (A) 5 4 1 (B) 4 5 (C)0(D)1 2 5、已知 f(x)=alnx+1x2(a>0) 2 ,若对任意两个不等的正实数 x1,x2,都有 f(x1)-f(x2)>2恒成立,则实数a的取值范围是(D) x1-x2 (A)(0,1](B)(1,+∞)(C)(0,1)(D)[1,+∞) 6、已知函数 f(x)=aln(x+1)-x2 ,若对 ∀p,q∈(0,1) ,且p≠q,有 f(p+1)-f(q+1) p-q >2恒成立,则实数a的取值范围为(C) (A)(-∞,18) (B)(-∞,18] (C)[18,+∞) (D)(18,+∞) 7、设函数f(x)=ex(x2-3x+3)-aex-x(x≥-2),若不等式f(x)≤0有解,则实数a的 最小值为(A) (A)1-1 e (B)2-1 e (C)1-1 e (D) 1+e2 8、设函数f(x)=ex(x3+3x2-6x+2)-2aex-x,若不等式f(x)≤0在[-2,+∞)上有解, 2 则实数a的最小值为(C) (A
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