待定系数法求数列通项公式.docx
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待定系数法求数列通项公式
待定系数法求数列通项公式
例題h在数列0}中,O,-1,--兀+1,试求其通项金弍,
分折*显然,这不是等差豉等比数列,但如果在。
杠=2务+1的两迪同对工I上1,整理为+1=2(^+1).此时,把%"1和4+1看f乍1个整体#或者换元F令如!
=%W,那么毎F+打即b^=2barE"]+l=2・因此,数列{耳+1}或何}就是以2为首项,以2为公土的筈土散列
5+1-二或者阮".进一步求出a„=2H-K
启示;在送个何鬆中,容易看出空左苔两边帕上1就枸或了新的等比数歹[0十那不谢看出在左右两边该忙4后枸成新的等比数列时,该怎么办呢?
其实,已知%]=加”十1,可变形为十2=2(比-心的形式.慝后履幵括号、移项后再与=2%亠1拒比较,利用待定系数法可得昭=Lt
这榕对于形如片七(其中严彳为羔蛻且驹*0屮*1〉的逵推数列,先变为心:
+—庶斗十心比形式,展开“移匝利弔行定系晝注有
3」1)口・2=宀
P-1
菲七)
p-1P—1
匹数列鼻+—M首项为町旦座比为卩的笔比数见
I戶―p-1
因此.形如巧="严这—类型的数列.都可以利用待定系数法来求解.
那么.芝g变为/(«),/(«)是关于川非零多项弍时.该怎么办呢?
是否也能运冃待
定系数法呢?
二a”[Jpa尸十qn+r(pg*O・Ep#l)型
例題2.在数列Q}中,a=l,^:
=2厲+3卄1,试求其通项公式。
分析,按照例题1的思路,左两边既妄切上某一常数同时也妾加上n的倍数,才能便新的数列有一致的形式C先变为弘.:
+弘十1)一2=2(6十如十1,畏开比较得2=3•即
ai+3(M+l)=2g+3n)+4
进一步
a”i+3(n+1)+4=2(aw—3n+4)
则数列匕十3—4}是a:
十3x1-4=8苣坝为色十3x1+4=8公比为2的等比数列,所以
同样,形如二叫十驴+r的违推数列,设+x{n+l)+y-pia^xn^y)展开.
移项、整理,比较对应系数胡尊,歹[岀方程[9;叹・?
XN
解得
x+尸qr
v--2~y-+
rP-i(P-irp-i
即4心1+g(«+o+?
宀+r=q幺+
z(p-irp丿L
的等比数列,于是就可以进一步求出{q}的通项•
叵理,若=其中/(“)是关于n的多项弍时,也可以构造新的等乂数列,
利用待定系数法求岀其通项。
比如当/何=亦十初"=时,可设
%i+x(n+lT+J(h-1)+z=P(om+E+yzz-z)
展幵根器对宝系数分別相等求解方程即可。
/(町为n的三次、匹次、五次等多项式跡也能冃同样的思路和方法进行求絡
而如果当/(")是n的韦数式.盟时.递推公式又埒妇何变形呢辛三作昇=pa”+rg'+$型(pqr0.目pwl.g=l.p=q)
例题3.在数列{dj中,5=1,=3a”+2”,试求其通项q,。
分析1:
由于+与例鬆1的区别在于21是指数式,可以冃上面的思晤进行变
形,在两边同时加上2x2"变为a小+2-1=3%一3x2"1R
%:
+2”J=3(a”-2”)
则数列{%+2”}是首项为3,公比为3的等比数列%十2'=3”・见]
分析2:
如巣埒韦数式先变为家数.两边同除2”-
就回到了我们的类型一,进一步也可求岀a”=3”-2”c
例題4.在数列0}中,a:
=3,%】=3a”十5X2”十4,试求匕}的通项%。
分析:
若按例题3的思路2・在两边同时除以2»虽然产生了竺、冬.但是又增加2小2”
了吕T,与原式并没有犬的变化.所以只能运用邕珞1,在两边同时加上10x2”整理
十5x2^=3(4”+5x2*)+4进一步
—]十5乂2曲十2・3(6+"2"+2)
则数列仏+5x2J2}是首项为15,公比为3的筈比数歹L
dr+5x2K+2=15x3^=5x3w
即om=5(3m-2r)-2
启示:
己知数列{厲}的首项.a>t-i=pa^rqn+s(pqr^QSp^l.q^l.qp)
1)当$=0,即%严皿”+灯生例题3知.有两种思路进行变换.利用待定系数法构造首项和公比己知或可求的尊比数列。
思賂一:
在两边同时除以4心,将不含和兔的项变为常数,即
rt»ln
qqqq
r
为前面的类型一,再弓类型一的待定系数法思整可得数列.4:
十一最终求解岀{%}q——1
q
的通项。
思路二;在两边叵盯柯上/的倍数•昜终能变形为a^i^xq^1=p(a.t^xqn)
对应系数用等得(p-g)x=r,即x=—
p_q
葺门小+―・qi=p(G+—^―・/)
p_qp_q
求出数列卜-说./}的通项,进一步求出0}的通项。
2)当shO时.=pon-rq"^s由例4可知只能在选幷思路二,两边既妾如/的倍数•也妾切莒数.最终能变形为
%+=qI*=pg+xq“+y)
r(p-g)x=7-l(p-i)y"
比较得X,y的方程组
y=
、p-l
于是+丄7=—・g”+S)
p-qp-ip_qp—\
求岀数列{%+才刁才+才十的通项,进一步求出{4}的通项
四;心=皿7-弘・"(小型(已知%血其中于⑺)可以为窜数、n的多项弍或指数式]以/W=0为例。
71
例誤5•在数列{%}中.a=l:
a;=2?
a^2=二%:
+-匕,试求{q}的通项。
33
分析:
这是二项之间速推数列.根据前直的思昭.可以把g看做毎数逬行处珪.可变为-an-\=■3(=1-4)'先求岀数列他+1■乞}的通项
%:
-竹=(-
然后利用累加法即可进一步求岀0}的通项久«
对于形如="ai十?
a”£递推数列,可以设a—十xj]=丿(J十xa”)畏开,利用对应系数相等.列方^P~y=P
[xy二q
于是数列+就是以色亠“]为首项,y为公比的等比数列,不难求岀阿丿+耳}的通项进一步利月相关即可求岀厲。
叵理,d“=p%】+q牛+/何当/何为非零多项式或巻是指数式时,也可结台前百的思賂进行处理。
问題的关謎在于先变形
a7十xa„.}=J'(a-】十s”)一/(”)
然后拦+看做一个整体就变为了前面的类型。
五:
%1=卩4‘(卩=1且卩€疋,厂=0*=1)型・他':
为正项数歹【.例获6.在数列{qj中.a】=l,a“.:
=2aJ・试求其通项务・分析:
此题和貳面的几和类型没有相冋之处,左边是一次式,而右边是二次式,关铤右于適过变形,便两边次数相同,由于务>0,所以可联想到对数的相关性员,对备=2。
」两边取对数,即
k^i=U(2a/)=lg2+lgan2=2lgan-+lg2
就是繭面的类型一了,即
Ig%i*lg2=2(lgd”+lg2)
Igfl1|+lg2=(lg2)x2"-l=lg2广;
变形得6=227
对于类似%严卩心9工1且以用,心0,“1)的递貳数列.由于两边次数不一致.又是正项数宛.所以可次利爭对数性质.两为同时取对数.得
然后戏是前面芜类型一了•就可以利冃待定炙数法进一步构港数列化%:
■警}为己
知首项和公比旳等比数列了c求出、;lg%】-:
晨终就可以得出{©}的通项。
同样,如果将J=pa;(pHl且牛丈,中的p换为指数式?
”时,同样町以利用相同的方法。
即:
0心hI且A:
rxO.r1)两边取对数lg=lg(<3,n-a^)=rlgaM4-nlg^
变为类型二lg+x(M+l)+y=r(lgan+xn^-y)
即可进一步得出何}的通项°
以上是一些整式型的運推数列通项公式的求祥,接下未再看看比较复亲的分武型谣推数列。
八:
例题7.在数列{%}中,6=1,%=子二,试求其運项兔。
分析^这是一个分式型数列,如果去分母变为3a,/2g-%-0后就无法进行处埋了。
两边同时取倒皴
13兮2r1°
—=—2—=2x—+3
就是前闫的类型一了。
丄+3=2(丄+3〕
所以数列
{丄十3^是首项为丄十3=4,公比为2的等比数列,不难求岀
例题8.在数列{%}中,a严「%严書节,试求其通项%。
9t
分析:
此题比例题7的区别多了常数项,两边取倒
左右两边丄与丄并不一致.但可以对照例题7的思幣,取倒数乙后分母会具有一J%十2
致的结构.根据等式和分弍旳性质.我们可在两边同时加上某一常数,整理:
(33)亿+土
—4+“__ra丿
3d”-23兀-2
nn
此时如果二•二x・那么遗推式左为和左边分母就一致了。
無方程得x1=--sx2=l
3x-hl3
此时可选拦其中一个邊推式按照例题7的方式进行处理,这里选择门~】+1=如凹
3。
"2
两芯取俊
根据类型一的方法易求出;
4x(-4)^4-1心=6*(-4严一1
现在我们将两式相比;
则数列<;J•是我己知首项和公比的等比数列.进一步化简求出4。
通过以上两个例题可知,形如%.严~^4的丸)这一类型的遷推数列,对学生
PJ+q
的综台能力妄求较右「
1、如貝右边分子缺常数項・即s=0,那么亘接对两边取倒数即可得:
Iq1p
=—•—
JFJ尸
此时.若纟=1•那就是我们熟悉的毎差数列.若纟“・那就杲前世的类型一一用待rr
定系数法求解.
2、若shO,就需要先变形,使左边和右边分子结梅一致.苑边同时加上某一个當数(<)
(尸+¥)g+'y)r+px"1十尤=
p耳十q
然后令Lm=Xf解岀工的值。
r+px
而另一种思路是直接设。
小=旦二变形之后为
pn
%i+x=
然后展开,根捋对应项系数相等得二元方程组
I
b°・_q)=s
求岀X」C
两种思路都是解丫的一元二次方程,设其超为
叢爲)
若时•那就只能利用例题7的方法.利边取倒数,部分分式整浬即可转变为
类型
1p(j+q)p(a“・E)-p(g-®p(g-b)ip
===+
J】+x】乃(a,F)Ji(a“+GHa“rM
最终求岀a”。
当x:
ky:
时,可以选择其a的一个按照上面的方弍芝行求解,佢是此时■计算量颇大,于是直衣将两式栢比得?
a~i+巧V-a„-可
=.
+勺V:
务+2
所以数歹"的4勺[是首项为坐込,公比为山的等比妙」。
进一步求岀①。
Q+厂力
例题9•在数列{q}中,q=二?
・试求其涌项厲・
2a”+2
分析,本題属于分式菲线性邁推式••与类至五又有相似之处,祈以我们可次结合类型壬、
六的思路,逬行变按;
两边同时加上某个常数,设最奖变为:
与原式比较.对应系数相筈,得
解方程得
=—1*X-)=3
即有,
2%+2
“1=3
2%+2
对单个式子进行处理,
无从下手,两式相比得
%:
十3=[匕并十3
然后,两边取对数得:
则数列JlgG]是首项为lgl3=]g5,公比为2的尊比数列。
[—1J5-1
进一步锌得
显然•按照倒题9的恩务形如—二竺土3心。
)这—类型的参数》©壮*必
pg+q
广产.丁一盲二養inz闻一「旦三三七卜」弓二刁实丐:
圮在来祥寸应该満启務些案件/
念十+“叫2二即,
+?
p◎吃+q
<±£+1=r(^
如“叫-Q
所以+xpa^+xq心「rG^+Irxa^+rx
对匝系薮相等得p=2)-ijx-s=0
c—g.T—3二0两足A=?
+4rj>0
12万毘的两根为勺孔虹有
r(n+x);
两弍相比得
两边取对董得
=att,1^x2ean+x2
求岀hg;:
;[的通项再整理一下就得岀了{%}的通项‘问题就得以解决了°
本文例题的深度层层深入,前面的类型是后面的基础,特别是第一种类型,是学习其他几种类型的充分依据,其他的类型最终都会转变为第一种类型之后再进行求解。
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- 待定系数法 数列 公式