几种常用辅助线做法.docx
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几种常用辅助线做法.docx
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几种常用辅助线做法
常见辅助线的作法有以下几种:
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.
2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.
3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质泄理或逆左理.
4)过图形上某一点作特左的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特泄线段相等,或是将某条线段延长,是之与特圮线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
一、倍长中线法
有以线段中点为端点的线段、有三角形中线时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。
例1.在ZXABC中,已知AD为AABC的中线,求证:
AB+AO2AD
例2.CB,CD分别是钝角ZkAEC和锐角AABC的中线,且AC=AB.求证:
CE二2CD。
于点F,DF二AC.求证:
AE平分ZBAC.
例4•如图,ZkABC中,E、F分别在AB、AC上,DE丄DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
例1、如图,已知在4ABC中,ZB二2ZC,AD平分ZBAC,求证:
AC二AB+BD
练习、如图,在比ABC中,ZE4C=60°,AD是ZBAC的平分线,RAC=AB+BD9求Z4BC的度数.
例2、如图2-1,肋〃万G点f在线段曲上,ZAD吕乙CDE、乙DC吕乙ECB.求证:
CEAD^BC.
例3、点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动,BD二DC,ZBDC二120°,ZMDN二60。
求证MN二MB+NC.
A
三、平行法
例1、如图所示.AABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且
BD=CE,连接DE交底BC于G.求证:
GD=GE
练习.已知,如图,在△ABC中,=点D在AB边上,
点E在AC边的延长线上,且BD=CE,连接DE交BC于F.求证:
DF=EF・
例2、已知:
如图,AABC是等边三角形,在BC边上取点D,在边AC的延长线上取点E使
DE二AD.
求证:
BD二CE・
四.借助角平分线造全等
有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形例1.如图,已知在2XABC中,ZB二60°,AABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证:
0E二0D
练习・如图,AABC中,AD平分ZBAC,DG丄BC且平分BC,DE丄AB
(1)说明BE二CF的理由:
(2)如果AB二a,AC二/?
求
(2)
于E,DF丄AC于F.
AE、BE的长.
中考应用
如图①,0P是ZMON的平分线,请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,ZACB是直角,ZB=60°,AD.CE分别是ABAC.ZBCA的平分线,AD.CE相交于点F。
请你判断并写出FE■与FD之间的数疑关系:
(2)如图③,在AABC中,如果ZACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问.
五.巧证全等三角形
有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。
例1、如图,已知在ZUBC中,ZBAC为直角,AB二AC,D为AC上一点,CE丄BD于E,若BD
平分ZABC・
求证CE=-BD:
2
练习、已知:
如1^1,RtAABCAB=AC,ZBAC=90°,过A的任一条直线AN,BD丄AN于D,CE
丄AN于E,求证:
DE=BD-CE
例久如图,4D是MBC的角平分线.H、G分别在AC,AB上,且HD=BD.
(1)求证:
与ZAHD互补;
⑵若ZB+2ZDG4=180°,请探究线段AG与线段A/AHDZ间满足的等捲关系,并加以证明。
六.全等三角形综合练习
例1、如图,已知aABC中,AD平分ZBAC.M是BC的中点,ME〃AD交AB于F,交
CA延长线于E,AB>AC,求证:
BF=CE・
例2、正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD±的一点,BE+DF=EF,求ZEAF的
度数
例3.
(1)如图,在正方形ABCD中,H是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是ZDCP的平分线上一点.若ZAMN二90°,求证:
AM二MN.
(2)若将
(1)中的“正方形ABCD”改为'‘正三角形ABC”(如图),N是ZACP的平分线上一点,则ZANfN=60°时,结论AM二MN是否还成立?
请说明理由.
例4、如图①ZkABC是正三角形,ABDC是等腰三角形,BD二CD,ZBDC=12O%以D为顶点作-•个60。
角,角的两边分别交AB、AC边于卜I、N,连接卜IN.
(1)探究BM.MN、NC之间的关系,并说明理由.
(2)若ZkABC的边长为2,求AAMN的周长.
(3)若点卜1、N分别是AB、CA延长线上的点,其它条件不变,在图②中湎出图形,并说出BM.MN、NC之间的关系.
例5、如图1,在ZkABC中,ZACB=2ZB2BAC的平分线AO交BC于点D•点H为
AO上一动点,过点H作直线/丄40于分别交宜线AB、AC、BC于点N、E、M
(1)当直线1经过点C时(如图2),证明:
BN=CD
(2)当M是BC中点时,写出CE和CD之间的等量关系,并加以证明;
(3)
请直接写岀BN、CE、CD之间的等量关系
练习・已知点C为线段上一点,分别以AC.BC为边在线段同侧作AACQ和
ABCE,且CA=CD,CB=CE.ZACD=ZBCE,直线4E与BD相交于点F・
(1)如图①,若ZACD=60°fUliJZAFB=:
如图②,若ZACD=90。
则
ZAFB=;如图③,若ZACD=120°侧;
(2)如图④,若ZACD=a^\ZAFB=(用含a的式子表示):
(3)将图④中的AACD如图⑤放置,试探究ZAFB与a的数量关系,并予以证明.
图①
图②
图④
CB
图⑤
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