高一基本不等式及其应用.docx
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高一基本不等式及其应用.docx
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高一基本不等式及其应用
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基本不等式及其应用
知识点归纳
1、在不等式的应用中,经常使用的不等式公式有
a20;|a|0;a0(a0);
a2b2c2abbcca;
若a,bR,那么a2b22ab,当且仅当ab时等号成立。
若a,bR,那么ab2ab,当且仅当ab时等号成立。
若a,b,cR,那么abc33abc,当且仅当abc时等号成立。
推广:
如果a1,a2,a3,,an
R
{0},那么a1
a2
a3
anna1a2a3an(当且仅当
n
a1a2a3
an时取“=”)
2、注意:
①应用公式的条件;②取等号的条件;③广义地理解公式中的字母
a、b;
④公式的逆用、变用:
2
aba2
b
2
1
ab
2
。
1
2
a
b
定和定积原理:
若
n个正数的和为定值,则当且仅当这
n各正数相等时积取到最大值;
若n个正数的积为定值,则当且仅当这
n个正数相等时和取到最小值。
3、应用不等式知识解题,关键是建立不等量关系,其途径有:
利用题设中的不等量大小;利用不等式基本性质;利用所涉及对象的概念内涵外延所赋予的不等量大小;
利用变量的有界性;利用几何意义;利用判别式;利用不等式基本公式等等
题型讲解
例1.
(1)求y
x2
16的最小值。
(2)求y
x
8
的最小值。
(3)若0 2 求x(2-5x)的最大值。 x2 x1 5 解: (1)y 2 16 2 16 即x= 2时原式有最小值8。 x 2≥216=8,当且仅当 x= 2 x x 8 =( 8 -1≥28-1=42 8 (2)yx x+1)+ -1;当且仅当x+1= x1 x1 x1 即x=9-4 2时 原式有最小值42-1。 (3)∵0 ∴2-5x>0,∴ 当且仅当 5 5x=2-5x,即x= 1 时,原式有最大值 1。 5 5 优秀学习资料欢迎下载 例2. (1)已知x>0,求y=2 (3x 4)的最大值; (2)求f(x) x 1 2的取值范围。 x x (1)x 0,3x 4 2 3x 4 3x 4 4 3(3x 4) 4 3 2(3x 4)243 x x x x x 从而有2 (3x 4)的最大值为2 4 3。 x (2)显然x 0,x 1 x 1 2 x 1 2, x x x 1 2或x 1 2 所以,x x x 因此,f(x)的值域为( 0] [4, ) 例3. (1)(06陕西)已知不等式 (x y)(1 a) 9对任意正实数 x,y恒成立,则正实数 a的最小值为 x y ( )B A、8 B、6 C、4 D、2 x吨,运费为 (2)(06天津)某公司一年购买某种货物 400吨,每次都购买 4万元/次,一年的总存储费 用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 吨.20 (3)已知x,y,zR ,x 2y 3z 0,则y2 的最小值 . xz x3z∴y2 =x3z 2 =x 39z≥ 219=3 解: y =x2 6xz9z2 3 2 xz 4xz 4xz 4z 2 4x 2 44 (4)“a >> a2 b2 ”的( ) A b0”是“ab< 2 A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不允分也不必要条件 (5)(07北京)如果正数a,b,c,d满足a b cd 4,那么( ) A A、ab≤c d,且等号成立时 a,b,c,d的取值唯一 B、ab≥c d,且等号成立时 a,b,c,d的取值唯一 C、ab≤c d,且等号成立时 a,b,c,d的取值不唯一 D、ab≥c d,且等号成立时 a,b,c,d的取值不唯一 (6)已知实数 x、y满足x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy) ( ) B A、有最小值 1 ,也有最大值1B、有最小值3,也有最大值1 2 3 C、有最小值 4 4 ,但无最大值D、有最大值1,但无最小值 例4.若正实数x、y满足121,则xy的最小值是多少? xy 分析: 本题主要考查最值的求法,函数与方程的思想,均值不等式的应用,化归转化的思想,直线方 优秀学习资料欢迎下载 程与数形结合的思想,以及灵活分析解决数学问题的能力. 解法一: ∵1 2 1,x y (x y) 1 (x y)(1 2) y 2x 3 22 3.当且仅当 x y x y x y y 2x x y 即 x 2 1 时取等号. 1 2 y 2 2 x 1 y 解法二: 1 y 2, x y y (y 2), x y 2 xy y y y 2 2 y 2 (y2)3223 y 2 y 2 y 2 当且仅当 2 y 2,即y 2 2 2时取等号. y 2 解法三: 设x y b,则y x b,代入1 2 1得: x2 (1 b)x b 0, x y 须 0,解得b 322或b 322(∵x1,y2,x yf3,舍去xy322) 解法四 1 2 2 1, 1,1,2 成等差数列. x y 2 x 2 y ∴设11 d,2 1 d(1 d 1), x 2 y 2 2 2 x y 1 2 6 4d 1 1 1 4d2 d d 2 2 设3 2d t,则x y 2t t2 6t 8 2 t (2,4),t 8 4 2,当且仅当t 8 即t 2 2(2,4)时取等号, (t 8 6 t t ) t xy322 此题虽然不难,但考查了学生的审题能力,及在解题过程中正确利用各知识点,可以任学生发挥,既 训练了学生的发散思维,又可以提高学生综合利用各部分知识的能力. 例5.已知x、y、z∈R+,且xyz1,求149的最小值. xyz 解: 将xyz1代入所求代数式,有 优秀学习资料欢迎下载 (xy z)(1 4 9) 1(xyz) 4(x yz) 9(x yz)149(y 4x) x y z x y z x y (z9x)(4z9y) x z y z 又x、y、z∈R+,由重要不等式 ∴原式 14 46 12 36 149 的最小值为36. 例6.设x≥0,y≥0, x2+y2 =1,求x 1y2 的最大值为。 2 2 y2 2 与 y 2 分析: ∵x+ =1是常数, ∴x 的积可能有最大值 2 2 ∴可把x放到根号 2 (1 2 )里面去考虑 2 与 1+y 2 2 1y2 x y 注意到x 的积,应处理成2x· 2 2 y2 解: ∵x≥0,y≥0,x + =1 2 ∴x1y2 =x2(1y2)= x2 1y2 x2 ≤2 2 = 2 2 2 2x21y 2 y21 22=32 24 当且仅当x= 3 y= 2 (即x2= 1y2 )时, x1 y2 取得最大值 3 2 2 2 2 4 例7.已知a、b∈R+ ,且a+b=1,求(a 1 )2 (b 1 )2的最小值. 1 1 a b 错解: ∵a 2 , 2 a b b ∴(a 1)2 (b 1)2 8 a b ∴(a 1)2 (b 1)2的最小值是8. a b 1 1 点评: 以上错误的原因是忽略了取等号的条件 2 b .事实上,当a 2时,等号成立的条件是a a b =1,b=1,这时有a+b=2,与已知条件a+b=1矛盾,所以,这两个等式中的等号不能同时成立. 正解: 利用“平方均值≥算术均值” : a2 b2 a b 22 优秀学习资料欢迎下载 (a 1)2 (b 1)2 a 1 b 1 ab ab 1 1 ∵ a b a b ab ab 2 2 2 2 1 1 b) (a 2 5 2 2 2 (a 1 )2 (b 1 ) 2 5 1 1 25 即 a b ∴ (a 2 (b ) 2 2 ) b 4 2 a 以上等号成立的条件均为 a b 1 2 故(a 1)2 (b 1)2的最小值是 25. a b 4 用均值不等式中等号成立的条件证题 例8.设, R,且 a 1 b 2 b 1 a 2 1,求证 : a 2 b 2 1. ab 证明: 由平均值不等式,得 a 1 2 a2 (1b2)2 a2 1b2 ① b 2 2 b 1 a 2 b2 (1a2)2 b2 1a2 ② 2 2 ①+②,得 a 1 b2 b 1 a2 a2 1 b2 b2 1 a2 1③ 2 2 由题设知③式中等号成立,其充要条件为 a 1b2,且b 1a2,a2 b2 1. 例9.若对一切a>b>c,不等式 1 1 n 恒成立,求n的最大值. b bca c a 解1: 设a-b=x,b-c=y,则对一切x>0,y>0,不等式1 1 n 恒成立,即n (xy)2 恒成立.易见 x y x y xy (xy)2 4. xy 等号当且仅当xy时成立. n的最大值为4. 解2: 问题即求: abc,n N,且n a c a c恒成立,n的最大值。 a b b c 关键求: 代数式a c ac的最小值。 abbc 优秀学习资料欢迎下载 ∵a c a c (a b) (b c) (a b) (b c) a b b c a b b c 2 b c a b 2 2 4 a b b c ∴n 4,故n 的最大值是4。 例10. (1) 求y 2x2 3,(x 0)的最小值; (2)已知x 2y 1,x,y R 求x2y的最大值. x 解: (1)y 2x2 3 2x2 3 3 33 2x2 3 3 339 33 36 x 2x2x 2x2x 22
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- 关 键 词:
- 基本 不等式 及其 应用